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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7)

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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7)

Bei diesem Beispiel zur Lösung linearer Gleichungen ist eine kleine Schwierigkeit eingebaut. Du wirst sie bestimmt direkt gesehen haben. Die Variable x steht nämlich im Zähler eines Bruches. Das soll dich jetzt und auch künftig nicht beunruhigen. Denn im Video bekommst du auf anschauliche Weise erklärt, wie du auch solche eine Schwierigkeit meistern kannst. Rechne die Aufgabe am Ende des Videos doch noch einmal selbst durch. Dann kannst du nachvollziehen, ob du jeden Schritt des Lösungsweges verstanden hast. Zuletzt kannst du dann auch noch die Testaufgabe zum Video rechnen. Alles richtig? Dann weiter mit dem nächsten Beispiel!

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7)

Hallo. Hier ist wieder eine kleine Gleichung. x/6, oder x÷6 kann man auch sagen, +1=7. Diese Gleichung soll mithilfe von Äquivalenzumformungen in eine andere Gleichung umgeformt werden, die dieselbe Lösungsmenge hat. Und das wollen wir dann so lange umformen, bis wir eine Gleichung erhalten, der man die Lösungsmenge direkt ansehen kann.  Also, was kann man hier machen? Es ist ganz gut, wenn zunächst mal die 6 hier aus dem Nenner verschwinden würde. Ja, wir können so umformen, dass wir eine neue Gleichung erhalten, die die 6 nicht mehr im Nenner hat. Und dazu kann man mit 6 multiplizieren. Und hier passiert ein Fehler ganz häufig, dass man nämlich x/6 mit 6 multipliziert und vergisst, die 1 auch mit 6 zu multiplizieren. Denn es muss ja die gesamte linke Seite, und auch die rechte natürlich auch, aber die gesamte linke Seite muss mit 6 multipliziert werden. Und zur gesamten linken Seite gehört x/6 und auch die 1 dazu. Also muss die 1 auch unbedingt mit 6 multipliziert werden. Ich sage das ganz ausführlich und ganz deutlich, weil das ganz oft falsch gemacht wird. Aber jetzt machst du das ja richtig, jetzt weißt du das. Also immer die gesamte Gleichung multiplizieren, alle Summanden, die da sind, müssen multipliziert werden. Und so sieht das dann aus. Und man kann jetzt eine Termumformung machen und dann siehst du, naja, hier haben wir x, weil man ja mit der 6 kürzen kann. Angewandte Bruchrechnung. 1×6=6, dann steht also dann noch x+6 auf der linken Seite, wenn man die Termumformung macht. Und 7×6=42 und dann haben wir jetzt wieder eine Gleichung, die du wahrscheinlich schon zur Genüge kennst, wenn du die anderen Beispiele gesehen hast. Wir können auf beiden Seiten -6 rechnen, hier fasse ich mich jetzt kurz und schreibe einfach hin x, denn wir wissen ja, 6-6=0 und x+0 muss ich nicht hinschreiben, weil x+0=x ist. Also hier steht einfach das x und wir können jetzt noch rechnen 42-6 und das ist 36. Und damit sind wir dann am Ende dieser Äquivalenzumformung. Wir haben jetzt eine Gleichung erhalten, der man direkt ansehen kann, welche Lösungsmenge sie hat, nämlich die Menge, die die Zahl 36 enthält. Und das ist bei dieser Gleichung so, bei dieser, bei dieser, bei dieser. Denn wir haben ja von hier nach hier Äquivalenzumformungen gemacht. Das heißt, die Lösungsmenge ist immer gleich geblieben. Also hat diese Gleichung auch die Lösungsmenge 36. Wir können es kurz testen. Wir können ja hier mal für x 36 einsetzen, dann müssen wir rechnen 36 - ach, ich kann es auch eben machen, warum nicht - 36÷6, wissen wir ja, ist gleich 6 und dann +1 ist 7. Dann haben wir das richtig gemacht, alles. Juche. Und hier kommt die Lösungsmenge hin - ist nicht mehr viel Platz, aber dafür reicht es noch - also die Lösungsmenge besteht aus der Menge, die die Zahl 36 enthält. Oder man sagt einfach, 36 ist die Lösung. Ist nicht ganz richtig, sagt man aber so. Egal. Viel Spaß damit. Tschüss.                                                

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. sehr gut erklärt

    Von Tom Rosendahl, vor fast 4 Jahren
  2. gut erklärt

    Von Judith H., vor fast 5 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7) kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Es gilt $4=4$. Gilt auch $4:2=4$?

    Die Gleichung $4=5$ ist nicht erfüllt. Durch Multiplikation mit $0$ führt dies zu der Gleichung $0=0$, welche sicher erfüllt ist.

    Ist eine Gleichung lösbar (unlösbar), so ist sie auch nach Äquivalenzumformungen lösbar (unlösbar).

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Die Multiplikation mit der $0$ macht aus jeder beliebigen, also auch unlösbaren, Gleichung die Gleichung $0=0$, welche immer erfüllt ist.

    Das Dividieren durch $0$ ist nicht erlaubt.

    Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden. Termumformungen können auch nur auf einer Seite der Gleichung durchgeführt werden.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung $\frac x6+1=7$.

    Tipps

    Achte beim Multiplizieren und Dividieren von Summen- und Differenztermen darauf, jeden Term zu multiplizieren oder dividieren.

    Zum Beispiel: $4+x=5~|~\cdot3$

    führt zu $4\cdot 3+x\cdot3=5\cdot3$.

    Beachte:

    • Addition und Subtraktion von Zahlen oder Variablen,
    • Multiplikation mit Zahlen oder Variablen ungleich $0$ und
    • Division durch Zahlen oder Variablen ungleich $0$
    sind immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

    Es darf nie mit $0$ multipliziert werden oder durch $0$ dividiert.

    Du kannst die gefundene Lösung zur Probe in der Ausgangsgleichung einsetzen. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Die einzelnen Schritte sind in dem Bild zu erkennen:

    • Es wird mit $6$ multipliziert.
    • Termumformungen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens führen zu $x+6=42$.
    • Nun wird $6$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert zu
    • $x=36$.
    • Dies ist die gesuchte Lösung.
    • Probe: $\frac{36}{6}+1=7~\Leftrightarrow~6+1=7~\surd$.

  • Prüfe, ob es sich bei den Umformungen um Äquivalenzumformungen handelt.

    Tipps

    Bei der Multiplikation von Summen mit einem Faktor muss jeder Summand mit diesem Faktor multipliziert werden.

    Wird eine Summe durch eine Zahl dividiert, so muss jeder Summand dividiert werden.

    Wird eine Zahl oder eine Variable addiert oder subtrahiert, so muss dies auf beiden Seiten geschehen.

    Dies gilt ebenso für die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ und die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$.

    Es gilt $7\neq 10$. Durch die Multiplikation mit $0$ gelangt man zu der Gleichung $0=0$. Diese ist erfüllt.

    Durch eine Äquivalenzumformung kann man nicht von einer nicht lösbaren Gleichung zu einer lösbaren kommen.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    $\begin{align*} 6x&=12&|&\cdot 0\\ 0&=0 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung, da mit $0$ multipliziert wird.

    $\begin{align*} 6x+6&=12&|&:6 \\ x+6&=2 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung, da zwar auf der linken Seite der Gleichung nur ein Summand durch $6$ dividiert wird.

    $\begin{align*} 6x+6&=12&|&:6 \\ x+1&=2 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung. Im Gegensatz zum Beispiel (2) wird hier auch der zweite Summand durch $6$ dividiert.

    $\begin{align*} 6x+6+4x&=26+x-2&|&\text{ T} \\ 10x+6&=24x \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung, da die Termumformung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nicht korrekt ist. Dort müsste $24+x$ stehen.

    $\begin{align*} \frac x5=2&|&\cdot 5 \\ x&=10 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung.

  • Wende Äquivalenzumformungen zur Lösung der Gleichung an.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Beachte, dass die Äquivalenzumformungen

    • Addition oder Subtraktion einer Zahl oder Variablen,
    • Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ oder
    • Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$
    auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

    Du kannst am Ende der Umformungen immer eine Probe durchführen: Setze die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Die einzelnen Äquivalenzumformungen sind in dem Bild zu erkennen:

    • Auf beiden Seiten der Gleichung wird die $2$ addiert.
    • Die Gleichung wird auf beiden Seiten mit $7$ multipliziert.
    • Sowohl links als auch rechts werden Termumformungen durchgeführt.
    • Die gesuchte Lösung ist $x=35$.
    • Probe $\frac{35}7-2=3~\Leftrightarrow~5-2=3~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{35\}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung $\frac x6+1=7$ an.

    Tipps

    Führe mit der gefundenen Lösung eine Probe durch.

    Setze sie in die Ausgangsgleichung ein und diese muss erfüllt sein.

    Achte auf die Schreibweise. Die Lösungsmenge wird gewöhnlich mit einem $\text{L}$ und einem zusätzlichen Strich gekennzeichnet.

    Lösung

    Die Äquivalenzumformungen, welche zur Lösung der Gleichung führen sind hier zu sehen. Die Gleichung wird gelöst durch $x=36$.

    Diese kann durch Probeeinsetzen überprüft werden:

    $\frac{36}6+1=7~\Leftrightarrow~6+1=7~\surd$.

    Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{36\}$.

  • Berechne die Lösung der Gleichung $\frac x5+3=x-1$.

    Tipps

    Bei der Multiplikation von Summen- oder Differenztermen mit einem Faktor müssen alle Terme mit dem Faktor multipliziert werden.

    Führe eine Probe durch: Setze deine Lösung in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Lösung

    Die einzelnen Äquivalenzumformungen sind in dem Bild zu sehen:

    • Zunächst wird die $3$ subtrahiert.
    • Um die $5$ im Nenner zu entfernen, wird mit $5$ multipliziert. Dabei ist zu beachten, dass auf der rechten Seiten sowohl der Minuend als auch der Subtrahend mit $5$ multipliziert wird.
    • Durch Termumformung auf beiden Seiten der Gleichung gelangt man zu $x=5x-20$.
    • Nun wird $5x$ subtrahiert, was zu der Gleichung $-4x=-20$ führt.
    • Die Division durch $-4$ führt zu der gesuchten Lösung $x=5$.
    • Probe: $\frac55+3=5-1~\Leftrightarrow~1+3=5-1~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{5\}$.
    Die Reihenfolge der Rechenschritte und der Umformungen ist nicht festgelegt. Dein Lösungsweg kann auch anders aussehen. Man hätte zum Beispiel auch zuerst mit $5$ multiplizieren können.

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