Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10)

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10) Übung

• Ergänze die Erklärung zu Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  $3x+2-2x$ kann durch eine Termumformung zu $x+2$ umgeformt werden.

  Durch Anwenden von Äquivalenzumformungen werden Gleichungen äquivalent umgeformt. Das bedeutet, dass bei jeder Gleichung der Wert links mit dem Wert rechts übereinstimmt. Dies ist die Bedeutung von „äquivalent“.

  Lösung

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Es ist folgendes zu beachten:

  • Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.
  • Es darf nicht mit $0$ multipliziert und nicht durch $0$ dividiert werden.
  • Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

• Schildere, wie die untenstehende Gleichung umgeformt werden kann.

  Tipps

  Wenn die Variable oder ein Term im Nenner steht, so kannst du mit diesem Term multiplizieren.

  Das Distributivgesetz lautet

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Lösung

  Durch Äquivalenzumformungen erhält man eine Gleichung, welche nicht erfüllt ist: $-4=-3$.

  • Da die Variable in einem Term im Nenner steht, wird die Gleichung auf beiden Seiten mit diesem Term, $x+1$, multipliziert.
  • Es werden nun mehrere Termumformungen durchgeführt: In dem Bruch kann der Faktor $x+1$ gekürzt werden. Sowohl das Produkt $-4(x+1)=-4x-4$ als auch $-3(x+1)=-3x-3$ kann mit dem Distributivgesetz umgeformt werden.
  • Auf der linken Seite werden die Variablen zusammengefasst zu $x-4x=-3x$.
  • Nun kann auf beiden Seiten $3x$ addiert werden und man erhält $-4=-3$.
  • Diese Gleichung ist nicht gültig.
  • Da Äquivalenzumformungen durchgeführt worden sind, haben auch alle vorherigen Gleichungen und somit auch die Ausgangsgleichung keine Lösung.
  • Die Lösungsmenge ist also leer: $\mathbb{L}=\{~\}$.

• Ermittle die Lösungsmenge der angegebenen Gleichungen.

  Tipps

  Um Gleichungen zu lösen, werden Äquivalenzumformungen durchgeführt:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Wenn Äquivalenzumformungen zu einer falschen Aussage führen, so ist die Gleichung nicht lösbar. Das heißt, dass $\mathbb{L}=\{~\}$.

  Wenn du eine Lösung gefunden hast, so kannst du eine Probe durchführen. Setze die Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Wenn du eine richtige Aussage bekommst, dann hast du richtig gerechnet.

  Lösung

  Um Gleichungen zu lösen, werden Äquivalenzumformungen durchgeführt:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  • $x+3=3$ führt durch Subtraktion von $3$ zu $x=0$; also ist $\mathbb{L}=\{0\}$.
  • $x+3=x$ führt durch Subtraktion von $x$ zu $3=0$. Dies ist eine falsche Aussage; also ist $\mathbb{L}=\{~\}$.
  • $3x=3$ führt durch Division durch $3$ zu $x=1$; also ist $\mathbb{L}=\{1\}$.
  • $3x=-x+2$ führt durch Addition von $x$ zu $4x=2$. Nun kann durch $4$ dividiert werden und man erhält die Lösung $x=0,5$; also ist $\mathbb{L}=\{0,5\}$.

• Bestimme die Lösung der angegebenen Gleichung.

  Tipps

  Wenn die Variable oder ein Term im Nenner steht, so wird mit diesem Term multipliziert.

  Das Distributivgesetz lautet:

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Beachte, dass ein Minuszeichen vor der Klammer die Vorzeichen in der Klammer umdreht.

  Es ist ratsam, am Ende der Rechnung eine Probe mit der gefunden Lösung durchzuführen. Das heißt, dass die Lösung in der Ausgangsgleichung eingesetzt wird. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Die Äquivalenzumformungen sind hier zu sehen. Für die folgende Betrachtung muss $x\neq 1$ sein, da die Division durch $x-1$ ansonsten nicht möglich wäre.

  • Da die Variable in einem Term im Nenner steht, wird mit diesem Term multipliziert. Dies ist möglich, da dieser Term ungleich $0$ ist.
  • Sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite der Gleichung wird das Distributivgesetz angewendet: $-5(x-1)=-5x+5$ sowie $-4(x-1)=-4x+4$.
  • Die Bekannten auf der linken Seite werden zusammengefasst: $2+5=7$.
  • Durch Addition von $5x$ erhält man die Gleichung $7=x+4$.
  • Nun wird $4$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert und man kommt zu der Lösung: $x=3$.
  • Probe: $\frac 2{3-1}-5=-4$ führt auf die wahre Aussage $\frac22-5=-4$.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{3\}$.

• Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

  Tipps

  Multipliziere zunächst auf beiden Seiten mit $x+1$, um den Bruch zu vereinfachen. Dann nutze das Distributivgesetz für die Auflösung der Klammern.

  Wenn Äquivalenzumformungen zu einer falschen Aussage führen, so ist die Ausgangsgleichung nicht lösbar. Das heißt, es gibt kein $x$, welches die Ausgangsgleichung löst.

  Achte auf die Schreibweise der Mengenklammern.

  Lösung

  Äquivalenzumformungen führen bei dieser Gleichung zu einer Aussage, welche sicherlich falsch ist.

  $\begin{align*} \frac x{x+1}-4&=-3&|&\cdot(x+1)\\ \frac{x(x+1)}{x+1}-4(x+1)&=-3(x+1)&|&\text{ T}\\ x-4x-4&=-3x-3&|&\text{ T}\\ -3x-4&=-3x-3&|&+3x\\ -4&=-3 \end{align*}$

  Dies bedeutet nicht, dass man sich verrechnet hat, sondern dass die Ausgangsgleichung nicht lösbar ist.

  In der Lösungsmenge befindet sich also nichts. Dies ist die sogenannte leere Menge. Man schreibt dies so: $\mathbb{L}=\{~\}$. Ein mögliche andere Schreibweise wäre auch $\mathbb{L}=\emptyset$.

• Charakterisiere die Lösungsmenge der angegebenen Gleichung.

  Tipps

  Die Gleichung ist lösbar. Die Lösung ist eine Dezimalzahl.

  Wenn du eine Lösung gefunden hast, kannst du eine Probe durchführen.

  Du kannst entweder zunächst auf beiden Seiten $3$ subtrahieren oder mit $x+2$ multiplizieren.

  Das Distributivgesetz lautet:

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Lösung

  In dieser Gleichung muss gelten, dass $x\neq-2$ ist, da ansonsten die Division durch $x+2$ nicht erlaubt wäre.

  Die einzelnen Schritte der Rechnung sind in dem Bild zu sehen:

  • Durch Subtraktion von $-3$ und daran anschließender Multiplikation von $x+2$ gelangt man zu der Gleichung $x=-3(x+2)$.
  • Es gilt $-3(x+2)=-3x-6$ mit dem Distributivgesetz.
  • Es wird $3x$ auf beiden Seiten der Gleichung addiert und man erhält $4x=-6$.
  • Zuletzt wird durch $4$ dividiert. Dies führt zu der gesuchten Lösung $x=-1,5$.
  • Probe: Die Gleichung $\frac{-1,5}{-1,5+2}+3=\frac{-1,5}{0,5}+3=-3+3=0$ ist richtig.
  • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1,5\}$.