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Lösungen von Exponentialgleichungen 07:43 min

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Transkript Lösungen von Exponentialgleichungen

In dieser Petrischale wird eine Kultur Millenniobacter untersucht. Millenniobacter? Das sind neu entdeckte Bakterien, die sich besonders schnell entwickeln. Wow, die vermehren sich wirklich sehr schnell. Wie lange wird es dauern, bis sie ihre Petrischale komplett besiedelt haben? Mit einer Exponentialgleichung können wir das herausfinden. In diesem Video lernst du die verschiedenen Verfahren zur Lösung von Exponentialgleichungen. Lass uns zunächst eine passende Gleichung zur Vermehrung des Millenniobacter aufstellen. Die Bakterien vemehren sich mit der Rate 1,1, denn sie besiedeln jede Minute 10 Prozent mehr Fläche. Hier steht 'x' für die Zeit in Minuten. Ihre Petrischale hat eine Fläche von 64 Quadratzentimetern. Die Einheit können wir in der Gleichung weglassen. Außerdem nehmen wir an, dass die Bakterien zu Beginn der Beobachtung genau einen Quadratzentimeter besiedeln. Diesen Faktor 1 lassen wir ebenfalls weg. Die Lösung für 'x' gibt uns an, wie lange es dauert, bis die Petrischale völlig besiedelt ist. Wir finden die Lösung mit Hilfe des Logarithmus. Auf beiden Seiten der Gleichung bilden wir den Logarithmus. Seine Basis können wir frei wählen, auf beiden Seiten muss der Logarithmus aber die gleiche Basis haben. Nach dem Dritten Logarithmusgesetz wandert nun das 'x' aus dem Exponenten als Faktor vor den Logarithmus. Mithilfe einer Division bringen wir beide Logarithmen auf eine Seite. Auf der rechten Seite der Gleichung steht jetzt ein Bruch, den wir so in den Taschenrechner eingeben können. Wir erhalten als Ergebnis: 43 Komma sechs vier. Also passt die Kultur von Millenniobacter nach etwa 44 Minuten nicht mehr in die Petrischale. Wir überprüfen das Ergebnis durch eine Probe und setzen den berechneten Wert für 'x' in unsere Gleichung ein. Tatsächlich, die Potenz ergibt einen Wert von etwa 64, die Fläche der Petrischale in Quadratzentimetern -- gut gemacht! Doch aufgepasst: Beim Anwenden des Logarithmus musst du bedenken, dass er nur für Argumente größer als Null definiert ist. In der Exponentialgleichung muss also die Basis positiv sein und auch auf der rechten Seite darf keine negative Zahl stehen. Aber leider kann man sich seine Exponentialgleichung nicht immer aussuchen. Stell dir vor, du sollst diese Gleichung lösen. Du müsstest den Logarithmus von 'minus 8' bilden der ist nicht definiert. Stattdessen kannst du diese Gleichung mit einem Exponentenvergleich lösen. Dazu formst du beide Seiten so um, dass links und rechts jeweils eine Potenz mit der gleichen Basis steht. 'Minus 8' kann man auch als 'minus 2' hoch 3 schreiben. Da beide Potenzen jetzt die gleiche Basis haben, müssen auch ihre Exponenten identisch sein, sonst wäre die Gleichung nicht erfüllt. Ein Vergleich zwischen den Exponenten liefert deshalb das Ergebnis: x gleich 3. Setzen wir zur Probe 3 für x in die ursprüngliche Gleichung ein sind beide Seiten der Gleichung tatsächlich gleich! Kurz gesagt: Bei zwei Potenzen mit gleichen Basen: Exponentenvergleich durchführen. Dieses Verfahren hilft aber nur dann, wenn auf beiden Seiten der Gleichung jeweils eine einzige Potenz steht. Mit dem Exponentenvergleich kannst du auch solche Gleichungen lösen. Hier steht die Variable x in einem Term im Exponenten der Potenz auf der linken Seite der Gleichung. Die Basis ist auf beiden Seiten 3. Damit die beiden Potenzen gleich sind, müssen also auch ihre Exponenten gleich sein. Deshalb muss minus x plus 5 gleich 6 sein. Wir finden die Lösung durch Äquivalenzumformungen und sie lautet x gleich minus 1. Setzen wir zur Probe 'x gleich minus 1' in die ursprüngliche Gleichung ein sehen wir, dass die rechte und die linke Seite der Gleichung übereinstimmen. Wenn die Gleichung aus Summen oder Differenzen von mehreren Potenzen besteht, helfen weder der Logarithmus, noch ein Exponentenvergleich. In manchen Fällen kann dich aber das Verfahren der Substitution zur Lösung führen. Alle Potenzen musst du auch hier mit der gleichen Basis schreiben können. Zum Beispiel kannst du bei dieser Gleichung '4 hoch x' mit einem Potenzgesetz vereinfachen: Du kannst nämlich '4 hoch x' als '2 hoch 2 hoch x' schreiben und das wiederum als '2 hoch x hoch 2'. Nun kannst du so geschickt substituieren also ersetzen, dass daraus eine quadratische Gleichung entsteht, die sich mit der pq-Formel lösen lässt. Wir definieren eine neue Variable z gleich 2 hoch 'x' und ersetzen an jeder Stelle in der Gleichung 2 hoch 'x' durch 'z'. Die entstehende Gleichung lösen wir nach z auf — aber nicht vergessen: danach müssen wir noch die Lösung der ursprünglichen Gleichung, also x, ausrechnen. Die pq-Formel sieht in diesem Fall SO aus und liefert diese beiden Ergebnisse 'z eins' und 'z zwei'. Vorsicht: Das ist noch nicht die Lösung der ursprünglichen Aufgabe. Als letzten Schritt musst du noch re-substituieren, also die beiden Ergebnisse 'z Eins' und 'z Zwei' in unsere Definition von 'z' einsetzen. Dabei fällt eines der Ergebnisse weg, 2 hoch 'x Eins' gleich minus 2 hat keine Lösung, denn bei einer positiven Basis ist es egal, was du für 'x Eins' einsetzt -- das Ergebnis ist niemals negativ. Lösbar ist aber die zweite Gleichung: 2 hoch 'x Zwei' gleich Eins hat Null als einzige Lösung, weil '2 hoch 0' gleich 1 ist. Diese Lösung setzen wir für eine Probe in die Exponentialgleichung ein dann benutzen wir, dass '4 hoch 0' und '2 hoch 0' beide gleich 1 sind und schließlich kommen wir zu einer wahren Aussage. Gut gemacht! Kurz gesagt: Wenn mehrere Potenzen die gleiche Basis haben, kann das Substitutionsverfahren weiterhelfen. Achte aber darauf, die Re-Substitution als letzten Schritt nicht zu vergessen. In manchen Fällen hilft dir aber keines der Lösungsverfahren weiter. Schauen wir uns diese Gleichung an. Hier kannst du dich nur näherungsweise an die Lösung herantasten. Dazu probiert man mögliche Werte für 'x' aus und setzt zum Beispiel 'x' gleich Null. Wenn wir das in die Gleichung einsetzen wird der Wert auf der linken Seite zu klein. Setzen wir 'x gleich 1' ein wird der Wert auf der linken Seite zu groß. Die richtige Lösung muss als zwischen Null und 1 liegen. Möglicherweise reicht das schon als Näherung. Ansonsten könntest du so weiter immer näher an die richtige Lösung herankommen. Mit dem Näherungsverfahren kann man sich an die Lösung herantasten. Wir fassen zusammen. Für die Lösung von Exponentialgleichungen gibt es verschiedene Verfahren. Bei einer einzigen Potenz mit positiver Basis bildest du den Logarithmus. Wenn die Basis gleich ist, kann ein Vergleich der Exponenten zur Lösung führen – auch für negative Basen. Bei mehreren Potenzen mit der gleichen Basis und verschiedenen Exponenten hilft dir das Verfahren der Substitution. Und wenn sich keines der Verfahren anwenden lässt, kannst du zumindest näherungsweise die Lösung finden. In jedem Fall solltest du abschließend eine Probe durchführen. Moment mal. Warum vermehrt sich Millenniobacter nicht mehr? Oha! Die haben ja exponentiell schnell das Smartphone erfunden!

2 Kommentare
  1. Beste Tutoren 👍🏻

    Von Chrasher S., vor 11 Monaten
  2. Danke fuer das Video,
    aber in Aufgabe 3 steht in der Loesung:
    7^(3-1)=3*5^3 =7^2=3*15 =49=45 .
    Muesste das nicht eigentlich so aussehen:
    7^(3-1)=3*5^3 =7^2=3*125 =49=375 ?

    Von Hangu, vor 12 Monaten

Lösungen von Exponentialgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösungen von Exponentialgleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Schildere, unter welchen Bedingungen die Verfahren zur Lösung von Exponentialgleichungen verwendet werden.

    Tipps

    Sieh dir folgendes Beispiel für den Exponentenvergleich an:

    $(-3)^x=-27$.

    Sieh dir folgendes Beispiel für die Verwendung des Substitutionsverfahrens an:

    $0=9^x+3^x-90$.

    Lösung

    Eine Potenz kann allgemein beschrieben werden mit $a^n$. Dabei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

    Das Logarithmusverfahren verwendet man, wenn es eine einzige Potenz gibt, die eine positive Basis hat: $1,1^{x}=64$.

    Den Exponentenvergleich benutzt man, wenn es eine gleiche oder mögliche gleiche positive oder negative Basis gibt: $(-2)^{x}=-8$ $\rightarrow$ $(-2)^{x}=(-2)^3$.

    Das Substitutionsverfahren wendet man an, wenn es mehrere Potenzen mit verschiedener Basis und gleichem Exponenten gibt: $4^{x}+2^{x}-2=0$.

    Das Näherungsverfahren gebraucht man, wenn keins der anderen Verfahren sich eignet: $2^{x}+x=2$.

  • Berechne mit dem Logarithmusverfahren die Variable $x$.

    Tipps

    Sieh dir das folgende Beispiel zur Umformung nach dem dritten Logarithmusgesetz an.

    $\begin{array}{rll} 2,4^x &=& 35 &\vert\ \log() \\ \log(2,4^x) &=& \log(35) & \\ x\cdot\ \log(2,4) &=& \log(35) \end{array}$

    Setzt man den für $x$ errechneten Wert zur Probe in die ursprüngliche Gleichung ein und ergibt sich dann dieselbe Zahl wie auf der rechten Seite der Ursprungsgleichung, so stimmt der Wert für $x$ und er ist das gesuchte Endergebnis.

    Lösung

    Da es hier nur eine einzige Potenz mit positiver Basis gibt, wendet man das Logarithmusverfahren an. Das funktioniert so:
    $1,1^{x}=64\quad\vert\ \log()$
    $\log (1,1^{x})=\log(64)$.

    Das dritte Logarithmusgesetz besagt: $\log(a^{n})=n\cdot \log(a)$. Also formen wir unsere Gleichung dementsprechend um.
    $\log (1,1^{x})=\log(64)$
    $x\cdot \log(1,1)=\log(64)\quad\vert : \log(1,1)$
    $x=\frac{\log(64)}{\log(1,1)}$

    Gibt man diesen Term im Taschenrechner ein, bekommt man folgendes Ergebnis:
    $x\approx43,64$.

    Probe: $x=43,64$ in die Gleichung $1,1^{x}=64$ einsetzen.
    $1,1^{x}=64$
    $1,1^{43,64}\approx64,03$ $\checkmark$

    Das beweist: Nach ca. $44\ \text{min}$ ist die Petrischale vollständig besiedelt.

  • Untersuche, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

    Tipps

    Eine Aussage ist wahr, wenn nach Einsetzen des genannten Wertes für $x$ und anschließender Auflösung auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert steht.

    $0=0$ ist eine wahre Aussage.

    $5=0$ ist eine falsche Aussage, da $5\neq0$ ist.

    Sieh dir folgendes Beispiel an für die Gleichung $5x+x^2=14$, wenn $x=2$.

    $\begin{array}{rll} 5x+x^2 &=& 14 &\vert\ x=2\ \text{einsetzen} \\ 5\cdot2+2^2 &=&14 & \\ 10+4 &=& 14 & \\ 14 &=& 14 & \checkmark \\ \end{array}$

    Somit ist „$5x+x^2=14$, wenn $x=2$“ eine wahre Aussage.

    Lösung

    Wir überprüfen Aussagen, indem wir den Wert für $x$ einsetzen und überprüfen, ob die abschließende Aussage wahr ist, wie z.B. $4=4$, oder ob sie falsch ist, wie $5=4$.

    $(-3)^x=-9$, wenn $x=2$
    Wir setzen ein.
    $\begin{array}{rl} (-3)^x& =& -9 \\ (-3)^2 &=& -9 \\ 9 &=& -9 \end{array}$
    Dies ist eine falsche Aussage, da $9\neq-9$ ist.

    $8^{x}+4^{x}-4=0$, wenn $x=2$
    Wir setzen ein.
    $\begin{array}{rl} 8^{x}+4^{x}-4 &=& 0 \\ 8^2+4^2-4 &=& 0 \\ 64+16-4 &=& 0 \\ 76 &=& 0 \end{array}$
    Dies ist eine falsche Aussage, da $76\neq0$ ist.

    $9^{x}+3^{x}-12=0$, wenn $x=1$
    Wir setzen ein.
    $\begin{array}{rl} 9^{x}+3^{x}-12 &=& 0 \\ 9^1+3^1-12 &=& 0 \\ 9+3-12 &=& 0 \\ 0 &=& 0 \end{array}$
    Dies ist eine wahre Aussage, da $0=0$ ist.

    $64=2^{x}$, wenn $x=6$
    Wir setzen ein.
    $\begin{array}{rl} 64 &=& 2^{x} \\ 64 &=& 2^6 \\ 64 &=& 64 \\ \end{array}$
    Dies ist eine wahre Aussage, da $64=64$ ist.

    $(-4)^{x}=-64$, wenn $x=3$
    Wir setzen ein.
    $\begin{array}{rl} (-4)^{x} &=& -64 \\ (-4)^3 &=& -64 \\ -64 &=& -64 \\ \end{array}$
    Dies ist eine wahre Aussage, da $-64=-64$ ist.

    $7^{x-1}=3\cdot 5^x$, wenn $x=3$
    Wir setzen ein.
    $\begin{array}{rl} 7^{x-1} &=& 3\cdot 5^x \\ 7^{3-1} &=& 3\cdot 5^3 \\ 7^2 &=& 3\cdot 15 \\ 49 &=& 45 \\ \end{array}$
    Dies ist eine falsche Aussage, da $49\neq45$ ist.

  • Entscheide, welches Verfahren am geeignetsten zum Lösen der Gleichungen ist.

    Tipps

    Gibt es mehrere Potenzen mit unterschiedlichen Basen und gleichen Exponenten, kann man substituieren.

    Logarithmieren kann man, wenn es eine einzige Potenz mit positiver Basis gibt.

    Der Exponentenvergleich funktioniert auch bei negativer Basis.

    Lösung

    Logarithmusverfahren
    Dieses benutzt man, wenn es nur eine Potenz mit positiver Basis gibt. Diese Gleichungen erfüllen diese Bedingung:

    • $56=1,8^{x}$,
    • $1,3^{x}=15$ und
    • $1,02^x=28$.
    Exponentenvergleich
    Diesen Vergleich verwendet man, wenn auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Basis steht oder durch Umformung möglich wird. Außerdem funktioniert dieses Verfahren auch mit negativer Basis. Diese Gleichungen passen:
    • $(-3)^{x}=-27$,
    • $-64=(-4)^{x}$ und
    • $(-5)^{x}=(-5)^2$.
    Substitutionsverfahren
    Besteht eine Gleichung aus Summen bzw. Differenzen von mehreren Potenzen, benutzt man das Substitutionsverfahren. Voraussetzung ist, dass die Potenzen gleiche bzw. mögliche gleiche Basen haben. Die folgenden Gleichungen erfüllen diese Bedingungen:
    • $9^{x}+3^{x}=90$,
    • $2=2^{x}+4^{x}$ und
    • $9^{x}+3^{x}=20$.
    Näherungsverfahren:
    Mit diesem Verfahren kann man sich an die Lösung für $x$ herantasten, wenn die anderen Verfahren nicht anwendbar sind. Das trifft auf diese Gleichungen zu:
    • $x-2^{x}=0$,
    • $2x+4^x=80$ und
    • $34=3^x+3x$.

  • Bestimme die Eigenschaften der Exponentialgleichungen.

    Tipps

    Die Potenz $a^n$ setzt sich aus der Basis $a$ und dem Exponenten $n$ zusammen.

    Man kann zwei Werte zu einer gleichen Basis umformen, wenn der eine Wert potenziert den anderen Wert ergibt.

    Eine Potenz $a^n$ hat eine ...

    • ... positive Basis, wenn $a>0$ ist.
    • ... negative Basis, wenn $a<0$ ist.
    Lösung

    Eine Potenz kann allgemein beschrieben werden mit $a^n$. Dabei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent. Es ergeben sich folgende Gleichungseigenschaften.

    $1,1^x=64$
    In dieser Exponentialgleichung kommt eine einzige Potenz vor und diese hat eine positive Basis. Man benutzt daher das Logarithmusverfahren.

    $(-2)^{x}=-8$
    Es gibt eine einzige Potenz und die hat eine negative Basis. Hier kann man durch Umformung von $-8$ eine gleiche Basis schaffen. Daher verwendet man hier den Exponentenvergleich.

    $4^{x}+2^{x}-2=0$
    Es gibt mehrere Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichen Exponenten. Hier eignet sich das Substitutionsverfahren.

    $2^{x}+x=2$
    Hier sind weder Exponent noch Basis gleich. Daher kann man nur das Annäherungsverfahren benutzen.

  • Bestimme $x$ mit Hilfe des Substitutionsverfahrens.

    Tipps

    Du kannst in die Lücken sowohl Zahlenwerte als auch Variablen einsetzen.

    Ein Beispiel für das Potenzgesetz siehst du hier.

    $\begin{array}{lll} (a^n)^m &=& (a^m)^n \\ (5^3)^x &=& (5^x)^3 \end{array}$

    $9^x$ mit $z$ substituieren bedeutet, in der Gleichung jedes $9^x$ durch ein $z$ zu ersetzen.

    Lösung

    Ein Potenzgesetz besagt: $(a^n)^m=(a^m)^n$.
    Dieses wenden wir nun bei dem Term $9^x$ an.
    $9^x=(3^2)^x=(3^x)^2$

    Wir setzen diese Potenz nun in die Gleichung ein.
    $(3^x)^2+3^{x}-90=0$

    Nun substituieren wir $3^x$ durch $z$.
    $z^2+z-90=0$

    Und wir wenden die $pq$-Formel an.
    $z_{1,2}=-\frac12\pm\sqrt{{\left(\frac12\right)^2}+90}$
    $z_1=-10$
    $z_2=9$

    Wir resubstituieren:
    $3^{x_1}=z_1$
    $3^{x_1}=-10$ $\rightarrow$ fällt weg, da eine positive Basis kein negatives Ergebnis haben kann.
    $\begin{array}{lll} \\ 3^{x_2} &=& z_2 \\ 3^{x_2} &=& 9 \\ x_2 &=& 2 \end{array}$

    Wir machen die Probe, indem wir $x_2=2$ in die Ausgangsgleichung einsetzen.
    $ \begin{array}{lll} 9^{2}+3^{2}-90 &=& 0 \\ 81+9-90 &=& 0 \\ 0 &=& 0 \end{array} $

    Damit ist bewiesen: $x=2$.