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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6)

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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6)

In diesem Video findest du ein weiteres Beispiel für eine lineare Gleichung. Wenn du bereits die vorangegangenen Beispiele gesehen und verstanden hast. Dann halte doch das Video an und probiere zunächst selbst die Lösungsmenge der Beispielaufgabe zu lösen. Spiele anschließend das Video ab und überprüfe damit, ob du alles richtig gemacht hast. Am Ende des Videos kannst du auch wieder die Testfrage zum Video rechnen. Wenn du auch diese Aufgabe richtig hast, dann schnell weiter zum nächsten Video „Lineare Gleichungen - Beispiel 7“.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6)

Hallo, hier hab ich eine ganz kleine Gleichung vorbereitet. 7X=28 Und Du kennst das ja schon, 7X bedeutet 7 x X. Kann man auch so schreiben, meistens wird der Mal Punkt weggelassen. Und wir wollen jetzt von dieser Lösungsgleichung die Lösungsmenge bestimmen, und zwar mithilfe dieser Äquivalenzumformungen. Was jetzt neu ist an diesem Beispiel, ist, dass wir jetzt sinvollerweise teilen können. Wir können beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl teilen. Und dann wird die Gleichung so einfach, dass man die Lösungsmenge direkt ablesen kann, wenn man dann noch eine kleine Umformung macht, aber ich zeigs jetzt einfach. Also, wir teilen durch 7, auf beiden Seiten. Und das kann man zunächst mal als Bruch schreiben. Dann haben wir hier 7X7 und 28÷7. Das muss man immer auf beiden Seiten machen. Ja, und da Du ja die Bruchrechnung kennst, kann man jetzt einfach eine Termumformung machen. Hier kann man die 7 kürzen. Ich weiß nicht, soll ichs hinschreiben? Hier 7 kürzen, dann bleibt eine 1 übrig im Nenner und X÷1 ist einfach =X. Und deshalb kann ich hier das X hinschreiben. Und 28/7 kann man auch kürzen, aber das weißt Du auch so, das ist =4. Das schreib ich nicht alles hin, das mit dem kürzen. X=4 Das ist also die Gleichung, die rauskommt, wenn man diese Äquivalenzumformung auf diese Gleichung anwendet. Und da diese Gleichung dieselbe Lösung hat wie die, können wir überzeugt sein, dass hier die Lösungsmenge auch 4 ist. Die Menge enthält die Zahl 4 und wenn man für X 4 einsetzt, ist die Gleichung richtig, ansonsten ist sie nicht richtig. Also Lösungsmenge L ist die Menge, die die 4 enthält. Und da gibt es auch noch eine andere Möglichkeit vorzugehen. Ja, die genauso sinnvoll ist, die das Gleiche bewerkstelligt, wie man sagt. Wir haben wieder 7X=28. Und wir können multiplizieren, um die Gleichung einfacher zu machen. Wir können nämlich mit 1/7 multiplizieren. Und dann steht hier zum Beispiel 1/7x7X. Ob man das jetzt davor oder danach schreibt, ist ja egal. Du weißt, das das Kommutativgesetz für Multiplikationen gilt. Das heißt das mal das ist das Gleiche wie das mal das oder das mal das, also man kann die vertauschen. ok, deshalb, ich schreibs davor, manche schreibens dahinter. Ich machs mal so, mal so. Es sollte Dich nicht irritieren, dass es da mehrere Möglichkeiten gibt, ich weiß, manche Schüler sagen dann: Ich will aber nur eine Möglichkeit wissen, dann ist das für mich einfacher. Nein, das Lernziel besteht unter anderem darin, hier zu sehen, es gibt verschiedene Möglichkeiten das aufzuschreiben, diese Rechenoperation aufzuschreiben. Alle Möglichkeiten sind völlig gleichwertig. Das ist mit das Lernziel, das ist wichtig, dass Du das weißt. So, und dann steht hier auch 1/7  x 28 und das, glaub ich, muss ich jetzt nicht in allen Einzelheiten noch weiter aufdröseln. Du hast ja Bruchrechnung gehabt, Du kannst das und hier kann man einfach rechnen 1/7 x 7 das ist 1. 1xX ist X. Also steht hier x auf der Seite. Das ist eine Termumformung und 1/7x28 ist 4. Und damit haben wir dieselbe Gleichung wie im anderen Fall erhalten. Also diese beiden Herangehensweisen durch 7 teilen und mit 1/7 multiplizieren sind völlig gleichwertig. Und zur selben Lösungsmenge führen sie ohnehin. Von daher, Du kannst es entscheiden, wie Du das machen möchtest. Viel Spaß damit, tschüss

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. DEt woar for mi jet mittelmäßig guat!

    Von Amin H., vor etwa 3 Jahren
  2. gutes Video du bist der beste

    Von Miclinden2003, vor fast 4 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (6) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärungen zu Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Da $4=4$ gilt, gilt auch

    • $4±1=4±1$,
    • $4\cdot 3=4\cdot 3$ sowie
    • $4:2=4:2$.

    Das Teilen durch $0$ ist nicht erlaubt.

    Es gilt sicherlich nicht $5=9$. Wenn du auf beiden Seiten mit $0$ multiplizierst, steht dann da $0=0$. Dies ist eine wahre Aussage. Wenn dies eine Äquivalenzumformung wäre, dann müsste auch die erste Aussage $5=9$ stimmen.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Die Multiplikation mit $0$ führt immer zu einer wahren Aussage: $0=0$.

    Das Teilen durch $0$ ist nicht erlaubt.

    Im Gegensatz zu den Äquivalenzumformungen müssen Termumformungen nicht auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

  • Berechne die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Auf der linken Seite der Gleichung steht $7\cdot x$. $x$ soll nach der Umformung alleine stehen.

    Das Kürzen von Brüchen ist eine Termumformung.

    Da nur Äquivalenzumformungen durchgeführt werden, löst das gefundene $x$ auch die Ausgangsgleichung.

    Du kannst zur Probe $x=4$ in der Ausgangsgleichung einsetzen:

    $7\cdot 4=28~\surd$.

    Lösung

    Zu lösen ist die Gleichung $7\cdot x=28$.

    • Um den Faktor $7$ auf der linken Seite „wegzubekommen“, wird auf beiden Seiten der Gleichung durch diesen Faktor geteilt:
    • $\frac{7x}7=\frac{28}7$.
    • Nun kann sowohl links als auch rechts des Gleichheitszeichens gekürzt werden. Dies ist eine Termumformung.
    • $x=4$.
    • Die Lösung der Ausgangsgleichung ist gefunden.
    • Dies kann man durch eine Probe überprüfen: $7\cdot4=28~\surd$.

  • Entscheide, ob es sich um eine Äquivalenzumformung handelt.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Durch eine Äquivalenzumformung darf eine Gleichung in ihrer Lösung nicht verändert werden.

    Eine unlösbare Gleichung kann durch eine Äquivalenzumformung nicht lösbar werden.

    Und umgekehrt kann eine lösbare Gleichung durch eine Äquivalenzumformung nicht unlösbar werden.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    $\begin{align*} 3\cdot x&=9&|&\cdot \frac 13\\ x&=9 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung, da nur auf einer Seite mit $\frac13$ multipliziert wird.

    $\begin{align*} 3\cdot x-2&=9&|&+2\\ 3\cdot x&=11 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung, da auf beiden Seiten eine Zahl, $2$, addiert wird.

    $\begin{align*} 3- x&=9&|&+x\\ 3&=9x \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung, da die Variabel $x$ auf der linken Seite addiert, auf der rechten jedoch multipliziert wird. Wenn auf der rechten Seite $9+x$ stehen würde, so würde eine Äquivalenzumformung vorliegen.

    $\begin{align*} 3x&=9&|&:3\\ x&=3 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung, da auf beiden Seiten durch $3$ geteilt wird.

    $\begin{align*} \frac{3x}3&=\frac 93&|&\text{ T }\\ 0&=3 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung. Es werden auf beiden Seiten Termumformungen durchgeführt, jedoch ist die auf der linken Seite nicht korrekt. Es müsste $x$ dort stehen.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung $3\cdot x+2=11$.

    Tipps

    Achte bei der Lösungsmenge auf die Schreibweise.

    Du kannst durch Einsetzen der Lösung in der Ausgangsgleichung die Probe machen.

    Ist die Ausgangsgleichung erfüllt, so ist die Lösung gefunden.

    Dies gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, dass Äquivalenzumformungen durchgeführt worden sind.

    Achte bei Äquivalenzumformungen darauf, dass

    • die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen,
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ und
    • die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ immer auf beiden Seiten der Gleichung erfolgen muss.

    Lösung

    Um die Gleichung $3\cdot x+2=11$ zu lösen, werden Äquivalenzumformungen angewendet:

    • Die Subtraktion der $2$ führt zu $3\cdot x=9$.
    • Nun kann durch $3$ geteilt werden: $\frac{3\cdot x}{3}=\frac93$.
    • Durch Termumformung gelangt man zu $x=3$, der gesuchten Lösung.
    • Probe: $3\cdot 3+2=11~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{3\}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung $7\cdot x=28$ an.

    Tipps

    Die Lösungsmenge ist eine Menge. Hierfür wird die Mengenschreibweise verwendet.

    Wenn du eine Lösung gefunden hast, so kannst du diese überprüfen, indem du sie zur Probe in die Ausgangsgleichung einsetzt.

    Achte auf die Schreibweise. Mengen werden in der Mathematik mit einem Doppelstrich gekennzeichnet.

    Lösung

    Die Gleichung $7\cdot x=28$ wird durch Äquivalenzumformungen zu $x=4$ umgeformt. Das bedeutet, dass $x=4$ die Ausgangsgleichung löst.

    Man kann eine Probe durchführen: $7\cdot 4=28~\surd$.

    Die Lösungsmenge wird in der Schreibweise eines großen „L“ mit einem Strich angegeben:

    $\large{\mathbb{L}=\{4\}}$.

  • Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung $3x+2+x=x+17$.

    Tipps

    Fasse zunächst, soweit möglich, links und rechts des Gleichheitszeichens die Terme zusammen.

    Wende Äquivalenzumformungen an:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Mache eine Probe. Setze die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Es werden Äquivalenzumformungen zur Lösung der Gleichung angewendet - dies ist in dem Bild zu erkennen:

    • Zunächst werden auf der linken Seite die Variablen zusammengefasst. Das $\text{T}$ steht für Termumformung.
    • Da sich auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens noch die Variable befindet, wird diese subtrahiert.
    • Die Addition von $2$ führt zu der Gleichung $3x=15$.
    • Nun wird durch $3$ dividiert und man erhält die Lösung $x=5$.
    • Probe $3\cdot5+2+5=5+17~\Leftrightarrow~22=22~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{5\}$.

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