Kreiszahl Pi

Kreiszahl Pi Übung

• Beschreibe die Eigenschaften der Kreiszahl $\pi$.

  Tipps

  Eine rationale Zahl $\mathbb{Q}$ kannst du in Form eines Bruches $\frac ab$ darstellen. Dabei ist $a$ eine ganze Zahl und $b$ eine natürliche Zahl ungleich $0$.

  Irrationale Zahlen kannst du nicht wie rationale Zahlen als Bruch ganzer und natürlicher Zahlen darstellen.

  Lösung

  Die Kreiszahl $\pi$ spielt in der Mathematik eine sehr große Rolle. Man kann mit ihr den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnen. Demnach braucht man sie auch, wenn man die Oberfläche und das Volumen von Körpern mit kreisförmigen Teilflächen berechnen möchte.

  Die Kreiszahl $\pi$ hat folgende Eigenschaften:

  • $\pi$ ist eine irrationale Zahl.
  • Sie kann nicht durch einen Quotienten $\frac ab$ aus einer ganzen Zahl $a$ und einer natürlichen Zahl $b$ ausgedrückt werden.
  • Sie hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.

• Gib diejenigen Körper an, für deren Oberflächenberechnung du die Kreiszahl $\pi$ benötigst.

  Tipps

  Mit der Kreiszahl $\pi$ kannst du die Fläche von Kreisen bestimmen.

  Die Oberfläche eines Körpers entspricht der Summe seiner Teilflächen.

  Hier siehst du das Körpernetz eines Zylinders.

  Lösung

  Die Kreiszahl $\pi$ spielt in der Mathematik eine sehr große Rolle. Man kann mit ihr den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnen. Demnach braucht man sie auch, wenn man die Oberfläche und das Volumen von Körpern mit kreisförmigen Teilflächen berechnen möchte.

  Also suchen wir hier Körper, die eine kreisförmige Teilfläche besitzen. Diese sind der Zylinder und der Kegel.

  • Zylinder: kreisförmige Grund- und Deckfläche, rechteckige Mantelfläche
  • Kegel: kreisförmige Grundfläche; Kreisausschnitt als Mantelfläche

  Die übrigen Körper sind ein Quader und zwei Pyramiden. Diese besitzen keine kreisförmigen Teilflächen.

• Ordne den Kreisausschnitten die Formel für ihren Flächeninhalt zu.

  Tipps

  Überlege zunächst, welcher Anteil eines Vollkreises abgebildet ist.

  Betrachtest du ein Fünftel eines Kreises, so betrachtest du auch ein Fünftel seiner Fläche.

  Den Flächeninhalt eines Vollkreises kannst du mit folgender Formel berechnen:

  • $A=\pi\cdot r^2$

  Lösung

  Den Flächeninhalt eines Vollkreises können wir mit folgender Formel berechnen:

  • $A=\pi\cdot r^2$

  So kann man natürlich auch Teile eines Kreises berechnen, wie zum Beispiel den Flächeninhalt eines Viertelkreises. Also überlegen wir zunächst, welcher Anteil eines Vollkreises jeweils abgebildet ist. Bei einem Viertelkreis betrachten wir ein Viertel der Fläche eines Vollkreises. So können wir den Kreisausschnitten folgende Formeln zuordnen:

  • Bild 1: Viertelkreis mit $A=\dfrac{\pi\cdot r^2}{4}$

  • Bild 2: Halbkreis mit $A=\dfrac{\pi\cdot r^2}{2}$

  • Bild 3: Drei Viertel eines Kreises mit $A=\dfrac{3\pi\cdot r^2}{4}$

  • Bild 4: Zwei Drittel eines Kreises mit $A=\dfrac{2\pi\cdot r^2}{3}$

• Ermittle die Länge der jeweiligen Strecken.

  Tipps

  Wird ein Rad einmal um sich selbst gedreht, so legt es seinen Umfang $U$ zurück.

  Den Umfang $U$ eines Kreises berechnest du wie folgt:

  • $U=\pi\cdot d$

  Lösung

  Wird ein Rad einmal um sich selbst gedreht, so legt es seinen Umfang $U$ zurück. Den Umfang $U$ eines Kreises berechnest du wie folgt:

  • $U=\pi\cdot d$

  Damit können wir die Strecken wie folgt berechnen:

  Beispiel 1:

  Ein Rad mit $d=2\ \text{m}$ wird $1,5$ Mal um sich selbst gedreht. Es legt also das $1,5$-fache seines Umfangs zurück. Sein Umfang beträgt:

  • $U=\pi\cdot 2\ \text{m}=2\pi\ \text{m}$

  Demnach legt es also eine Strecke von $1,5\cdot U=1,5\cdot 2\pi=3\pi$ Metern zurück.

  Beispiel 2:

  Wird ein Rad mit $d=1,75\ \text{m}$ viermal um sich selbst gedreht, so legt es eine Strecke von $7\pi$ Metern zurück. Hierzu betrachten wir einfach nur das Vierfache seines Umfangs:

  • $4\cdot U=4\cdot \underbrace{\pi\cdot 1,75\ \text{m}}_{U}=7\pi\ \text{m}$

  Beispiel 3:

  Ein Rad mit $d=0,5\ \text{m}$ wird $6$ Mal um sich selbst gedreht. Wir berechnen also das Sechsfache seines Umfangs:

  • $6\cdot U=6\cdot \underbrace{\pi\cdot 0,5\ \text{m}}_{U}=3\pi\ \text{m}$

• Bestimme die Größen an einem Kreis und ihre Berechnung mit der Kreiszahl $\pi$.

  Tipps

  Würdest du die Kreislinie genau einmal entlanglaufen, würde die zurückgelegte Strecke dem Kreisumfang entsprechen.

  Die Kreiszahl $\pi$ kannst du als Quotient mit dem Dividenden $U$ und dem Divisor $d$ darstellen.

  Lösung

  Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte, die zum Kreismittelpunkt denselben Abstand haben. Dieser Abstand wird Radius $r$ genannt. Der Durchmesser entspricht der längsten Sehne des Kreises. Du erhältst sie, wenn du zwei Radien im Winkel von $180^\circ$ in den Kreis einzeichnest.

  Der Umfang $U$ eines Kreises entspricht der Länge der Kreislinie. Die Kreisfläche wird mit $A$ bezeichnet. Der Umfang $U$ und der Flächeninhalt $A$ werden wie folgt berechnet:

  • $U=\pi\cdot d$
  • $A=\pi\cdot r^2$

• Prüfe die Aussagen auf Richtigkeit.

  Tipps

  Konstant bedeutet gleichbleibend.

  Betrachtet man das $n$-fache eines Kreises, so betrachtet man auch das $n$-fache von dessen Fläche.

  Das Verhältnis von einer Größe $a$ zu einer Größe $b$ kannst du wie folgt schreiben:

  • $\dfrac ab$

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  „Die Kreiszahl $\pi$ ist eine konstante Zahl.“

  • Die Kreiszahl $\pi$ ist zwar eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch sind, aber trotzdem ist sie eine konstante Zahl. Konstant bedeutet nämlich gleichbleibend.

  „Ein Rad mit einem Meter Durchmesser legt bei $n$ Umdrehungen die Strecke $n\cdot \pi$ zurück.“

  • Dreht sich ein Rad $n$ Mal um sich selbst, so legt es das $n$-fache seines Umfangs zurück. Ein Rad, dessen Durchmesser $1$ Meter beträgt, legt also $n\cdot U=n\cdot \pi\cdot 1=n\cdot p$ Meter zurück.

  • „Die Kreiszahl $\pi$ liegt zwischen den natürlichen Zahlen $3$ und $4$.“

  • Die Kreiszahl $\pi$ beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet $3,14$ und liegt damit zwischen $3$ und $4$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  „$\pi$ ist das Verhältnis vom Durchmesser eines Kreises zu dessen Umfang.“

  • $\pi$ ist das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu dessen Durchmesser.

  „Die Kreiszahl $\pi$ benötigt man bei der Berechnung der Oberfläche eines Würfels.“

  • Da der Würfel keine kreisförmige Teilfläche besitzt, wird $\pi$ bei der Berechnung seiner Oberfläche nicht benötigt.

  „Betrachtet man das $n$-fache eines Kreises, so entspricht dessen Fläche $\frac{\pi\cdot r^2}{n}$.“

  • Die Fläche entspricht der $n$-fachen Fläche des Kreises, also $n\cdot\pi\cdot r^2$.