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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (9)

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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (9)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (9)

In diesem Beispiel einer linearen Gleichung, musst du zunächst einige Termumformungen vornehmen. Als erstes musst du auf der linken Gleichungsseite nämlich die Klammer auflösen und zusammenfassen. Erst anschließend kannst du Äquivalenzumformungen vornehmen. Wie du dabei vorgehst, bekommst du ausführlich in diesem Video erklärt. Solltest du Probleme damit haben, Klammern aufzulösen. Dann wiederhole noch einmal das Distributivgesetz. Am Ende des Videos kannst du wieder versuchen, eigenständig die Testfrage zu lösen. Solltest du da die richtige Lösungsmenge berechnen, kannst du mit dem nächsten Video „Lineare Gleichungen – Beispiel 10“ weitermachen.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (9)

Hallo. Hier ist wieder eine lineare Gleichung. Sie lautet: 5x-2×(x-3)=5. Was jetzt neu ist in diesem Beispiel, ist die Klammer. Wie muss man hier vorgehen? Zunächst einmal muss man diesen Term hier ein bisschen vereinfachen und du weißt ja, wenn man eine Klammer hat, dass man erstmal die Klammer ausrechnet, bzw. wenn man mehrere Klammern hat, fängt man ganz innen an. Das muss man immer als erstes ausrechnen. Dann möchte ich mich mal um diese Klammer hier kümmern. 5x kann ich schonmal abschreiben, da kann nichts passieren. Dann muss diese Klammer hier jetzt bearbeitet werden mit dem Distributivgesetz. Wir wissen ja, dass man hier -2×x rechnen muss und dann nochmal -2×-3. -2×x ist einfach -2x und -2×-3 ist +6, minus×minus ergibt ja plus. Also kommt hier +6 hin. Und auf der anderen Seite steht dann noch die 5. Jetzt kann man hier diese beiden Summanden mit x zusammenfassen, das ist wieder eine Termumformung, also hier eine Äquivalenzumformung, das heißt wir erhalten eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat. 5x-2x, das sind 3x. 3x+6=5. Jetzt stört uns noch die 6 hier vermutlich. Dann können wir -6 auf beiden Seiten rechnen und erhalten 3x. Hier schreib ich das nicht mehr hin. 6-6=0, 3x+0=3x und 5-6=-1. So jetzt ist die Tafel zu Ende, macht nichts. Wir wollen nicht wissen, wie groß muss 3x sein, sondern wie groß muss x sein, also teilen wir durch 3. Das kennst du schon. Das basiert wieder auf anderen Gleichungen, die ich dir schon gezeigt habe. Also haben wir 3x auf der linken Seite geteilt durch 3, das ist einfach x. Und -3/3=1/3. Ich glaube, das kam noch nicht vor, dass die Lösungsmenge L aus der Zahl -1/3 besteht. Also -1/3 kam sowieso noch nicht vor, aber ich meine, dass ein Bruch auch noch nicht vorgekommen ist. Wie auch immer, die Lösungsmenge besteht jetzt aus einem Bruch, also aus -1/3. Das ist eine ganz normale Zahl, auch Brüche dürfen Lösungsmengen sein. Aber weil ich mir das nicht ganz so vorstellen kann, möchte ich hier mal die Probe machen. Und zwar muss ich da -1/3 einsetzen. Also, wenn ich 5×-1/3 rechne, dann ergibt das ja -5/3. Hier steht dann einfach -2, das ist klar. Hier setze ich jetzt auch -1/3 ein, also -1/3-3 und das soll gleich 5 sein. Wollen wir mal nachrechnen: Wir müssen wieder in der Klammer anfangen und da zuerst mal ausrechnen -1/3-3. 3 sind ja 9/3, dann stehen hier also insgesamt -10/3. -10/3×-2 sind +20/3. Wenn wir von den 20/3 5/3 abziehen, hier steht ja -5/3, dann sind wir bei 15/3, 20/3-15/3=15/3 und 15/3 kann man mit 3 kürzen, dann kommt ja 5 raus. Also das, was hier steht. Wunderbar, richtig gerechnet. Probe ist auch gelungen. Bis bald. Tschüss

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. du enderst hinten immer die Zahl bei 1934

    Von Vijay C., vor etwa 8 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (9) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (9) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Was passiert bei einer Multiplikation mit $0$?

    Das Teilen durch $0$ ist nicht erlaubt.

    Links und rechts von einem Gleichheitszeichen steht das Gleiche. Wenn du nur auf einer Seite etwas addierst, so steht links und rechts nicht mehr das Gleiche.

    Äquivalenzumformungen

    • ändern die Gültigkeit einer Gleichung nicht und
    • sind die wichtige Methode zum Lösen einer Gleichung.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von gleichen Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Es ist folgendes zu beachten:
    • Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.
    • Es darf nicht mit $0$ multipliziert und nicht durch $0$ dividiert werden.
    • Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

  • Berechne die Lösung der Gleichung $5x-2(x-3)=5$.

    Tipps

    Zum Auflösen der Klammer wird das Distributivgesetz angewendet:

    $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Ein Minuszeichen vor einer Klammer dreht in der Klammer jedes Vorzeichen um.

    Beachte, dass

    • bei der Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen,
    • bei der Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ und
    • bei der Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$
    alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

    Beim Zusammenfassen zweier Terme gilt:

    Die Variablen werden beibehalten und die Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert.

    Lösung

    Die einzelnen Schritte zur Lösung der Gleichung sind in dem Bild zu sehen:

    • Zunächst werden 2 Termumformungen durchgeführt:
    • Es gilt $-2(x-3)=-2x+6$ nach dem Distributivgesetz sowie
    • $5x-2x=3x$.
    • Durch Subtraktion von $6$ auf beiden Seiten der Gleichung erhält man $3x=-1$.
    • Nun wird durch $3$ dividiert.
    • So erhält man die Lösung $x=-\frac13$.
    • Es empfiehlt sich, eine Probe durchzuführen:
    $\begin{align*} 5\cdot \left(-\frac13 \right)-2\left(-\frac13-3 \right)&=5\\ -\frac53+\frac{20}3&=5~\surd \end{align*}$

    Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\left\{ -\frac13\right\}$.

  • Entscheide, ob eine Äquivalenzumformung vorliegt.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion gleicher Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion gleicher Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    $\begin{align*} 3(x+4)&=6&|&:3\\ x+4&=2 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung, da auf beiden Seiten der Gleichung durch $3$ dividiert wird.

    $\begin{align*} 3(x+4)&=6&|&:3\\ x+\frac43&=2 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung. Zwar wurde auf beiden Seiten durch $3$ dividiert, jedoch auf der linken Seite falsch umgeformt.

    $\begin{align*} 3(x+4)&=6&|&\text{ T}\\ 3x+4&=6 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung, da auf der linken Seite falsch umgeformt wurde. Es muss sowohl $x$ als auch $4$ mit $3$ multipliziert werden.

    $\begin{align*} 3(x+4)&=6&|&\text{ T}\\ 3x+12&=6 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung. Auf der linken Seite wurde das Distributivgesetz angewendet.

    $\begin{align*} 3x+12&=6&|&-12\\ 3x&=-6 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung. Auf beiden Seiten der Gleichung wird $12$ subtrahiert.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Ein Minuszeichen vor der Klammer tauscht in der Klammer die Vorzeichen um.

    Führe am Ende der Rechnung eine Probe durch: Setze deine Lösung in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Beachte:

    • Wenn du eine Zahl oder Variable addierst oder subtrahierst,
    • mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ multiplizierst oder
    • durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ dividierst,
    so musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

    Lösung

    Die einzelnen Schritte zur Lösung der Gleichung sind hier zu sehen:

    • Das Minuszeichen vor der Klammer vertauscht die Vorzeichen in der Klammer.
    • $-3+x$ wird zu $-2x$ zusammengefasst.
    • Durch Addition von $2$ kommt man zu der Gleichung $-2x=14$.
    • Nun wird durch $-2$ dividiert.
    • So erhält man die Lösung $x=-7$.
    • Es ist ratsam, eine Probe durchzuführen: $-(3\cdot(-7)+2)-7=12~\Leftrightarrow~-(-19)-7=12~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-7\}$.
  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Da die Lösungsmenge eine Menge ist, wird sie mit Mengenklammern geschrieben.

    Lösung

    Die Äquivalenzumformungen, welche von der Aufgabe $5x-2(x-3)=5$ zu der Lösung $x=-\frac13 $ führen, sind in dem Bild zu sehen.

    Da die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ eine Menge ist, wird sie mit Mengenklammern geschrieben:

    $\large{\mathbb{L}=\left\{-\frac13\right\}}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$.

    Achte auf das Vorzeichen vor der Klammer.

    Setze deine Lösung zur Probe in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Beachte:

    • Wenn du eine Zahl oder Variable addierst oder subtrahierst,
    • mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ multiplizierst oder
    • durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ dividierst,
    so musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

    Lösung

    Wir wollen die Gleichung $-3x-4(x+2)=6$ mittels Termumformungen lösen.

    • Zunächst werden die Klammer mit dem Distributivgesetz aufgelöst: $-3x-4x-8=6$.
    • Auf der linken Seite wird eine Termumformung durchgeführt: $-7x-8=6$.
    • Durch Addition von $8$ auf beiden Seiten der Gleichung kommt man zu $-7x=14$.
    • Die Lösung erhält man durch Division durch $-7$: $x=-2$.
    • Diese Lösung kann zur Probe in der Ausgangsgleichung eingesetzt werden: $-3\cdot(-2)-4(-2+2)=6~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{-2\}$.
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