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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (4)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (4)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (4)

In diesem Beispiel zur Lösung von Gleichungen, musst du bereits mehrere Rechnungen durchführen, um die Lösungsmenge angeben zu können. Wenn du dem Video aufmerksam folgst, wirst du lernen, was beim Rechnen mit linearen Gleichungen alles zu beachten ist. Hierfür wird dir in aller Ausführlichkeit, dass heißt Schritt für Schritt, der Lösungsweg vorgerechnet. Am Ende des Videos kannst du ja die Testfrage zum Video selbst rechnen und damit überprüfen, ob du alles verstanden hast. Falls ja, dann schaue dir doch das nächste Beispiel „Lineare Gleichungen - Beispiel 5“ an. Falls nicht, dann schaue dir nochmal das Video an und versuche herauszufinden, wo du einen Fehler gemacht hast.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (4)

Hallo, hier sind Äquivalenzumformungen. Und wenn man eine solche Äquivalenzumformung auf eine Gleichung anwendet, dann formt man diese Gleichung in eine andere Gleichung um. Und die andere Gleichung hat dann dieselbe Lösungsmenge, wie die vorherige Gleichung. Und das möchte ich hier jetzt mal zeigen, an dieser Gleichung. Zum Beispiel kann man hier, auf dieser Seite, eine Termumformung machen. Das ist dann eine Äquivalenzumformung. Das kündige ich hier an, dass ich vor habe eine Termumformung zu machen, indem ich diesen Strich mache und das T wie Termumformung dahinter schreibe. Also, dann haben wir hier x-3=5-10=-5. Und diese Gleichung hat jetzt dieselbe Lösungsmenge, wie diese Gleichung. Das heißt, die Zahl, die man für x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist, ist hier dieselbe Zahl, wie bei dieser Gleichung hier. Was kann man jetzt machen? Man kann zum Beispiel +3 rechnen, auf beiden Seiten. Ja, das können wir ja machen, wenn wir auf beiden Seiten etwas addieren, dann erhalten wir Folgendes, wenn man +3 rechnet. Kündige ich hier an, dass ich +3 rechnen möchte. Und dann steht hier, ich schreibe es mal ganz ausführlich, x-3+3=-5+3. Und jetzt kann ich wieder eine Termumformung machen, hier und hier. Denn -3+3=0 und x+0 brauche ich gar nicht hinschreiben, weil ja x+0=x. Also kann ich einfach hier x hinschreiben und da muss ich das auch ausrechnen, oder muss ich nicht, kann ich zumindest, dann ist es einfacher als vorher. Dann steht da -5+3=-2 und jetzt haben wir eine Gleichung erhalten, die dann lautet x-2. Weil diese Gleichungen jeweils durch Äquivalenzumformungen zustande gekommen sind, wissen wir, dass diese Gleichung dieselbe Lösungsmenge hat, wie die und wie die und wie die. Und die Gleichung hier hat die Lösungsmenge -2. Also hat auch die 1. Gleichung, die Lösungsmenge -2. Und dann muss man das nur noch hinschreiben. Die Lösungsmenge hier, ist also die Menge, die die Zahl -2 enthält, so schreibt man das auf. Und dann ist die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmt und wir haben die Methode geübt, wie man mithilfe von Äquivalenzumformungen, die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen kann. Viel Spaß damit, tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Jennifer,
    du musst dich auf dem Weg zur Lösung irgendwo verrechnet haben. Überprüfe noch ein mal deine Schritte und vergiss nicht, dass zur Bestimmung der Lösungsmenge das x immer alleine auf einer Seite der Gleichung stehen muss. Vielleicht hast du ja vergessen, dass die (-2) noch auf die andere Seite gehört.

    Von Sebastian W., vor fast 9 Jahren
  2. Müsste nicht bei der Frage L={7} richtig sein und nicht L={9}?

    Von Jennifer G., vor fast 9 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (4) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (4) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, welche Äquivalenzumformungen zur Lösung der Gleichung $x-3=5-10$ verwendet wurden.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen ändern die Lösung einer Gleichung nicht.

    $\begin{align*} x-3&=-5 &|& +2\\ x-3+2&=-5+2 \end{align*}$

    ist eine Äquivalenzumformung.

    $\begin{align*} x-3&=-5 &|& +2\\ x-3+2&=-5 \end{align*}$

    ist keine Äquivalenzumformung, da die $2$ nur auf einer Seite addiert wird.

    Lösung

    Unter Äquivalenzumformungen versteht man verschiedene Arten von Umformungen, welche die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern. Hier sind einige wichtige aufgezählt:

    • die Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung
    • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung
    • Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung
    Um die Gleichung $x-3=5-10$ zu lösen, werden Äquivalenzumformungen durchgeführt:

    • Der Term auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wird erst einmal umgeformt zu $5-10=-5$, also heißt eine äquivalente Gleichung $x-3=-5$.
    • Nun kann auf beiden Seiten $3$ addiert werden, sodass sich $x-3+3=-5+3$ ergibt.
    • Termumformungen, dieses Mal auf beiden Seiten, führen zu der Gleichung $x=-2$.
    • Dies ist die gesuchte Lösung.
    Zur Probe kann $x=-2$ in der Ausgangsgleichung wieder eingesetzt werden: $-2-3=5-10~\surd$. Unsere Lösung stimmt.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung $x-3=5-10$.

    Tipps

    Führe Äquivalenzumformungen durch, um zur Lösung zu gelangen.

    Äquivalenzumformungen sind

    • die Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung,
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung oder
    • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung oder
    • Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Durch Äquivalenzumformungen bleibt die Lösung der Gleichung erhalten.

    Lösung

    Um die Gleichung $x-3=5-10$ zu lösen, wird der Term auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens erst einmal umgeformt zu $5-10=-5$, also

    $x-3=-5$.

    Nun kann auf beiden Seiten $3$ addiert werden:

    $x-3+3=-5+3$.

    Wiederum Termumformungen, dieses Mal auf beiden Seiten, führen zu der folgenden Gleichung:

    $x=-2$.

    Die Lösung der Ausgangsgleichung ist gefunden!

    Zur Probe kann $x=-2$ in der Ausgangsgleichung eingesetzt werden: $-2-3=5-10~\surd$. Unsere Lösung ist korrekt.

  • Entscheide, ob eine Äquivalenzumformung vorliegt.

    Tipps

    Die Addition oder Subtraktion einer Zahl ist eine Äquivalenzumformung. Jedoch muss dabei bedacht werden, dass dies auf beiden Seiten geschieht, da ansonsten die Gleichung in ihrer Lösung verändert wird.

    Es gilt $3=3$. Die Addition von $5$ auf nur einer Seite führt zu $8=3$, was sicher nicht richtig ist.

    Beim Multiplizieren und Dividieren ist zu beachten, dass

    • nicht mit $0$ multipliziert werden darf und
    • auch nicht durch $0$ dividiert werden darf.

    Lösung

    Unter Äquivalenzumformungen versteht man äquivalente Umformungen, welche die Lösung der Gleichung nicht verändern. Einige wichtige sind hier aufgezählt:

    • die Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung
    • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung
    • Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Eine Äquivalenzumformung ändert nichts an der Lösung einer Gleichung. Wenn eine Gleichung äquivalent umgeformt wird, kann die so erhaltene Lösung in jeder Zeile der Umformung eingesetzt werden und es gilt immer Gleichheit.

    $\begin{align*} 2+x&=4-x &|& +x \\ 2+2x&=4 \end{align*}$

    ist eine Äquivalenzumformung, da auf beiden Seiten der Gleichung der Term $x$ addiert wird.

    $\begin{align*} 2+x&=4-x &|& -2 \\ x&=4-x \end{align*}$

    ist keine Äquivalenzumformung, da die $2$ nur auf einer Seite subtrahiert wird.

    $\begin{align*} 2x&=2 &|& : 2 \\ x&=1 \end{align*}$

    ist eine Äquivalenzumformung, da durch $2$ dividiert wird, und dies geschieht auf beiden Seiten der Gleichung.

    $\begin{align*} \frac12x&=2 &|& \cdot 2 \\ x&=2 \end{align*}$

    ist keine Äquivalenzumformung. Hier wird mit dem Faktor $2$ multipliziert, allerdings nur auf einer Seite der Gleichung.

  • Leite die Lösung der Gleichung her.

    Tipps

    Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung oder auch nur auf einer die Terme vereinfachen. Das bedeutet, Zahlen oder Variablen zusammenzufassen.

    Wenn du eine Zahl addierst oder subtrahierst, musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

    Wenn du mit einer Zahl ungleich $0$ multiplizierst oder durch eine Zahl ungleich $0$ dividierst, so musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

    Multiplikation mit $0$ oder Division durch $0$ ist nicht erlaubt.

    Lösung

    Die Gleichung $x+4=3+5+7$ soll gelöst werden.

    Um zu der Lösung zu gelangen, werden Äquivalenzumformungen durchgeführt:

    • Man fasst die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichung zusammen: $3+5+7=15$. Dies ist eine Termumformung. Die Gleichung lautet nun $x+4=15$.
    • Die Subtraktion von $4$ auf beiden Seiten der Gleichung führt zu $x+4-4=15-4$.
    • Beide Seiten werden für sich zusammengefasst. Die Gleichung lautet jetzt $x=11$. Auch dies war wieder eine Termumformung.
    • Die Lösung der Gleichung ist nun durch $x=11$ gegeben. Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{11\}$.
    • Gegebenenfalls kann eine Probe durchgeführt werden: $11+4=3+5+7~\surd$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Achte auf die korrekt Schreibweise.

    Die Lösungsmenge ist eine Menge.

    Wenn du eine Gleichung gelöst hast, kannst du eine Probe durchführen. Das heißt, du setzt die Lösung in der Ausgangsgleichung ein, und diese muss erfüllt sein.

    Mengen werden in der Mathematik durch einen großen Buchstaben gekennzeichnet. Dieser wird mit einem weiteren Strich versehen. So ist $\mathbb{N}$ die Menge der Natürlichen Zahlen und $\mathbb{R}$ die Menge der Reellen Zahlen.

    Lösung

    Die Gleichung $x-3=5-10$ besitzt die Lösung $x=-2$.

    Du kannst die Probe machen, ob diese Lösung korrekt ist, indem du sie in die Ausgangsgleichung einsetzt. Tatsächlich stimmt diese Gleichung für $x=-2$: $-2-3=5-10~\surd$.

    Bei Gleichungen wird immer die Lösungsmenge angegeben. Diese wird geschrieben als „L“ mit einem senkrechten Strich: $\mathbb{L}$. Da es sich um eine Menge handelt, wird die Lösung in Mengenklammern geschrieben.

    Die korrekte Schreibweise lautet: $\mathbb{L}=\{-2\}$.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung $2x-3+x=x+3$.

    Tipps

    Fasse, sofern nötig, die Bekannten und die Unbekannten zusammen.

    Es können nicht nur Zahlen, sondern auch Terme auf beiden Seiten der Gleichung addiert oder subtrahiert werden.

    Bringe die Bekannten auf die eine Seite und die Unbekannten auf die andere Seite der Gleichung.

    Führe, wenn du die Lösung gefunden hast, eine Probe durch. Setze die Lösung in der Ausgangsgleichung ein.

    Lösung

    Die Gleichung $2x-3+x=x+3$ ist zu lösen.

    • Auf der linken Seite können die Terme mit der Unbekannten $x$ zusammengefasst werden: $3x-3=x+3$.
    • Die Subtraktion der Unbekannten $x$ auf beiden Seiten der Gleichung führt zu $2x-3=3$.
    • Nun wird $3$ auf beiden Seiten addiert: $2x=6$.
    • Die Division durch $2$ auf beiden Seiten liefert die Lösung $x=3$.
    • Probe: $2\cdot3-3+3=3+3~\surd$
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{3\}$.

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