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Logarithmen- und Exponentialgleichungen 05:25 min

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Transkript Logarithmen- und Exponentialgleichungen

Ben und Anna möchten nach ihrem Schulabschluss eine längere Reise quer durch Europa machen. Dazu können sie den alten Camper von Bens Großmutter nehmen. Einige Dinge müssen jedoch zuvor erneuert und repariert werden, was die beiden etwa 3000 € kosten wird. Annas Eltern haben bei Annas Geburt Geld für sie angelegt, über das sie ab ihrem 18. Geburtstag verfügen darf. Das Geld in Höhe von 1000 € wurde zu einem Zinssatz von 4% angelegt. Nun fragen sich Ben und Anna, ob dieser Betrag zu Annas 18. Geburtstag bereits auf 3000 € angewachsen ist. Wie du vielleicht schon erkannt hast, geht es heute um Sachaufgaben zu Exponential- und Logarithmengleichungen. Zunächst wiederholen wir kurz, was wir schon zu Exponential- und Logarithmengleichungen wissen. Dann berechnen wir, ob sich Ben und Anna die Reparatur des Campers mit dem angelegten Geld von Annas Eltern leisten können. Die Lösung entwickeln wir schrittweise. Als Exponential-Gleichungen werden Gleichungen bezeichnet, bei denen die Variable im Exponenten steht. Diese Form wird “Exponential-Gleichung zur Basis A” genannt. Besondere Formen sind Exponential-Gleichungen zur Basis 10 und zur Basis E. Will man eine Exponential- Gleichung nach x aufzulösen, macht man dies mit Hilfe des Logarithmus. Für die allgemeine Exponential-Gleichung zur Basis A ergibt sich x = lg(f(x) - b)/lg(a). Das schauen wir uns an einem konkreten Beispiel an. Gegeben sei die Funktion k(x) = 5x + 8. Und wir suchen den x Wert an der Stelle y = 10. Zunächst setzen wir für k(x) 10 in die Gleichung ein: 10 = 5x + 8. Danach bringen wir 8 auf die andere Seite. Es ergibt sich: 2 = 5x. Jetzt müssen wir auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus anwenden. Es bleibt lg(2) = lg(5x)) stehen. Mit Hilfe eines Exponential-Gesetzes kann der Ausdruck lg(5x)) umschrieben werden in x×lg(5). Nun müssen wir nur noch lg(5) auf die andere Seite bringen und erhalten für x rund 0,43. Gehen wir nun zurück zu unserer Beispiel-Aufgabe vom Anfang. Wir wissen, dass bei Annas Geburt ihre Eltern 1000 € zu einem Zinssatz von 4% angelegt haben und dass Ben und Anna 3000 € benötigen, um den Camper auf Vordermann zu bringen. Es interessiert uns nun, wie lange es dauert, bis 1000 € auf 3000 € angewachsen sind. Dies ist eine klassische Zinseszinsrechnung. Die Zinseszinsformel lautet: KE = KA × (1+ P/100)n. KE ist das Endkapital, in unserem Fall 3000 €, KA das Anfangskapital, hier 1000 €. P/100 ist der Zinssatz gleich 0,04. Und n ist die gesuchte Laufzeit in Jahren. Eingesetzt ergibt dies: 3000 € = 1000 € × 1,04n. Wir teilen durch 1000 € und erhalten: 3 = 1,04n. Nun können wir den Zehnerlogarithmus anwenden. Es ergibt sich: lg(3) = lg(1,04)n. Mit dem Logarithmusgesetz können wir den Ausdruck wie folgt umstellen: lg(3) = n × lg(1,04). Umgestellt ergibt dies lg(3)/lg(1,04) = n. Das sind etwa 28,01 Jahre. Uff, 28 Jahre? Das ist ganz schön lange, meint Ben. Wie groß ist denn das Endkapital nach 18 Jahren? Nun suchen wir KE für n = 18 Jahre. Eingesetzt erhalten wir: KE = 1000 € × 1,0418. Das ergibt für KE = 2025, 82 €. Das ist ja auch schon eine Menge Geld, meint Anna. Wenn wir in den Ferien arbeiten gehen, steht unserer Reise nichts mehr im Weg. Ben und Anna wissen nun, wie viel Geld ihnen noch fehlt, um ihre Reise zu starten. Du kannst solche Berechnungen, wie wir sie gerade zusammen durchgeführt haben, in vielen Zusammenhängen verwenden, zum Beispiel auch bei Wachstums- und Zerfallsprozessen, um Exponential-Gleichungen der Form: f(x) = ax + b nach x aufzulösen. Dazu verwendest du den Zehnerlogarithmus. Probiere das doch selbst gleich einmal bei einer weiteren Aufgabe aus. Viel Spaß.

3 Kommentare
  1. @ChrasherS:
    Welchen Logarithmus du genau benutzt, ist hier egal, du könntest auch den 7er- oder 3er- oder irgendeinen anderen Logarithmus nehmen, die Rechenreglen, die angewendet werden können, bleiben gleich.
    Der 10er-Logarithmus berechnet zu einer Zahl den Exponenten, mit dem die Basis 10 potenziert werden muss, um die Zahl zu erhalten. z.B. ist lg(100)=2, weil 10²=100 ist.
    Genauere Informationen zum Logarithmus erhältst du in diesem Video: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/logarithmus-definition?topic=976
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 7 Monaten
  2. Warum den 10ner Logarithmus? Und was ist das eigentlich?

    Von Chrasher S., vor 7 Monaten
  3. Das Video ist voll gut 👍🏻👌👌🏻😀

    Von Rapp2006, vor 11 Monaten

Videos im Thema

Exponential- und Logarithmengleichungen – Anwendungsaufgaben (1 Videos)

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Logarithmen- und Exponentialgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmen- und Exponentialgleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu Exponentialgleichungen.

    Tipps

    Hier siehst du eine Potenz.

    • Die Variable $a$, welche in der Potenz unten steht, wird als Basis bezeichnet.
    • Die Variable $n$, welche in der Potenz oben steht, wird als Exponent bezeichnet.

    Dies ist eine Potenzgleichung. Die Variable steht hier in der Basis.

    Lösung

    Was sind eigentlich Exponentialgleichungen?

    Als Exponentialgleichungen werden Gleichungen bezeichnet, bei denen die Variable $x$ im Exponenten steht.

    $f(x)=a^x+b$

    Diese Gleichung wird als Exponentialgleichung zur Basis $a$ bezeichnet.

    Besondere Exponentialgleichungen sind solche

    • mit der Basis $10$, also $g(x)=10^x+b$, oder
    • mit der Basis $e\approx2,718$, der Euler'schen Zahl, also $h(x)=e^x+b$.
    Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

  • Berechne das Kapital nach 18 Jahren.

    Tipps

    Setze die bekannten Größen in der Formel ein.

    Beachte, dass in der Zinzsformel

    $1+\frac{p}{100}$

    steht.

    Lösung

    Das Kapital zum Anfang $K_A=1000~€$, die Zahl der Jahre $n=18$ und $p=4$ werden in dieser Formel eingesetzt. Damit gilt

    $\begin{array}{rcl} K_E&=&1000~€\cdot\left(1+\frac4{100}\right)^{18}\\ &=&1000~€\cdot1,04^{18}\\ &\approx& 2025,82~€ \end{array}$.

  • Bestimme die Lösung der Exponentialgleichung.

    Tipps

    Denke daran: Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

    Verwende das 3. Logarithmusgesetz:

    $\lg(a^n)=n\cdot\lg(a)$.

    Hier siehst du ein Beispiel.

    Lösung

    Um diese Gleichung zu lösen, wird zunächst die $8$ subtrahiert:

    $\begin{array}{rclll} 10&=&5^x+8&|&-8\\ 2&=&5^x \end{array}$

    Nun kommt man mit den Grundrechenarten nicht mehr weiter. Es muss der Logarithmus angewendet werden:

    $\lg(2)=\lg(5^x)$.

    Mit Hilfe des dritten Logarithmusgeseztes $\lg(a^n)=n\cdot\lg(a)$ kann weiter umgeformt werden zu

    $\lg(2)=x\cdot \lg(5)$.

    Zuletzt muss noch durch $\lg(5)$ dividiert werden:

    $x=\frac{\lg(2)}{\lg(5)}\approx0,43$.

  • Gib eine allgemeine Lösungsformel für eine Exponentialgleichung an.

    Tipps

    Subtrahiere zunächst $b$.

    Logarithmiere auf beiden Seiten: $\lg(c_b)=\lg(a^x)$.

    Wende das dritte Logarithmusgesetz an:

    $\lg(a^n)=n\cdot \lg(a)$.

    Lösung

    Subtraktion von $b$ führt zu $c-b=a^x$.

    Nun wird auf beiden Seiten logarithmiert:

    $\lg(c-b)=\lg(a^x)$.

    Hier kann man auch sehen, warum sowohl $a>0$ als auch $c-b>0$, also $c>b$, sein müssen. Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert.

    Damit ist

    $\lg(c-b)=x\cdot \lg(a)$.

    Zuletzt wird durch $\lg(a)$ dividiert und man erhält die allgemeine Lösung

    $x=\frac{\lg(c-b)}{\lg(a)}$.

    Man kann sich dies so merken: Die Basis, also in der Potenz unten, steht auch im Bruch unten.

  • Ermittle die Zeit, nach der das Kapital sich vervierfacht hat.

    Tipps

    Verwende die Zinsformel

    $K_E=K_A\cdot\left(\frac{p}{100}\right)^n$.

    Dabei sind

    • $K_E$ das Endkapital,
    • $K_A$ das Anfangskapital,
    • $p$ der Zinssatz und
    • $n$ die Zahl der Jahre.

    Beachte: Es ist nach der Zahl der Jahre gefragt. Du musst also eine Exponentialgleichung lösen.

    Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

    Das dritte Logarithmusgesetz besagt

    $\lg(a^n)=n\cdot\lg(a)$.

    Lösung

    Camilla muss diese Gleichung lösen:

    $4000 € = 1000 € \cdot1,025^n$

    1. Sie dividiert durch $1000€$ und erhält $4=1,025^n$.
    2. Nun logarithmiert sie $\lg(4)=\lg(1,025^n)$.
    3. Der Exponent kann aus dem Logarithmus heraus gezogen werden: $\lg(4)=n\cdot\lg(1,025)$.
    4. Zuletzt dividiert sie durch $\lg(1,025)$. Dies führt zu $n=\frac{\lg(4)}{\lg(1,025)}\approx 56,1$.
    Das ist ganz schön lange: Camilla muss mehr als 56 Jahre warten, bis ihr Kapital sich vervierfacht hat.

  • Leite die Lösungen der Exponentialgleichungen her.

    Tipps

    Forme jede der Gleichungen so weit um, dass du zu der Gleichung

    $a^x=e$

    gelangst.

    Nun kannst du logarithmieren.

    Du könntest auch jeweils die Probe machen.

    Lösung

    Jede der folgenden Gleichungen kann zunächst so weit umgeformt werden, dass noch die Gleichung $3^x=???$ zu lösen ist.

    $\mathbf{3^x-3=6}$

    $\begin{array}{rclll} 3^x-3&=&6&|&+3\\ 3^x&=&9&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(9)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(9)}{\lg(3)}\\ &=&2 \end{array}$

    $\mathbf{3^x+3=6}$

    $\begin{array}{rclll} 3^x-3&=&6&|&-3\\ 3^x&=&3&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(3)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(3)}{\lg(3)}\\ &=&1 \end{array}$

    $\mathbf{4\cdot 3^x=15}$

    $\begin{array}{rclll} 4\cdot 3^x&=&15&|&:4\\ 3^x&=&3,75&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(3,75)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(3,75)}{\lg(3)}\\ &\approx&1,2 \end{array}$

    $\mathbf{2\cdot 3^x-3=12}$

    $\begin{array}{rclll} 2\cdot 3^x-3&=&12&|&+3\\ 2\cdot 3^x&=&15&|&:2\\ 3^x&=&7,5&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(7,5)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(7,5)}{\lg(3)}\\ &\approx&1,8 \end{array}$