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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10)

Hier siehst du an einem Beispiel, wie du die Lösungsmenge einer linearen Gleichung bestimmen kannst, bei der die Variable wieder in einem Bruch steht. Dieses steht sie allerdings im Zähler und Nenner. So, wie die Gleichung da steht, ist sie eigentlich nicht einmal eine lineare Gleichung, da ein x in einem Nenner vorkommt. Aber wenn du die gesamte Gleichung mit diesem Nenner multiplizierst, ist der Nenner "weg" und die Gleichung ist wieder linear. Wichtig ist, mit der gesamten Summe, die sich im Nenner befindet, zu multiplizieren und auch noch darauf zu achten, jeden Summanden jeder Gleichungsseite zu multiplizieren. Viel Spaß beim Video!

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10)

Hallo,
hier ist eine Gleichung: x/(x+1)-4=-3. Da sagst Du Dir vielleicht: Moment, das ist ja gar keine lineare Gleichung. Da kommt ja das x im Nenner vor. Ja, ist richtig. Das ist, so wie sie dasteht, keine lineare Gleichung, aber man kann ja mit dem Nenner multiplizieren und dann kommt man auf eine lineare Gleichung. Also, zum Thema lineare Gleichungen gehören auch die Gleichungen, die auf lineare Gleichungen führen. Das ist eine davon. Und ich könnte natürlich jetzt erst die 4 auf die andere Seite bringen, aber das mache ich bewusst nicht, um die Rechnung zu zeigen, die sich ergibt, wenn man diese gesamte Gleichung einfach mit diesem Nenner multipliziert. Das möchte ich eben zeigen. Also, ich möchte hier multiplizieren, und zwar mit x+1. Damit das überhaupt gelingt, das Ganze hier, muss man vorher noch sagen, oder am Ende sagen, ich weiß es nicht, das ist Geschmackssache, dass x nicht gleich -1 sein darf. Denn, wenn x=-1 wäre, dann ist dieser Bruch gar nicht definiert und dann können wir gar nicht weiterrechnen. Also meistens schreibt man das davor oder guckt hinterher bei der Lösungsmenge, wie auch immer. Auf jeden Fall, wenn man das x im Nenner hat, muss man sich immer darüber Gedanken machen, kann der Nenner auch 0 werden? Ist das ganze Ding dann überhaupt noch definiert? Das habe ich jetzt gemacht. Jetzt geht es weiter mit der Multiplikation und dann muss ich zunächst einmal diesen Bruch hier mit x+1 multiplizieren. Dann steht hier: x×(x+1)/(x+1), und jetzt kann man das Ganze hier als Produkt schreiben, das heißt, ich habe jetzt im Zähler und im Nenner ein Produkt. Ein Faktor hier ist x+1. Das ist zwar eine Summe, aber die gesamte Summe ist jetzt ein Faktor und dann kann man diesen Faktor kürzen. Ich mache das deshalb so ausführlich, weil Du ja gelernt hast, man kann aus Summen nicht kürzen. Aber wenn eine gesamte Summe ein Faktor ist, dann kann man schon mit dieser Summe kürzen. Das geht. Das wollte ich dir hier jetzt noch einmal zeigen.   Der zweite Punkt, den ich zeigen möchte ist, wir müssen -4 noch multiplizieren. Wir müssen jeden Summanden hier mit x+1 multiplizieren. Das wird oft vergessen, weil man sich da so sehr darauf konzentriert, dass man den Rest dann vergisst. Also, wir haben hier stehen: -4×(x+1). Das hätte ich auch gleich ausrechnen können, aber ich mache es ja immer ganz ausführlich. Dann kommt noch -3×(x+1) und das geht kaum noch dahin. Und jetzt würde ich sagen, ich löse die Klammern auf. Das kann ich jetzt nicht mehr ankündigen, das wäre dann eine Termumformung. Das wird sogar tatsächlich eine Termumformung. Dieser ganze Sermon hier ist einfach nur x. -4×x=-4x. Jetzt wird wieder das Distributivgesetz angewendet. -4×1=-4. Wir haben -3×x=-3x und -3×1=-3. Dann kann ich hier noch etwas zusammenfassen, d. h., es wird eine Termumformung. Alles schön der Reihe nach. Wir haben x-4x=-3x. -4=-3x-3. Das muss eine schöne 3 sein hier. Dann kann man +3x rechnen, auf beiden Seiten. +3x steht da, kannst Du nicht sehen, aber es ist trotzdem da, ich habe viel zu breit geschrieben. Wenn man hier +3x rechnet, bleibt also -4 übrig, und wenn man hier +3x rechnet, dann bleibt -3 übrig. Und diese Gleichung ist schlicht und ergreifend falsch. Das heißt auch, egal was man hier für x einsetzt und egal was man da und da und da für x einsetzt, diese Gleichung ist immer falsch. Außer man setzt für x -1 ein, dann ist die ganze Gleichung nicht mehr definiert, weil dieser Term nicht definiert ist. Das heißt also, wir haben hier eine Lösungsmenge, die aber leer ist. Denn man kann nichts für x einsetzen, sodass die Gleichung richtig wird. Viel Spaß damit, tschüss!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Danke für die gute Erklärung. Ich hatte schon Angst die Mathearbeit morgen zu verhauen.

    Von Blasczyk Rainer, vor mehr als einem Jahr
  2. ...

    Von Fawa2011, vor fast 4 Jahren
  3. hab es doch nicht verstanden

    Von Fawa2011, vor fast 4 Jahren
  4. Vielen Dank, für das gute Erklären! :) Hat mir sehr geholfen

    Von Fawa2011, vor fast 4 Jahren
  5. Hallo Herr Wabkin,

    vielen Dank für die schnelle und informative Antwort. Wieder ist mal ein kleines "Mathelicht" bei mir aufgegangen....

    Viele Grüße
    Murks

    Von Murks, vor etwa 9 Jahren
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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (10) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    $3x+2-2x$ kann durch eine Termumformung zu $x+2$ umgeformt werden.

    Durch Anwenden von Äquivalenzumformungen werden Gleichungen äquivalent umgeformt. Das bedeutet, dass bei jeder Gleichung der Wert links mit dem Wert rechts übereinstimmt. Dies ist die Bedeutung von „äquivalent“.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Es ist folgendes zu beachten:
    • Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.
    • Es darf nicht mit $0$ multipliziert und nicht durch $0$ dividiert werden.
    • Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

  • Schildere, wie die untenstehende Gleichung umgeformt werden kann.

    Tipps

    Wenn die Variable oder ein Term im Nenner steht, so kannst du mit diesem Term multiplizieren.

    Das Distributivgesetz lautet

    $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Lösung

    Durch Äquivalenzumformungen erhält man eine Gleichung, welche nicht erfüllt ist: $-4=-3$.

    • Da die Variable in einem Term im Nenner steht, wird die Gleichung auf beiden Seiten mit diesem Term, $x+1$, multipliziert.
    • Es werden nun mehrere Termumformungen durchgeführt: In dem Bruch kann der Faktor $x+1$ gekürzt werden. Sowohl das Produkt $-4(x+1)=-4x-4$ als auch $-3(x+1)=-3x-3$ kann mit dem Distributivgesetz umgeformt werden.
    • Auf der linken Seite werden die Variablen zusammengefasst zu $x-4x=-3x$.
    • Nun kann auf beiden Seiten $3x$ addiert werden und man erhält $-4=-3$.
    • Diese Gleichung ist nicht gültig.
    • Da Äquivalenzumformungen durchgeführt worden sind, haben auch alle vorherigen Gleichungen und somit auch die Ausgangsgleichung keine Lösung.
    • Die Lösungsmenge ist also leer: $\mathbb{L}=\{~\}$.

  • Ermittle die Lösungsmenge der angegebenen Gleichungen.

    Tipps

    Um Gleichungen zu lösen, werden Äquivalenzumformungen durchgeführt:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Wenn Äquivalenzumformungen zu einer falschen Aussage führen, so ist die Gleichung nicht lösbar. Das heißt, dass $\mathbb{L}=\{~\}$.

    Wenn du eine Lösung gefunden hast, so kannst du eine Probe durchführen. Setze die Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Wenn du eine richtige Aussage bekommst, dann hast du richtig gerechnet.

    Lösung

    Um Gleichungen zu lösen, werden Äquivalenzumformungen durchgeführt:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    • $x+3=3$ führt durch Subtraktion von $3$ zu $x=0$; also ist $\mathbb{L}=\{0\}$.
    • $x+3=x$ führt durch Subtraktion von $x$ zu $3=0$. Dies ist eine falsche Aussage; also ist $\mathbb{L}=\{~\}$.
    • $3x=3$ führt durch Division durch $3$ zu $x=1$; also ist $\mathbb{L}=\{1\}$.
    • $3x=-x+2$ führt durch Addition von $x$ zu $4x=2$. Nun kann durch $4$ dividiert werden und man erhält die Lösung $x=0,5$; also ist $\mathbb{L}=\{0,5\}$.

  • Bestimme die Lösung der angegebenen Gleichung.

    Tipps

    Wenn die Variable oder ein Term im Nenner steht, so wird mit diesem Term multipliziert.

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Beachte, dass ein Minuszeichen vor der Klammer die Vorzeichen in der Klammer umdreht.

    Es ist ratsam, am Ende der Rechnung eine Probe mit der gefunden Lösung durchzuführen. Das heißt, dass die Lösung in der Ausgangsgleichung eingesetzt wird. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Die Äquivalenzumformungen sind hier zu sehen. Für die folgende Betrachtung muss $x\neq 1$ sein, da die Division durch $x-1$ ansonsten nicht möglich wäre.

    • Da die Variable in einem Term im Nenner steht, wird mit diesem Term multipliziert. Dies ist möglich, da dieser Term ungleich $0$ ist.
    • Sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite der Gleichung wird das Distributivgesetz angewendet: $-5(x-1)=-5x+5$ sowie $-4(x-1)=-4x+4$.
    • Die Bekannten auf der linken Seite werden zusammengefasst: $2+5=7$.
    • Durch Addition von $5x$ erhält man die Gleichung $7=x+4$.
    • Nun wird $4$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahiert und man kommt zu der Lösung: $x=3$.
    • Probe: $\frac 2{3-1}-5=-4$ führt auf die wahre Aussage $\frac22-5=-4$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{3\}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Multipliziere zunächst auf beiden Seiten mit $x+1$, um den Bruch zu vereinfachen. Dann nutze das Distributivgesetz für die Auflösung der Klammern.

    Wenn Äquivalenzumformungen zu einer falschen Aussage führen, so ist die Ausgangsgleichung nicht lösbar. Das heißt, es gibt kein $x$, welches die Ausgangsgleichung löst.

    Achte auf die Schreibweise der Mengenklammern.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen führen bei dieser Gleichung zu einer Aussage, welche sicherlich falsch ist.

    $\begin{align*} \frac x{x+1}-4&=-3&|&\cdot(x+1)\\ \frac{x(x+1)}{x+1}-4(x+1)&=-3(x+1)&|&\text{ T}\\ x-4x-4&=-3x-3&|&\text{ T}\\ -3x-4&=-3x-3&|&+3x\\ -4&=-3 \end{align*}$

    Dies bedeutet nicht, dass man sich verrechnet hat, sondern dass die Ausgangsgleichung nicht lösbar ist.

    In der Lösungsmenge befindet sich also nichts. Dies ist die sogenannte leere Menge. Man schreibt dies so: $\mathbb{L}=\{~\}$. Ein mögliche andere Schreibweise wäre auch $\mathbb{L}=\emptyset$.

  • Charakterisiere die Lösungsmenge der angegebenen Gleichung.

    Tipps

    Die Gleichung ist lösbar. Die Lösung ist eine Dezimalzahl.

    Wenn du eine Lösung gefunden hast, kannst du eine Probe durchführen.

    Du kannst entweder zunächst auf beiden Seiten $3$ subtrahieren oder mit $x+2$ multiplizieren.

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Lösung

    In dieser Gleichung muss gelten, dass $x\neq-2$ ist, da ansonsten die Division durch $x+2$ nicht erlaubt wäre.

    Die einzelnen Schritte der Rechnung sind in dem Bild zu sehen:

    • Durch Subtraktion von $-3$ und daran anschließender Multiplikation von $x+2$ gelangt man zu der Gleichung $x=-3(x+2)$.
    • Es gilt $-3(x+2)=-3x-6$ mit dem Distributivgesetz.
    • Es wird $3x$ auf beiden Seiten der Gleichung addiert und man erhält $4x=-6$.
    • Zuletzt wird durch $4$ dividiert. Dies führt zu der gesuchten Lösung $x=-1,5$.
    • Probe: Die Gleichung $\frac{-1,5}{-1,5+2}+3=\frac{-1,5}{0,5}+3=-3+3=0$ ist richtig.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-1,5\}$.

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