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Was ist eine Exponentialgleichung?

Das Besondere bei einer Exponentialgleichung ist, dass die unbekannte Größe $x$ im Exponenten steht.

Schauen wir uns gleich einige Beispiele für Exponentialgleichungen an:

  • $2^x=32$
  • $3^{2x}=2\cdot 3^x+1$
  • $3^{2x+3}=4\cdot 2^x$

Wie du solche Exponentialgleichungen löst, wirst du im Folgenden sehen.

Sehr nützlich sind dabei die Logarithmen. Deshalb schauen wir uns diese noch einmal an.

Exponentialgleichung

Was ist der Logarithmus?

Der Logarithmus hat viel mit Potenzen zu tun.

Um genauer zu sein: Das Logarithmieren ist die Umkehroperation zum Potenzieren.

Du weißt sicherlich, dass $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$ ist. Nehmen wir für einen Moment einmal an, du weißt dies nicht: Du fragst dich also: Mit welcher Zahl müsste $2$ potenziert werden, damit $32$ herauskommt?

Dies führt zu der Gleichung $2^x=32$. Die Unbekannte $x$ steht im Exponenten. Dies ist also eine Exponentialgleichung.

Nun kommt der Logarithmus in's Spiel: Er beantwortet nämlich die obige Frage.

Schauen wir uns und den Logarithmus noch etwas genauer an sowie einige Gesetze zum Rechnen mit Logarithmen und dann können wir auch die Gleichung $2^x=32$ lösen.

Wie du bereits gelernt hast, kehrt der Logarithmus das Potenzieren um.

Bezeichnungen

Hier siehst du den Zusammenhang zwischen Potenzieren (links) und Logarithmieren (rechts) am Beispiel des Logarithmus dualis, also dem Logarithmus zur Basis $2$, sowie die zugehörigen Bezeichnungen.

976_ld_Bezeichnungen.jpg

  • Die Basis der Potenz ist auch die Basis im Logarithmus. Weil die Basis hier $2$ ist, können wir anstelle von $\log_2$ auch $\text{ld}$ für Logarithmus dualis schreiben.
  • Der Exponent $x$ ist die gesuchte Zahl. Diese steht alleine auf der linken Seite der „Logarithmus-Gleichung“.
  • Der Potenzwert $b$ wird zum Argument des Logarithmus. Dieses Argument wird auch als Numerus bezeichnet.

Die Logarithmengesetze

Im Folgenden wirst du die Logarithmengesetze brauchen:

  • Das 1. Logarithmusgesetz, die Logarithmen-Addition: $\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$
  • Das 2. Logarithmengesetz, die Logarithmen-Subtraktion: $\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$
  • Das 3. Logarithmusgesetz, der Logarithmus einer Potenz oder Wurzel besagt: $\log_a(u^r)=r\cdot \log_a(u)$

Nun kann es losgehen.

Lösungsmöglichkeiten für Exponentialgleichungen

Es gibt drei Fälle, die verschiedene Lösungsmöglichkeiten für Exponentialgleichungen beinhalten:

  • das Logarithmieren, zum Beispiel bei $2^x=32$
  • der Vergleich der Exponenten, zum Beispiel bei $4^{2x-1}=8^x$
  • die Substitution, zum Beispiel bei $3^{2x}=2\cdot 3^x-1$

Im Folgenden schauen wir uns zu jedem Fall Beispiele an.

Lösen durch Logarithmieren

Die Exponentialgleichung $2^x=32$ löst du durch Logarithmieren. Dabei ist es (eigentlich!) egal, welchen Logarithmus du verwendest: $\ln(2^x)=\ln(32)$. Mit dem dritten Logarithmusgesetz kannst du wie folgt umformen: $x\cdot \ln(2)=\ln(32)$. Zuletzt dividierst du durch $\ln(2)$ und erhältst:

$x=\frac{\ln(32)}{\ln(2)}=5$

Bei manchen Exponentialgleichungen musst du umformen:

$\begin{array}{rclll} 3^{2x+3}&=&4\cdot 2^x&|&\ln(~~~)\\\ \ln(3^{2x+3})&=&\ln(4\cdot 2^x)&|&\text{1. und 2. Log.gesetz}\\\ (2x+3)\cdot \ln(3)&=&\ln(4)+x\cdot \ln(2)&|&\text{T}\\\ 2x\cdot \ln(3)+3\cdot \ln(3)&=&\ln(4)+x\cdot \ln(2)&|&-x\cdot \ln(2)-3\cdot \ln(3)\\\ x\cdot(2\cdot \ln(3)-\ln(2))&=&\ln(4)-3\cdot \ln(3)&|&:(2\cdot \ln(3)-\ln(2))\\\ x&=&\frac{\ln(4)-3\cdot \ln(3)}{2\cdot \ln(3)-\ln(2)}&\approx&-1,27 \end{array}$

Lösen durch Exponentenvergleich

Zwei Potenzen mit gleicher Basis stimmen überein, wenn die Exponenten übereinstimmen.

Das bedeutet, dass man bei gleicher Basis die Exponenten vergleichen kann. Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an: $4^{2x-1}=8^x$

  • Du siehst sicher, dass sich sowohl $4$ als auch $8$ als Zweierpotenzen schreiben lassen:
  • $4=2^2$ und damit $4^{2x-1}=\left(2^2\right)^{2x-1}=2^{2\cdot(2x-1)}=2^{4x-2}$
  • $8=2^3$ und damit $8^x=\left(2^3\right)^x=2^{3x}$

Damit muss also die Gleichung $2^{4x-2}=2^{3x}$ gelöst werden. Da die Basen übereinstimmen, müssen auch die Exponenten übereinstimmen. Dies führt zu der (linearen!) Gleichung $4x-2=3x$. Wenn du auf beiden Seiten $3x$ subtrahierst und $2$ addierst, erhältst du $x=2$.

Wir machen einmal eine Probe, ob die Lösung korrekt ist, und setzen $x=2$ in die Ausgangsgleichung ein:

$4^{2\cdot 2-1}=4^3=64=8^2$ ✓

Lösen durch Substitution

Du kannst Exponentialgleichungen auch durch Substitution lösen. Wie schauen uns dies an einem Beispiel an: $3^{2x}=2\cdot 3^x-1$

  • Es ist $3^{2x}=(3^x)^2$.
  • Substituiere nun $u=3^x$.
  • So erhältst du $u^2=2u-1$, also eine quadratische Gleichung in $u$. Diese formst du noch um zu $u^2-2u+1=0$.
  • Siehst du, dass du die 1. binomische Formel verwenden kannst? $(u-1)^2=0$
  • Also ist $u=1$ die einzige Lösung dieser Gleichung.

Nun musst du noch resubstituieren: $3^x=u=1$. Also ist $x=0$, denn $3^0=1$, die gesuchte Lösung der obigen Gleichung.