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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (2)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (2)

In diesem Video findest du ein weiteres Beispiel einer linearen Gleichung. Auch diese Gleichung musst du dahingehend umformen, dass du zuletzt weißt, welcher Wert die Variable x hat. Das ist die Lösungsmenge. Um diese zu erhalten musst du allerdings auch Regeln einhalten. In dem Video wird dir der Lösungsweg deshalb sehr ausführlich und Schritt für Schritt erklärt. Daneben wird auch wieder auf die Notation ( Schreibweise ) wird eingegangen. Alles verstanden? Dann weiter zum nächsten Video „Lineare Gleichungen - Beispiel 3“.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (2)

Hallo, hier haben wir eine Gleichung gegeben, x+5 = 5, und wir wollen die Lösungsmenge dieser Gleichung bestimmen, das bedeutet, wir möchten herausfinden, welche Zahlen man für x einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig wird. Das kann man hier vielleicht schon so sehen, man kann das ja vielleicht auch raten, aber ich möchte hier das Verfahren zeigen, was dann auch für viel kompliziertere Gleichungen das richtige Verfahren ist und was man da auch ganz gut anwenden kann. Also, wenn wir jetzt die Lösungsmenge bestimmen wollen, also wenn wir jetzt die Zahlen herausfinden möchten, die man für x einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig wird, dann können wir diese Gleichung umformen, und zwar in eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, und dann vielleicht noch mal umformen und noch mal umformen, und zwar so lange umformen, bis eine Gleichung entsteht, an der man direkt sehen kann, was man für x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist. Wir müssen darauf achten, dass wir beim Umformen nicht einfach irgendeine andere Gleichung erhalten, sondern eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat, denn sonst hätten wir ja nichts von einer irgendwie einfachen Gleichung, bei der aber was ganz anderes rauskommt, wie man so sagt. Also, wir können solche Umformungen machen, indem wir auf beiden Seiten etwas addieren, auf beiden Seiten etwas subtrahieren, beide Seiten mit einer Zahl multiplizieren, die ungleich 0 ist, oder auch beide Seiten durch eine Zahl teilen, die ungleich 0 ist. Wir können auch auf einer der Seiten eine Termumformung machen, das können wir natürlich auch auf beiden Seiten machen, je nachdem, wie es sich ergibt. Nun konkret zu dieser Gleichung. Ich möchte auf beiden Seiten 5 abziehen, 5 subtrahieren, weil ich glaube, dass die Gleichung dann, einen Schritt weiter noch gedacht, einfacher wird. Nämlich: Folgendes passiert, wir haben x+5 und jetzt rechnen wir auf beiden Seiten -5, also kommt -5 noch hier hin. Das Gleichheitszeichen kann man abschreiben, die rechte Seite auch, aber wir müssen noch 5 abziehen, das muss man ja immer auf beiden Seiten machen. Jetzt kann man eine Termumformung machen, ich mach das ganz ausführlich, vielleicht siehst Du das Ergebnis schon, kann ja sein, aber ich zeig einmal, wie hier jetzt die ganz ordentliche Methode ist. Also wir haben hier stehen x+ und jetzt kann ich 5-5 ja ausrechnen, das ist 0. Also bitte, x+0 steht da. Und hier kann ich auch was ausrechnen, also auf beiden Seiten jetzt eine Termumformung machen. Ich hätte es auch nur auf einer Seite machen können, aber auf beiden Seiten ist es ja auch okay. 5-5 ist 0, also darf ich 0 hier hinschreiben. Und nun kann ich noch eine Termumformung machen, denn hier kann ich diese 0 weglassen. Denn wir wissen ja, irgendwas +0 ist immer gleich irgendwas, oder anders gesagt x+0 ist einfach gleich x. Wenn wir 0 zu etwas addieren, dann bleibt es ja gleich, das Etwas. Also steht jetzt hier x=0. Wir können jetzt an der Gleichung direkt sehen, was wir für x einsetzen müssen, damit die Gleichung richtig ist. Weil wir aber Äquivalenzumformungen gemacht haben, wissen wir, dass die Zahl, die man hier einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist, auch die Zahl ist, die man in diese Gleichung einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist, und das ist auch dieselbe Zahl, die man hier einsetzen muss, und dieselbe Zahl, die man hier einsetzen muss, weil wir Äquivalenzumformungen gemacht haben, weil wir so umgeformt haben, dass die Lösungsmenge gleich bleibt. Ja, und was ist jetzt die Lösungsmenge? Das ist die Zahl 0. Wenn wir für x 0 einsetzen, ist die Gleichung richtig, und die, und die, und die. Und deshalb kann man hier schreiben, dass diese Gleichung hier die Lösungsmenge 0 hat. Ich sag kurz noch mal, was das für Zeichen sind. Das L mit dem Doppelstrich bedeutet Lösungsmenge, Gleichheitszeichen ist klar, das ist die Mengenklammer auf, hier befindet sich die 0 in der Menge und da geht die Mengenklammer zu, also ist damit der Fall hier gelöst. Ja, viel Spaß damit. Tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Joa wow det woar suoper guat fuar mi!
    Weiter soa!

    Von Amin H., vor etwa 3 Jahren
  2. Im Video wurde alles gut erklärt sodass man alles versteht.

    Die Aufgaben waren auch sehr gut, ein paar schwere Aufgaben aber auch leichte

    Danke!!!!!!!!

    Von Tom Rosendahl, vor fast 4 Jahren
  3. danke aber die test frage ist der hit von allen so schwer boah!;)

    Von Barthcivi, vor fast 8 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was Äquivalenzumformungen sind.

    Tipps

    Sicher ist $4\neq5$. Wenn du jedoch bei dieser Gleichung auf beiden Seiten mit der $0$ multiplizierst, erhältst du $0=0$ und das stimmt ganz sicher. Bei einer Äquivalenzumformung müssten dann aber beide Gleichungen stimmen.

    Es gilt $4=4$. Und sicher gilt auch $4+3=4+3$.

    Bei einer Termumformung werden

    • Terme zusammengefasst,
    • Klammern ausmultipliziert,
    • ...
    um Terme zu vereinfachen.

    Lösung

    Um eine Gleichung zu lösen, kann diese äquivalent umgeformt werden. Das bedeutet, dass die Gleichung zwar anders aussieht, die Lösung jedoch die gleiche bleibt.

    Was sind Äquivalenzumformungen:

    • es darf auf beiden Seiten die gleiche Zahl oder der gleiche Term addiert ($+$) werden oder subtrahiert ($-$),
    • es darf auf beiden Seiten mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ multipliziert werden oder
    • durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ geteilt werden.
    • Auf einer oder beiden Seiten können Termumformungen durchgeführt werden.
    Da das Teilen durch $0$ nicht erlaubt ist, ist klar, dass dies auch bei Gleichungen nicht erlaubt ist. Aber warum ist das Multiplizieren mit $0$ nicht erlaubt?

    Dies kann man sich an einem einfachen Beispiel klar machen:

    $\begin{align*} 4&\neq5 &|& \cdot 0\\ 0&=0. \end{align*}$

    Bei einer Äquivalenzumformung würde die Gleichheit in der zweiten Zeile auch die Gleichheit in der ersten Zeile nach sich ziehen. Aber sicher ist $4\neq5$.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung $x+5=5$.

    Tipps

    Führe Äquivalenzumformungen durch, um die Lösung ablesen zu können.

    Um eine Addition aufzulösen, muss auf beiden Seiten subtrahiert werden.

    Wenn du ein bisschen Übung und Routine gesammelt hast, muss nicht mehr so ausführlich gerechnet werden.

    Lösung

    Die Gleichung $x+5=5$ soll gelöst werden. Vielleicht ist die Lösung hier bereits zu sehen. Jedoch soll diese mit Äquivalenzumformungen hergeleitet werden. Ebenso wie bei diesem Beispiel können auch kompliziertere Gleichungen umgeformt werden.

    Zunächst wird auf beiden Seiten die $5$ subtrahiert:

    $x+5-5=5-5$.

    Auf beiden Seiten kann $5-5$ durch $0$ ersetzt werden, sodass sich

    $x+0=0$

    ergibt.

    Eine weitere Umformung von $x+0=x$ führt zu der gesuchten Lösung

    $x=0$.

  • Entscheide, welche der Umformungen eine Äquivalenzumformung ist.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen sind

    • die Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung,
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung oder
    • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Äquivalenzumformungen ändern die Lösung einer Gleichung nicht.

    Du kannst am Ende die Lösung zur Probe in der Ausgangsgleichung einsetzen.

    Wenn diese Probe nicht richtig ist, war irgendeine der Umformungen keine Äquivalenzumformung.

    Zum Beispiel ist

    $\begin{align*} x+2&=4 &|& \cdot2\\ 2x+2&=8 \end{align*}$

    keine Äquivalenzumformung, da nicht die komplette linke Seite mit der $2$ multipliziert wurde.

    „T“ steht für Termumformung.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind

    • die Addition oder Subtraktion einer beliebigen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung,
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung oder
    • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    $\begin{align*} x-3&=7 &|& +3\\ x-3&=7+3 \end{align*}$

    Die Addition der $3$ wird nur auf der rechten Seite durchgeführt. Sie müsste allerdings auf beiden Seiten durchgeführt werden. Dies ist keine Äquivalenzumformung.

    $\begin{align*} x+2&=6 &|& -2\\ x+2-2&=6-2 \end{align*}$

    Hier wird auf beiden Seiten die $2$ subtrahiert. Dies ist eine Äquivalenzumformung.

    $\begin{align*} x+3+x-2&=7 &|& T\\ 2x-2&=7 \end{align*}$

    Auf der linken Seite wird eine Termumformung durchgeführt. Eine Termumformung kann auf einer oder beiden Seiten durchgeführt werden. Diese Termumformung ist allerdings nicht richtig, denn $x+3+x-2=2x+1$. Dies ist keine Äquivalenzumformung.

    $\begin{align*} x+2&=6 &|& \cdot 0\\ 0&=0 \end{align*}$

    Hier wird mit $0$ multipliziert. Dies ist jedoch ausgeschlossen. Es handelt sich um keine Termumformung.

    $\begin{align*} x+2&=2x-4 &|& -2x\\ x+2-2x&=2x-4-2x \end{align*}$

    Hier wird auf beiden Seiten ein Term $2x$ subtrahiert. Dies ist eine Termumformung.

  • Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung.

    Tipps

    Sortiere zunächst die Gleichung so, dass die Unbekannten auf einer Seite stehen.

    Vereinfache nach jeder Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen so weit wie möglich.

    Mache am Ende der Rechnung eine Probe.

    Das Zeichen für die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}$.

    Die Lösung wird in Mengenklammern geschrieben.

    Lösung

    Um die Gleichung $2x-1=x+2$ zu lösen, wird zunächst die Unbekannte auf eine Seite gebracht. Dies ist oft die linke Seite. Die Unbekannte kann aber auch auf der rechten Seite stehen.

    • Subtraktion von $x$ auf beiden Seiten führt zu: $2x-1-x=x+2-x$.
    • Auf beiden Seiten werden Termumformungen vorgenommen: $2x-1-x=2x-x-1=x-1$ und $x+2-x=x-x+2=2$.
    • Die Gleichung lautet nun $x-1=2$.
    • Addition der $1$ auf beiden Seiten führt zu $x-1+1=2+1$.
    • Die Terme können wieder auf beiden Seiten umgeformt werden zu $x=3$. Dies ist die gesuchte Lösung.
    • Es ist somit $\mathbb{L}=\{3\}$ die Lösungsmenge.
  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Achte auf die korrekte Schreibweise.

    Du kannst die Probe machen, ob eine Lösung richtig ist, indem du diese in die Ausgangsgleichung einsetzt.

    Lösung

    Die Gleichung $x+5=5$ besitzt die Lösung $x=0$.

    Du kannst die Probe machen, ob diese Lösung korrekt ist, indem du sie in die Ausgangsgleichung einsetzt: $0+5=5~\surd$.

    Bei Gleichungen wird immer die Lösungsmenge angegeben, diese wird geschrieben als „L“ mit einem senkrechten Strich: $\mathbb{L}$. Da es sich um eine Menge handelt, wird die Lösung in Mengenklammern geschrieben.

    Die korrekte Schreibweise lautet: $\mathbb{L}=\{0\}$.

    $\mathbb{N}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Bringe zunächst die Unbekannten durch geeignete Termumformung und Subtraktion auf die linke Seite.

    Fasse die bekannten Größen auf der rechten Seite zusammen.

    Das Ergebnis ist negativ.

    Führe am Ende der Rechnung eine Probe durch, indem du die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzt.

    Lösung

    Die Gleichung $2x+3+x+2=2x-4$ ist schon etwas komplizierter.

    Durch Termumformung kann der Term links vom Gleichheitszeichen vereinfacht werden:

    $2x+3+x+2=2x+x+3+2=3x+5$

    Die Gleichung ist nun vereinfacht zu $3x+5=2x-4$.

    Durch Subtraktion von $2x$ auf beiden Seiten erhält man

    $3x+5-2x=2x-4-2x$.

    Nun wird eine Termumformung auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt:

    $x+5=-4$.

    Zu guter Letzt wird noch die $5$ subtrahiert und wieder eine Termumformung durchgeführt. So kommt man zu der Lösung $x=-9$.

    Eine Probe gibt Sicherheit:

    $\begin{align*} 2\cdot(-9)+3+(-9)+2&=2\cdot(-9)-4\\ -18+3-9+2&=-18-4\\ -22&=-22~\surd \end{align*}$

    Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-9\}$.

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