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Lineare Gleichungen lösen 2

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen 2
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen 2

Die Lösung einer einfachen Gleichung wird gezeigt.

Transkript Lineare Gleichungen lösen 2

Hallo, hier ist eine Gleichung, deren Lösungsmenge zu bestimmen ist. So eine Aufgabe kann dir unterkommen, wenn du gerade mit den Gleichungen angefangen hast, und übst Gleichungen zu lösen. Es kann aber auch sein, dass sie in durchaus höheren Klassen vorkommt, und zwar bei Prüfungen oder bei Prüfungsteilen, in denen du keinen Taschenrechner verwenden darfst. Dann werden da noch einmal so Grundlagen abgefragt, und das elementare Gleichungsumformen ist so eine Grundlage, die abgefragt werden kann. Also wir wollen nach x auflösen, wie man so sagt. Und da sage ich jetzt hier, welche Äquivalenzumformungen ich vorhabe. Ich könnte zunächst mal alle x auf eine Seite bringen, also +x rechnen auf beiden Seiten. Dann habe ich hier auf der linken Seite 15+4x stehen. Und auf der rechten Seite steht dann noch die 7. Und dann kann ich noch, weil ich ja das x alleine haben will, auf die andere Seite bringen, was hier stört auf dieser linken Seite, nämlich die 15. Also rechne ich -15 auf beiden Seiten und habe dann hier auf der linken Seite stehen 4x und 7-15=-8. Ja, das ist genau der Fehler, den man nicht machen sollte, jetzt ist er mir passiert. Ich hab es ja noch gemerkt, aber das ist auch so eine Gefahr, wenn man in höheren Klassen ist und so etwas noch einmal gefragt wird in einer Prüfung, dass man sich dann denkt, ich mache das eben schnell, fertig. Und zack, dann ist der Fehler drin und dann kriegt man dafür eben leider keine Punkte. Das ist im Nachhinein noch einmal besonders ärgerlich, weil man bei solchen einfachen Aufgaben dann die Punkte verloren hat. Also, was ist jetzt noch zu tun? Wir wollen das x alleine haben, dazu müssen wir durch 4 teilen, also hier ÷4 und dann steht hier x=-2, denn -8÷-4=-2. So, und damit ist diese Berechnung zu Ende. Es gibt wirklich Leute, die alles in ihren Taschenrechner eintippen, die können das dann irgendwann nicht mehr und deshalb so eine Aufgabe hier für den Teil ohne Taschenrechner. Viel Spaß damit, tschüss.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. 👌

    Von Jan F., vor etwa 2 Jahren
  2. sehr gut

    Von Roland H., vor mehr als 2 Jahren
  3. Lecker 😋

    Von Rufus, vor mehr als 2 Jahren
  4. Eeeeeeerhenman digga👅

    Von Stefanie Zedlitz, vor mehr als 2 Jahren
  5. Joa des war guat!

    Von Amin H., vor etwa 3 Jahren
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Lineare Gleichungen lösen 2 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen 2 kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man Gleichungen löst.

    Tipps

    Schau dir die einzelnen Schritte der folgenden Termumformung an:

    $\begin{array}{llll} 14x+6-2x+12 &=& 9-4x+6x-11 & |+4x-6x \\ 10x+6+12 &=& 9-11 & |-6-12 \\ 10x &=& -20 & |:10 \\ x &=& -2 & \end{array}$

    Stelle dir folgende Fragen: Wozu dient die erste Termumformung? Wozu dient die zweite Termumformung?

    Schau dir die einzelnen Schritte der folgenden Termumformung an:

    $\begin{array}{llll} 14x+6-2x+12 &=& 9-4x+6x-11 & |+4x-6x \\ 10x+6+12 &=& 9-11 & |-6-12 \\ 10x &=& -20 & |:10 \\ x &=& -2 & \end{array}$

    In allen vier Zeilen der Gleichung stehen gleichwertige Aussagen. Alle vier Zeilen sind also äquivalent. Für einzelne Termumformungen von einer Zeile auf die andere kann man daher auch einen anderen Fachbegriff verwenden.

    Lösung

    $\begin{array}{llll} 14x+6-2x+12 &=& 9-4x+6x-11 & |+4x-6x \\ 10x+6+12 &=& 9-11 & |-6-12 \\ 10x &=& -20 & |:10 \\ x &=& -2 & \end{array}$

    Jede Gleichung löst man durch Termumformungen oder Äquivalenzumformungen.

    Im ersten Arbeitsschritt werden alle Elemente mit $x$ auf die eine Seite der Gleichung gebracht.

    Im zweiten Arbeitsschritt werden alle Elemente ohne $x$ auf die andere Seite gebracht.

    Nachdem im dritten Arbeitsschritt der Faktor vom $x$ gelöst wurde, steht das $x$ allein auf einer Seite der Gleichung und das Ergebnis rechts.

  • Vervollständige die Gleichung.

    Tipps

    Würde man die zweite Zeile sehr ausführlich schreiben, würde dort das Folgende stehen:

    $15 + 3x + x = - x + 7 + x$

    Fasse die linke Seite zusammen.

    Überlege: Verändert sich die Anzahl der $x$ von der zweiten auf die dritte Zeile?

    Achte beim Ergebnis im letzten Kästchen auf das Vorzeichen!

    Lösung

    Gleichungen löst man, indem man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dieselben Rechnungen durchführt. Von der ersten auf die zweite Zeile rechnet man auf beiden Seiten $+x$. Auf der linken Seite ist $3x + x = 4x$, auf der rechten Seite löst sich $-x + x$ auf.

    Von der zweiten auf die dritte Zeile rechnet man auf beiden Seiten $-15$. Links löst sich $15 - 15$ auf. Rechts ist $7 - 15 = -8$.

    Von der dritten auf die vierte Zeile schließlich wird auf beiden Seiten $:4$ gerechnet. Links ist $4x : 4 = x$, rechts ist $-8 : 4 = -2$

  • Bestimme den Wert für $x$.

    Tipps

    Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite und bringe alle Zahlen auf die andere Seite.

    Als erste Äquivalenzumformung solltest du $|+ 2x$ oder $|-29$ rechnen.

    Das Ergebnis ist negativ.

    Lösung

    Zuerst bringen wir die Terme mit $x$ auf eine Seite. Dafür rechnen wir $+2x$ auf beiden Seiten. Dann bringen wir alle Zahlen bzw. Terme ohne $x$ auf die andere Seite. Wir rechnen auf beiden Seiten $-29$. Du kannst auch erst $-15x$ rechnen und dann $+22$.

    Wir erhalten die Gleichung $17x=51$ oder $-17x=51$. Du kannst erkennen, dass diese beiden Gleichungen äquivalent sind, wenn ich eine der beiden Gleichungen mit $(-1)$ multipliziere. Egal welche Gleichung du betrachtest, $x$ muss am Ende alleine stehen. Also teilen wir die Gleichung durch $17$ oder $-17$.

    Wir erhalten bei beiden Varianten schließlich die Lösung $x=-3$. Du hast gesehen, dass man Gleichungen auf verschiedene Weisen lösen kann. Wichtig ist aber, dass immer die gleiche Lösung herauskommt. Dann hast du alle Äquivalenzumformungen richtig ausgeführt.

  • Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

    Tipps

    Mache für jede Gleichung eine ausführliche schriftliche Rechnung. Achte bei deinen Rechnungen besonders auf die Vorzeichen. Überprüfe, ob deine vier Ergebnisse mit den angegebenen Lösungen übereinstimmen.

    Man kann auch eine „Probe“ machen. Setze zum Beispiel $x=2$ in die Gleichung $-2x - 14 = 19 + 9x$ ein.

    $\begin{align} -2\cdot 2-14&=19+9 \cdot 2 \\ -4-14&=19+18 \\ -18& =37 \end{align}$

    Das ist eine falsche Aussage, also ist $x=2$ keine Lösung dieser Gleichung. Probiere eine andere Gleichung aus.

    Lösung

    Wir lösen die Gleichungen, indem wir die Terme mit $x$ auf eine Seite der Gleichung bringen und die Terme ohne $x$ auf die andere Seite. Das erreichen wir durch Äquivalenzumformungen. Es gibt mehrere Möglichkeiten die Gleichung zu lösen. Wichtig ist, dass die Lösung stimmt. Wir rechnen ein Beispiel gemeinsam durch. Die anderen Gleichungen werden darunter gelöst.

    Wir beginnen mit $3x+11=27-5x$. Wir rechnen zuerst auf beiden Seiten $+5x$, um die Terme mit $x$ auf die linke Seite zu holen. Wir erhalten dadurch

    $8x+11=27$.

    Dann subtrahieren wir $11$ auf beiden Seiten, um die Terme ohne $x$ auf die rechte Seite zu bringen. Wir erhalten:

    $8x=16$

    Das $x$ muss nun alleine auf der linken Seite stehen. Wir teilen die Gleichung hierfür durch $8$ und erhalten die Lösung $x=2$. Hier siehst du diese Gleichung mit den Äquivalenzumformungen. Darunter folgen die anderen Gleichungen und ihre Lösungen.

    $\begin{align} 3x+11&=27-5x&&|+5x \\ 8x+11&=27&&|-11 \\ 8x&=16&&|:8 \\ x&=2 \end{align}$

    $\begin{align} 30+5x&=-4x+12&&|+4x \\ 30+9x&=12&&|-30 \\ 9x&=-18&&|:9 \\ x&=-2 \\ \end{align}$

    $\begin{align} 13-3x&=-7x+25&&|+3x \\ 13&=-4x+25&&|-25 \\ -12&=-4x&&|:(-4) \\ 3&=x \\ \end{align}$

    $\begin{align} -2x-14&=19+9x&&|+2x \\ -14&=19+11x&&|-19 \\ -33& =11x&& |:11 \\ -3& = x \end{align}$

  • Stelle den korrekten Lösungsweg der Gleichung dar.

    Tipps

    Beim Lösen einer Gleichung werden zunächst alle Summanden mit $x$ auf die eine Seite der Gleichung gebracht, anschließend alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite. Dadurch wird mit jeder Termumfomung die nächste Zeile kürzer.

    Lösung

    Beim Lösen einer Gleichung schreibst du zunächst die Gleichung einmal komplett ab. Die erste Umformung ist $+x$. Auf der rechten Seite bleiben dann nur noch $7$ übrig, auf der linken Seite wird aus $3x + x = 4x$.

    Die zweite Umformung ist $-15$, dadurch stehen rechts $7 - 15 = -8$ und links bleibt nur noch die $4x$ übrig.

    Zum Schluss wird $:4$ gerechnet. Rechts ist also $-8 : 4 = -2$ und links bleibt nur das $x$ stehen.

  • Löse die Gleichung, die durch den Text beschrieben wird.

    Tipps

    Übertrage den Aufgabentext in eine Gleichung. Setze für die gesuchte Zahl zunächst $x$ ein. Erinnere dich an die Fachbegriffe:

    • Multiplizieren bedeutet malnehmen ($\cdot$).
    • Addieren bedeutet Plus rechnen ($+$).
    • Subtrahieren bedeutet Minus rechnen ($-$).
    • Vervierfachen bedeutet $\cdot4$.

    Die linke Seite der Gleichung lautet:

    $3x + 7 = $

    Die rechte Seite der Gleichung lautet

    $52 - 6x$

    Lösung

    Eine Zahl mit drei multiplizieren heißt, $3\cdot x$ zu rechnen. Dazu wird $7$ addiert, also $3x + 7$.

    Das Ergebnis soll dasselbe sein wie wird als $=$ übersetzt.

    Auf der rechten Seite der Gleichung soll man von $52$ etwas subtrahieren, d.h. $52-$. Und was? Das Sechsfache der Zahl ist $6x$.

    Wir erhalten als Gleichung $3x + 7 = 52 - 6x$. Im Bild kannst du erkennen, wie man diese Gleichung nach $x$ auflösen kann.

    Die gesucht Zahl ist $x=5$.

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