Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7)

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (7) Übung

• Benenne die Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Es gilt $4=4$. Gilt auch $4:2=4$?

  Die Gleichung $4=5$ ist nicht erfüllt. Durch Multiplikation mit $0$ führt dies zu der Gleichung $0=0$, welche sicher erfüllt ist.

  Ist eine Gleichung lösbar (unlösbar), so ist sie auch nach Äquivalenzumformungen lösbar (unlösbar).

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Die Multiplikation mit der $0$ macht aus jeder beliebigen, also auch unlösbaren, Gleichung die Gleichung $0=0$, welche immer erfüllt ist.

  Das Dividieren durch $0$ ist nicht erlaubt.

  Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden. Termumformungen können auch nur auf einer Seite der Gleichung durchgeführt werden.

• Bestimme die Lösung der Gleichung $\frac x6+1=7$.

  Tipps

  Achte beim Multiplizieren und Dividieren von Summen- und Differenztermen darauf, jeden Term zu multiplizieren oder dividieren.

  Zum Beispiel: $4+x=5~|~\cdot3$

  führt zu $4\cdot 3+x\cdot3=5\cdot3$.

  Beachte:

  • Addition und Subtraktion von Zahlen oder Variablen,
  • Multiplikation mit Zahlen oder Variablen ungleich $0$ und
  • Division durch Zahlen oder Variablen ungleich $0$

  sind immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

  Es darf nie mit $0$ multipliziert werden oder durch $0$ dividiert.

  Du kannst die gefundene Lösung zur Probe in der Ausgangsgleichung einsetzen. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Die einzelnen Schritte sind in dem Bild zu erkennen:

  • Es wird mit $6$ multipliziert.
  • Termumformungen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens führen zu $x+6=42$.
  • Nun wird $6$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert zu
  • $x=36$.
  • Dies ist die gesuchte Lösung.
  • Probe: $\frac{36}{6}+1=7~\Leftrightarrow~6+1=7~\surd$.

• Prüfe, ob es sich bei den Umformungen um Äquivalenzumformungen handelt.

  Tipps

  Bei der Multiplikation von Summen mit einem Faktor muss jeder Summand mit diesem Faktor multipliziert werden.

  Wird eine Summe durch eine Zahl dividiert, so muss jeder Summand dividiert werden.

  Wird eine Zahl oder eine Variable addiert oder subtrahiert, so muss dies auf beiden Seiten geschehen.

  Dies gilt ebenso für die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ und die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$.

  Es gilt $7\neq 10$. Durch die Multiplikation mit $0$ gelangt man zu der Gleichung $0=0$. Diese ist erfüllt.

  Durch eine Äquivalenzumformung kann man nicht von einer nicht lösbaren Gleichung zu einer lösbaren kommen.

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  $\begin{align*} 6x&=12&|&\cdot 0\\ 0&=0 \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung, da mit $0$ multipliziert wird.

  $\begin{align*} 6x+6&=12&|&:6 \\ x+6&=2 \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung, da zwar auf der linken Seite der Gleichung nur ein Summand durch $6$ dividiert wird.

  $\begin{align*} 6x+6&=12&|&:6 \\ x+1&=2 \end{align*}$

  Dies ist eine Äquivalenzumformung. Im Gegensatz zum Beispiel (2) wird hier auch der zweite Summand durch $6$ dividiert.

  $\begin{align*} 6x+6+4x&=26+x-2&|&\text{ T} \\ 10x+6&=24x \end{align*}$

  Dies ist keine Äquivalenzumformung, da die Termumformung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nicht korrekt ist. Dort müsste $24+x$ stehen.

  $\begin{align*} \frac x5=2&|&\cdot 5 \\ x&=10 \end{align*}$

  Dies ist eine Äquivalenzumformung.

• Wende Äquivalenzumformungen zur Lösung der Gleichung an.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Beachte, dass die Äquivalenzumformungen

  • Addition oder Subtraktion einer Zahl oder Variablen,
  • Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ oder
  • Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$

  auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

  Du kannst am Ende der Umformungen immer eine Probe durchführen: Setze die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Die einzelnen Äquivalenzumformungen sind in dem Bild zu erkennen:

  • Auf beiden Seiten der Gleichung wird die $2$ addiert.
  • Die Gleichung wird auf beiden Seiten mit $7$ multipliziert.
  • Sowohl links als auch rechts werden Termumformungen durchgeführt.
  • Die gesuchte Lösung ist $x=35$.
  • Probe $\frac{35}7-2=3~\Leftrightarrow~5-2=3~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{35\}$.

• Gib die Lösungsmenge der Gleichung $\frac x6+1=7$ an.

  Tipps

  Führe mit der gefundenen Lösung eine Probe durch.

  Setze sie in die Ausgangsgleichung ein und diese muss erfüllt sein.

  Achte auf die Schreibweise. Die Lösungsmenge wird gewöhnlich mit einem $\text{L}$ und einem zusätzlichen Strich gekennzeichnet.

  Lösung

  Die Äquivalenzumformungen, welche zur Lösung der Gleichung führen sind hier zu sehen. Die Gleichung wird gelöst durch $x=36$.

  Diese kann durch Probeeinsetzen überprüft werden:

  $\frac{36}6+1=7~\Leftrightarrow~6+1=7~\surd$.

  Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{36\}$.

• Berechne die Lösung der Gleichung $\frac x5+3=x-1$.

  Tipps

  Bei der Multiplikation von Summen- oder Differenztermen mit einem Faktor müssen alle Terme mit dem Faktor multipliziert werden.

  Führe eine Probe durch: Setze deine Lösung in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Lösung

  Die einzelnen Äquivalenzumformungen sind in dem Bild zu sehen:

  • Zunächst wird die $3$ subtrahiert.
  • Um die $5$ im Nenner zu entfernen, wird mit $5$ multipliziert. Dabei ist zu beachten, dass auf der rechten Seiten sowohl der Minuend als auch der Subtrahend mit $5$ multipliziert wird.
  • Durch Termumformung auf beiden Seiten der Gleichung gelangt man zu $x=5x-20$.
  • Nun wird $5x$ subtrahiert, was zu der Gleichung $-4x=-20$ führt.
  • Die Division durch $-4$ führt zu der gesuchten Lösung $x=5$.
  • Probe: $\frac55+3=5-1~\Leftrightarrow~1+3=5-1~\surd$.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{5\}$.

  Die Reihenfolge der Rechenschritte und der Umformungen ist nicht festgelegt. Dein Lösungsweg kann auch anders aussehen. Man hätte zum Beispiel auch zuerst mit $5$ multiplizieren können.