30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (5)

Bewertung

Ø 3.4 / 7 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (5)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (5)

Wenn du die anderen Beispiele für die Lösung von linearen Gleichungen bereits gesehen und verstanden hast, wirst du dieses Beispiel vermutlich schon selbst lösen können. Falls du sie nicht gesehen hast oder noch Probleme hast, die Lösung einer linearen Gleichung zu finden, dann schau bei dem Video genau hin. Es erklärt dir auf gewohnt anschauliche Weise, wie die Beispielaufgabe Schritt für Schritt gelöst wird. Anschließend kannst du dich an der Testfrage probieren. Solltest du die richtig haben, hast du wohl das Wichtigste bereits verstanden und kannst dir das nächste Beispiel im Video „Lineare Gleichungen - Beispiel 6“ anschauen.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (5)

Hallo, hier ist eine Gleichung und da sind die Äquivalenzumformungen und die sollen jetzt mal zusammenkommen. Wir wollen mit diesen Äquivalenzumformungen die Gleichung lösen. So sagt man das ja, obwohl es nicht ganz richtig ist. Man bestimmt die Lösungsmenge der Gleichung. Die Gleichung lautet: 7-x=5. Warum zeig ich dieses Beispiel? Weil hier einmal neu ist, in jedem Beispiel ist ja wieder was Neues dabei, einmal ist neu, dass man hier quasi 2 gleichgute Möglichkeiten hat, die Gleichung so umzuformen, dass man die Lösungsmenge ablesen kann. Und es kommt eine Multiplikation mit -1 vor. Also, was können wir zunächst mal tun, um diese Gleichung so umzuformen, dass wir sie leichter lösen können? Da ist es praktisch, wenn diese 7 hier einfach verschwinden würde, irgendwie. Dann wäre diese linke Seite schon mal etwas einfacher. Also können wir rechnen -7. Dann steht da, ich setze das jetzt mal an den Anfang, -7 und diese Zahl ist ja positiv, also steht da +7-x= hier kann ich -7 auch an den Anfang setzen, also hier -7 und die 5 ist ja positiv, also +5. Jetzt ist es erst mal komplizierter geworden. Aber wir können ja noch hier das Ergebnis ausrechnen und da auch. Das heißt, wir brauchen eine Termumformung. Wir wissen ja, -7+7=0. Und 0 muss ich gar nicht mehr hinschreiben, denn wenn man irgendwo eine 0 dazu tut, dann ändert sich ja nichts am Ergebnis. Also schreib ich einfach -x hin. -7+5=-2. Und dann steht da das Ergebnis. Ich hab da jetzt eine Termumformung auf beiden Seiten gemacht. Das geht, auf einer Seite wäre es auch gegangen. Aber wenn man das auf beiden Seiten macht, dann ist das natürlich auch eine Äquivalenzumformung. So, und jetzt wollen wir ja nicht wissen, was man für -x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Sondern, wir wollen wissen, was man für x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird. Also können wir hier mit -1 multiplizieren. Und das schreibt man so auf: ×-1. Und, dass das geht, das steht hier, denn wir können auf beiden Seiten mit einer Zahl ?0 multiplizieren, also auch mit -1. Und dann schreib ich das einmal ganz ausführlich auf. Wir haben also -1×(-x)=-1×(-2). Hier ist wichtig, wenn du mit dem negativen x multiplizierst, dann muss dieses negative x, also dieses -x, in Klammern geschrieben werden. Genau so hier, wenn du mit -2 multiplizieren möchtest, dann muss diese -2 in Klammern geschrieben werden. Wenn du mit -1 multiplizierst und die 1 vorne steht, dann muss man das nicht. Man hätte auch  zum Beispiel hier das -x nach vorne schreiben können, dann hätte man -x nicht einklammern müssen. Aber wenn man dann mit -1 dann multiplizieren möchte, dann muss man um -1 eine Klammer setzen. Ja, das kann man jetzt noch weiter ausrechnen. Das heißt, man kann wieder eine Termumformung machen. Dann steht hier -1×(-x), -×-=+, und 1×x=x, das heißt hier steht dann x. Und auf der Seite machen wir auch eine Termumformung, nämlich wir können das ja ausrechnen, -1×(-2), wissen wir wieder, -×-=+, 1×2=2, also steht hier 2.
Das heißt also, wir können jetzt dieser Gleichung ansehen, welche Lösungsmenge sie hat. Nämlich, es ist die Menge, die die 2 enthält. Immer, wenn man für x 2 einsetzt ist die Gleichung richtig. Ansonsten ist sie nicht richtig. Da wir von hier nach da alles Äquivalenzumformungen gemacht haben, wissen wir, diese Gleichung hat dieselbe Lösungsmenge wie diese, dieselbe wie diese, dieselbe wie diese, dieselbe wie diese. Und das heißt, wir können hier für x 2 einsetzen, sodass diese Gleichung richtig ist und haben damit auch die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt.
Und jetzt hatte ich schon angekündigt, dass es hier also mindestens 2 gleichgute Möglichkeiten gibt, diese Gleichung zu lösen. Also ich zeige die andere auch: 7-x=5. Und wir können nun +x rechnen auf beiden Seiten. Das geht auch. Also wenn man hier sagt, man kann auf beiden Seiten etwas addieren, also plus rechnen, dann heißt das auch, dass wir das mit Variablen machen können, auch das ist eine Äquivalenzumformung. Das mache ich jetzt, also +x und dann steht hier 7-x+x=5+x. Und jetzt kann ich eine Termumformung machen, denn -x+x ist zusammen 0. Das ist immer so, egal was man für x einsetzt. Deshalb kann ich hier statt 7-x+x einfach hinschreiben 7+0. Aber 7+0=7. Deshalb kommt hier einfach die 7 hin. Auf der anderen Seite bleibt alles, wie es ist, nämlich 5+x. Und jetzt kann man noch die 5 auf die andere Seite bringen, wie man so sagt. Ist nicht ganz richtig, aber sagt man häufiger so. Also, wir können -5 auf beiden Seiten rechnen. Das bedeutet, wir haben hier -5+7 und das haben wir da auch, -5, diese 5 muss ich da abschreiben, dass ist eine +5 und +x auch. Ich hab jetzt wieder die 5 voran gestellt, ich hätte sie auch hinter die 7 schreiben können. Das  ist eigentlich egal. Nicht nur eigentlich, das ist auch wirklich egal, weil sich das Ergebnis dadurch nicht ändert. Jetzt kommt eine Termumformung, wir müssen das noch ausrechnen und das. Nun, -5+7=2, und -5+5=0, das schreibe ich nicht mehr hin, weil 0+x=x ist. Wir haben hier stehen x=2. Und siehe da, es ist die gleiche Gleichung, die wir da auch erhalten haben. Somit können wir ganz entspannt hinschreiben, dass die Lösungsmenge dieser Gleichung die Menge ist, die die Zahl 2 enthält. Und das gilt nicht nur für diese und diese und diese, sondern auch für diese hier, für unsere Ausgangsgleichung. Das ist die Lösungsmenge der Gleichung 7-x=5. Natürlich hätte man das auch raten können, dann wäre man schneller fertig geworden, aber es geht ja um die Methode. Und es geht darum mit dieser Methode irgendwann ganz große und ganz komplizierte Gleichungen ganz einfach lösen zu können. Das ist der Sinn der Sache. Viel Spaß damit, tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Ich habe alles verstanden und es wurde gut erklärt jetzt bin ich gut vorbereitet auf die Arbeit.
    Danke!!!!!!!!

    Von Tom Rosendahl, vor fast 4 Jahren
  2. Hallo,

    ich finde es sehr gut, dass die Methodik des Lösens von Gleichungen hier an sehr einfachen Beispielen aufgezeigt wird, lässt sich die aufgezeigte Methodik ja auch auf komplizierte Gleichungen übertragen. Es ist für mich eine sehr gute Wiederholung und Vertiefung. Danke!

    Von Murks, vor etwa 9 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (5) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (5) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was Äquivalenzumformungen sind.

    Tipps

    „äquivalent“, lateinisch, kommt von „aequus“ für „gleich“ und „valere“ für „wert sein“.

    Das bedeutet, die Gleichung bleibt in ihrer Lösung gleich.

    Hier ist ein Beispiel für eine Äquivalenzumformung und eine anschließende Termumformung ($T$).

    $\begin{array}{llll} x+3 &=& 5 & |-3 \\ x+3-3 &=& 5-3 & |\ \text{T} \\ x &=& 2 & \end{array}$

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Wichtig:
    • die Multiplikation mit $0$ oder die Division durch $0$ sind nicht erlaubt.
    • Äquivalenzumformungen mit den Grundrechenarten müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

  • Berechne die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Führe Äquivalenzumformungen durch, um zur Lösung zu gelangen.

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Ein Minus bekommst du „weg“, indem du mit $-1$ multiplizierst. Achte dabei auf die Klammern.

    Lösung

    Die Gleichung $7-x=5$ soll gelöst werden:

    • Die Subtraktion von $7$ auf beiden Seiten führt zu $-7+7-x=-7+5$.
    • Dies kann durch Termumformungen auf beiden Seiten umgeformt werden zu $-x=-2$.
    • Um die Lösung für $x$ zu erhalten, wird die gesamte Gleichung, das heißt beide Seiten, mit $-1$ multipliziert.
    • Die folgenden Klammern müssen gesetzt werden: $-1\cdot (-x)=-1\cdot(-2)$.
    • „Minus $\cdot$ Minus $=$ Plus“, also ist $x=2$ die gesuchte Lösung.

  • Entscheide, ob eine Äquivalenzumformung vorliegt.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Wenn eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen umgeformt wird, bleibt die Lösung gleich.

    Oder, anders ausgedrückt, ist eine Gleichung nicht lösbar, so kann sie durch Äquivalenzumformungen nicht in eine Gleichung umgeformt werden, die lösbar ist.

    Lösung

    $\begin{align*} 3-x&=6 &|& +x\\ 3&=6+x \end{align*}$

    ist eine Äquivalenzumformung, da auf beiden Seiten die Variable $x$ addiert wird.

    $\begin{align*} 4+3-x&=2+x &|& -2\\ 7-x&=x \end{align*}$

    ist keine Äquivalenzumformung, da die $2$ nur auf der rechten Seite subtrahiert wird.

    $\begin{align*} 2+5&=6-x\\ 7&=6-x \end{align*}$

    ist eine Äquivalenzumformung. $2+5$ wird zu $7$ umgeformt. Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

    $\begin{align*} 2x+x&=3~\\ 2x&=2 \end{align*}$

    ist keine Äquivalenzumformung, da zum einen $2x+x=3x$ ist und zum anderen auf der rechten Seite $1$ subtrahiert wurde.

    $\begin{align*} 3x&=3x+1 &|& \cdot 0\\ 0&=0 \end{align*}$

    ist keine Äquivalenzumformung, da mit $0$ multipliziert wird. Die erste Gleichung ist nie erfüllt, da Subtraktion von $3x$ zu der Gleichung $0=1$ führt, was sicher falsch ist. Die zweite Gleichung ist immer eine wahre Aussage. Also kann dies keine Äquivalenzumformung sein.

  • Bestimme die Lösungsmenge der jeweiligen Gleichung.

    Tipps

    Löse jede der Gleichungen durch Äquivalenzumformungen.

    Du könntest auch die Lösungen zur Probe in der Gleichung einsetzen.

    Lösung

    $\begin{align*} x+3&=4+5&|&\text{ T}\\ x+3&=9&|&-3\\ x&=6 \end{align*}$

    Also ist $\mathbb{L}=\{6\}$.

    $\begin{align*} 3-x&=5&|&+x\\ 3&=5+x&|&-5\\ -2&=x \end{align*}$

    Also ist $\mathbb{L}=\{-2\}$.

    $\begin{align*} 4-x&=7-5&|&\text{ T}\\ 4-x&=2&|&-4\\ -x&=-2&|&\cdot(-1)\\ x&=2 \end{align*}$

    Also ist $\mathbb{L}=\{2\}$.

    $\begin{align*} x-6+3&=-3&|&\text{ T}\\ x-3&=-3&|&+3\\ x&=0 \end{align*}$

    Also ist $\mathbb{L}=\{0\}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung $7-x=5$ an.

    Tipps

    Die Ergebnismenge ist eine Menge. Mengen werden in geschweiften Klammern angegeben.

    Überprüfe die Lösung, indem du diese in der Ausgangsgleichung einsetzt. Die Ausgangsgleichung muss erfüllt sein.

    Achte auf die Schreibweise. Mengen werden in der Mathematik mit großen Buchstaben und einem zusätzlichen Strich gekennzeichnet. Du kennst sicher die Schreibweisen bei den Zahlenmengen, wie hier bei den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$.

    Lösung

    Die Gleichung $7-x=5$ wird durch $x=2$ gelöst.

    Dies zeigt die Probe: $7-2=5~\surd$.

    Mengen werden in der Mathematik mit geschweiften Klammern angegeben. Die Bezeichnung der Mengen erfolgt in Großbuchstaben und mit einem zusätzlichen Strich. Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{2\}$.

  • Berechne die Lösung der Gleichung $x+2x=3-x+5$.

    Tipps

    Fasse zunächst die Bekannten und Unbekannten auf beiden Seiten der Gleichung zusammen.

    Führe Äquivalenzumformungen durch:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Du kannst eine Probe durchführen: Setze deine Lösung in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Die Gleichung wird wie folgt gelöst. Dabei steht $T$ für Termumformung.

    $\begin{align*} x+2x&=3-x+5&|&\text{ T}\\ 3x&=8-x&|&+x \\ 3x+x&=8&|&\text{ T}\\ 4x&=8&|&:4\\ x&=2 \end{align*}$

    • Zunächst wird eine Termumformung auf beiden Seiten durchgeführt. Die Bekannten und Unbekannten werden zusammengefasst.
    • Dann wird die Unbekannte $x$ auf beiden Seiten addiert.
    • Der Term auf der linken Seite der Gleichung wird umgeformt.
    • Die Lösung $x=2$ erhält man durch Division durch $4$ auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Man kann eine Probe durchführen: $2+2\cdot 2=6=6=3-2+5~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{2\}$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.840

Lernvideos

44.349

Übungen

38.981

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden