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Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion 08:24 min

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Transkript Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion

Hallo. Hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir etwas über den Kreis. Kreise gibt es überall auf der Welt. Hier gebe ich dir ein paar Beispiele, wo dir auch im Alltag Kreise begegnen. So haben wir hier einen Gullideckel. Eine runde Uhr. Ein Rad. Oder eine Frisbee -Scheibe. In all diesen Bildern kann man Kreise erkennen. Aber was ist eigentlich genau ein Kreis? Dazu werde ich dir in Teil 1, in diesem Video also, zunächst definieren, was ein Kreis ist. Danach zeige ich dir, wie man einen Kreis zeichnen kann. Und zum Schluss erkläre ich dir, welche Lagebeziehungen Geraden und Strecken am Kreis haben können. In Teil 2 zum Kreis stelle ich dir verschiedene Formeln vor, die man bei Berechnungen am Kreis häufig benötigt. Außerdem erkläre ich dir, wie man sie benutzt. Dazu werde ich in Teil 1 zunächst definieren, was ein Kreis ist. Beginnen wir mit Erstens. Definition des Kreises. Ein Kreis ist wie folgt definiert. Die Menge aller Punkte P einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, heißt Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. versuchen wir uns diese Definition zu veranschaulichen. Dazu habe ich bereits die wichtigen Begriffe markiert. Wir haben einen Punkt M gegeben. Und zu diesem Punkt M hat eine Menge aller Punkte P denselben Abstand r. Da nehmen wir uns zum Beispiel den Abstand 10cm. Und zeichnen ganz viele Punkte in diesem Abstand zu M. Da in dieser Definition alle Punkte mit diesem Abstand zu M gemeint sind, kann man unendlich viele Punkte mit diesem Abstand einzeichnen. So viele, dass man einen Punkt von dem anderen Punkt gar nicht mehr unterscheiden kann. Es sieht dann so aus, als hätte man eine Linie um den Mittelpunkt M gezeichnet, die einen Abstand r hat. Würde man in der Definition statt der Ebene den Raum schreiben, so würde man eine Kugel erhalten. Mit dem Kreis definiert man also genauer die Kreislinie. Es gibt den weit verbreiteten Irrglauben, dass mit dem Kreis die Kreisfläche gemeint ist. Aber das stimmt nicht. Die Kreisfläche beschreibt aber im Allgemeinen die Fläche innerhalb der Kreislinie. Und dann gibt es noch den Umfang. Er beschreibt die Länge der Kreislinie. Man kann auch nur einen Teil der Kreislinie betrachten. Dann nennt man diesen Teil Kreisbogen. Dieser wird hier mit b bezeichnet. Die Fläche innerhalb des Kreisbogens nennt man Kreisausschnitt oder Kreissektor. Mit Hilfe der Definition zum Kreis hast du auch schon gleich gelernt, wie man einen Kreis zeichnet. Damit sind wir also schon bei 2. Zeichnen eines Kreises. Die Konstruktion des Kreises erfolgt mit dem Zirkel. Man zeichnet einen Kreis mit einem gegebenen Punkt M, indem man den gewünschten Radius, also den Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie, in die Zirkelspanne nimmt. Und einen Kreisbogen um den Mittelpunkt M zeichnet. Wir notieren uns, dass wir Radius r als Zirkelspanne nehmen müssen. Einfachere Methoden, um schnell einen Kreis zu zeichnen, ist zum Beispiel ein Glas oder eine Schüssel als Vorlage zu nehmen. Eine weitere Möglichkeit ist es, eine Schnur zu nehmen. Diese einerseits am Mittelpunkt des Kreises zu fixieren. Und an der anderen Seite einen Stift. Dann zeichnet man um den Mittelpunkt mit einer straffen Schnur einen Kreis. Diese Methode verwenden zum Beispiel Gärtner, um ein rundes Beet abzustecken. Da ist es ja schwer, einen so großen Zirkel zu finden. Und nun sind wir auch schon bei 3. Geraden und Strecken am Kreis. Überlege dir dazu, welche Möglichkeiten es gibt, Geraden und Strecken in Beziehung zu einem Kreis zu zeichnen. Ordnen wir diese Möglichkeiten nach der Anzahl der Schnittpunkte mit dem Kreis. Einmal zwei Schnittpunkt, einmal ein Schnittpunkt und einmal kein Schnittpunkt. Also null. Dann haben wir bei zwei Schnittpunkten einmal die Sehne. Sie ist eine Strecke, die den Kreis zweimal schneidet. Aber nicht darüber hinaus verläuft. Eine besondere Sehne ist der Durchmesser. Er verläuft durch den Mittelpunkt und schneidet den Kreis auch zwei Mal. Der Durchmesser ist die längste Sehne im Kreis. Auch er ist eine Strecke. Dann gibt es noch die Sekanten. Sie ist eine Gerade, die den Kreis zweimal schneidet. Das Wort wird aus dem Lateinischen von secare abgeleitet. Und heißt schneiden. Sie muss nicht durch den Mittelpunkt verlaufen. Machen wir nun mit der nächsten Zeile weiter, also Geraden und Strecken mit einem Schnittpunkt. Eine Strecke, die nur einen Schnittpunkt mit dem Kreis hat, das ist der Radius. Sein einer Endpunkt liegt also auf dem Kreis und der andere ist der Mittelpunkt des Kreises selbst. Die Tangente dagegen ist eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt schneidet. Man sagt auch, dass sie den Kreis berührt. Das kommt ihrem Wortstamm am nächsten, denn aus dem Lateinischen übersetzt, heißt das Wort tangere berühren. Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius. Und nun kommen wir zur dritten Zeile. Keinen Schnittpunkt. Hier gibt es nur eine Gerade, die keinen Schnittpunkt hat. Man nennt eine solche Gerade Passante. Passanten kennst du auch schon. Die laufen auf der Straße an einem vorbei. So wie auch die Gerade am Kreis vorbeiläuft ohne ihn zu berühren. So wurde das Wort passante auch aus dem Lateinischen übersetzt mit Vorbeigehende. Du hast heute wieder viel gelernt. Du hast zuerst gelernt, was ein Kreis ist. Er ist die Menge aller Punkte P der Ebene, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben. Der Kreis bezeichnet also die Kreislinie. Man zeichnet einen Kreis, indem man mit dem Zirkel einen Kreisbogen um einen Punkt zeichnet. Du hast außerdem die wichtigen Begriffe Radius, Durchmesser, Sehne, Sekante, Tangente und Passante kennengelernt. Im zweiten Teil zum Kreis werde ich dir verschiedene Formeln vorstellen, die man zur Berechnung am Kreis benötigt. Und nun sage ich Bye, Bye. Und bis zum nächsten Mal.

35 Kommentare
  1. Gut!

    Von Julia Penz, vor 11 Monaten
  2. Gutes Video! Danke

    Von Bjoern Winkler, vor mehr als einem Jahr
  3. Hervorragend! Jetzt bessere Vorstellung. Danke!

    Von Dw 69, vor etwa 2 Jahren
  4. Eigentlich schneiden der Radius, der Durchmesser, die Sehne und die Tangente den Kreis ja nicht... Oder? Nur die Sekante schneidet den Kreis. Die Tangente tangiert ihn und der rest berührt ihn nur.

    Von Leos, vor mehr als 2 Jahren
  5. @Johanna Grohnert: Unter dem folgenden Link findest du den 2. Teil des Videos:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/umfang-von-kreisen
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 2 Jahren
  1. Sehr gutes Video. Aber ich finde auch nicht den 2. Teil. Wo muss ich suchen?

    Von Johanna Grohnert, vor mehr als 2 Jahren
  2. danke sehr hilfreich

    Von julia n., vor mehr als 2 Jahren
  3. Hat sich erledigt, habe es gefunden!! Danke!!

    Von Frau Kirchhoff, vor mehr als 2 Jahren
  4. Hallo Mandy F.

    wie finde ich denn das zweite Video, das hier angekündigt wird (Formeln am Kreis)?

    Herzlichen Dank schonmal!

    Von Frau Kirchhoff, vor mehr als 2 Jahren
  5. @Augustin Konan: Könntest du deine Frage etwas genauer stellen?Was genau möchtest du denn drucken?

    Von Thomas Scholz, vor fast 3 Jahren
  6. wie kann ich Drucken

    Von Augustin Konan, vor fast 3 Jahren
  7. Gut erklärt

    Von Steffens Privat, vor fast 3 Jahren
  8. gut erklärt

    Von S Bendig, vor etwa 3 Jahren
  9. videos perfekto guter diese

    Von Tanjaputtlitz, vor mehr als 3 Jahren
  10. sehr gutes video :)

    Von Isabel S., vor mehr als 3 Jahren
  11. Hat mir geholfen!

    Von Jesse Dylan, vor mehr als 3 Jahren
  12. Sehr gutes video ;)

    Von Vision1978, vor mehr als 3 Jahren
  13. gutes Video :)

    Von Familie Y., vor mehr als 3 Jahren
  14. sehr gutes viedio

    Von M Kleinhans, vor etwa 4 Jahren
  15. gutes video :)

    Von Jorgenovais5, vor fast 5 Jahren
  16. Ne 6 :3 harter schlag für die mandy xD

    Von Antoaneta2, vor fast 5 Jahren
  17. Ich habe wegen ihrem Video eine 6 im Test.

    Sie haben alles groß geschrieben. Aber alles andere war sehr toll.

    Von Nadja Winnenden, vor etwa 5 Jahren
  18. gutes Video!!!

    Von Heidesillack, vor mehr als 5 Jahren
  19. Super.

    Von Lucaflo01, vor mehr als 5 Jahren
  20. Danke das hat mir wirklich sehr geholfen, da man sich durch die deutsche Übersetzung der lat. Begriffe das ganze viel besser merken kann.^^

    Von Annika Lichtenstern, vor mehr als 5 Jahren
  21. das video war gut

    Von Malexoae, vor mehr als 5 Jahren
  22. Das Video war gut

    Von Beyer S, vor mehr als 5 Jahren
  23. zu hohes niveau aber ich schaus mir an ich bin erst in der 5.klasse

    Von Alzobidi, vor mehr als 5 Jahren
  24. gut danke

    Von Denise1108, vor mehr als 5 Jahren
  25. Sup

    Von Constanze H., vor fast 6 Jahren
  26. Wunderbar!!!

    Von Brigitte Weishaeupl, vor fast 6 Jahren
  27. supiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

    Von Michelle Celine W., vor fast 6 Jahren
  28. War GUT!!!

    Von Wildenspringer, vor mehr als 6 Jahren
  29. heeeey Mandy war gut <3

    Von Madjid C., vor fast 7 Jahren
  30. danke das war sehr guuuuuuuuuuut

    Von Sarahcupcakelove, vor fast 7 Jahren
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Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere einen Kreis.

    Tipps

    Kennst du kreisförmige Gegenstände in deiner Umgebung?

    Hier siehst du zum Beispiel ein Verkehrsschild, das die Form eines Kreises hat.

    Die rosa-graue Fläche im Inneren des Kreises ist die Kreisfläche.

    Die runde, orangefarbene Linie am Rand der Kreisfläche nennt man auch die Kreislinie.

    Lösung

    Was ist eigentlich ein Kreis?

    Die Menge aller Punkte $P$ einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt $M$ denselben Abstand $r$ haben, heißt Kreis.

    Dabei ist

    • $M$ der Mittelpunkt und
    • $r$ der Radius des Kreises.
    Merke dir: Wenn von einem Kreis gesprochen wird, ist die Kreislinie gemeint und nicht das Innere des Kreises. Wenn du vom Kreisinneren sprechen möchtest, kannst du von der Kreisfläche sprechen.

  • Beschreibe, mit welchen Hilfsmitteln man einen Kreis konstruieren kann.

    Tipps

    Hier siehst du ein Glas.

    Vielleicht befindet sich ja in deiner Federtasche ein Zirkel!?

    Mit der Federtasche selbst kannst du keinen Kreis zeichnen.

    Hier siehst du einen Zirkel.

    Lösung

    Die Menge aller Punkte $P$ einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt $M$ denselben Abstand $r$ haben, nennt man Kreis.

    Um einen Kreis zu konstruieren, benötigst du also einen Mittelpunkt $M$ und einen Radius $r$.

    Du kannst einen Kreis mithilfe eines Zirkels konstruieren. Dafür spannst du den Radius $r$ in die Zirkelspanne ein und trägst die Kreislinie um den Punkt $M$ ab. Hierfür stichst du mit der Spitze des Zirkels in den Mittelpunkt $M$ und zeichnest dann den Kreis.

    Wenn du keinen Zirkel zur Hand hast, kannst du auch eine Schnur verwenden. Die Schnur sollte so lang sein wie der Radius. Das eine Ende befestigst du auf dem Mittelpunkt und an das andere Ende hältst du einen Stift. Nun bewegst du den Stift bei gespannter Schnur einmal um den Mittelpunkt. Fertig ist der Kreis.

    Eine dritte Möglichkeit ist, einen Kreis mithilfe von einem Glas zu zeichnen. Dafür stellst du das Glas auf ein Blatt Papier, hältst es gut fest und ziehst mit dem Stift eine Linie rund um das Glas.

  • Benenne die einzelnen Geraden und Strecken.

    Tipps

    Die Menge aller Punkte $P$ einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt $M$ denselben Abstand $r$ haben, heißt Kreis.

    Dieser Abstand wird als Radius bezeichnet.

    Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius.

    Merke dir:

    • Das Wort Passante kommt von passante, was so viel heißt wie die Vorbeigehende.
    • Das Wort Tangente kommt von tangere, das bedeutet berühren.
    • Das Wort Sekante kommt von secare, das bedeutet schneiden.
    Lösung

    Es gibt viele Arten von Geraden und Strecken, die eine besondere Lage zum Kreis haben. Sie haben keinen oder einen oder zwei Schnittpunkte mit der Kreislinie.

    Kein Schnittpunkt

    Schau einmal genau hin: Welche Gerade oder Strecke besitzt keinen Schnittpunkt mit der Kreislinie? Richtig: Die hellblaue Gerade. Diese wird als Passante bezeichnet. Du kennst vielleicht den Begriff der Passanten, das sind Menschen, die vorbei gehen.

    Ein Schnittpunkt

    Es gibt eine Strecke und eine Gerade, die jeweils einen Schnittpunkt mit der Kreislinie haben:

    • Der Radius: Er ist im Bild dunkelgrün eingezeichnet. Weißt du noch, was der Radius ist? Der Radius ist der Abstand, den jeder Punkt auf der Kreislinie zu dem Mittelpunkt des Kreises hat.
    • Die Tangente: Diese ist im Bild violett. Die Tangente berührt die Kreislinie in einem Punkt. Daher kommt auch der Name: Aus dem lateinischen tangere, das bedeutet berühren.

    Zwei Schnittpunkte

    • Die dunkelblaue Strecke ist eine Sehne.
    • Der hellgrüne Durchmesser ist eine besondere Sehne. Sie ist besonders, weil sie die einzige Sehne ist, die durch den Mittelpunkt $M$ geht. Der Durchmesser ist übrigens doppelt so lang wie der Radius.
    • Die Sekante: Diese ist hier gelb gefärbt. Sie schneidet die Kreislinie in zwei Punkten.
  • Entscheide, wie viele Schnittpunkte die Strecken und Geraden mit der Kreislinie haben.

    Tipps

    Die blaue Gerade im Bild ist eine Tangente. In wievielen Punkten schneidet sie den orangefarbenen Kreis?

    Merke dir:

    • Das Wort Passante kommt von passieren, was so viel heißt wie vorbei gehen.
    • Das Wort Tangente kommt von tangere für berühren.
    • Das Wort Sekante kommt von secare für schneiden.
    Lösung

    Es gibt drei Möglichkeiten, wie eine Strecke oder Gerade in Beziehung zu einem Kreis liegen kann. Sie kann die Kreislinie in keinem, einem oder in zwei Punkten schneiden.

    Kein Schnittpunkt:

    Die Passante läuft komplett am Kreis vorüber. Sie schneidet ihn in keinem Punkt und ist auf dem Bild ganz rechts zu sehen.

    Ein Schnittpunkt:

    Die Tangente berührt die Kreislinie in genau einem Punkt. Sie liegt zwischen den beiden anderen blauen Geraden. Außerdem gibt es auch eine besondere Strecke, die die Kreislinie in einem Punkt schneidet: der Radius, im Bild ist der Radius orange eingezeichnet.

    Zwei Schnittpunkte:

    Die Sekante ist eine Gerade, die durch das Kreisinnere verläuft und damit den Kreis an zwei Punkten schneidet. Sie ist auf dem Bild die blaue Gerade, die ganz links liegt. Außerdem gibt es noch die Sehne. Das ist eine Strecke, die an der Kreislinie beginnt und erst dann endet, wenn sie wieder auf die Kreislinie trifft. Eine besondere Sehne ist der Durchmesser. Auch er schneidet die Kreislinie in zwei Punkten und läuft durch den Mittelpunkt. Im Bild ist keine Sehne eingezeichnet, auch nicht der Durchmesser.

  • Entscheide, welche der Geraden Passanten, Tangenten und Sekanten sind.

    Tipps

    Eine Passante läuft an dem Kreis vorbei.

    Eine Sekante und Tangente unterscheiden sich in der Anzahl der Schnittpunkte mit dem Kreis.

    Lösung

    Alle Geraden auf dem Bild verlaufen parallel zueinander.

    Zwei Geraden haben keinen Schnittpunkt mit der Kreislinie: Das sind die dunkelgrüne und die gelbe Gerade. Diese Geraden nennt man Passanten.

    Zwei Geraden berühren die Kreislinie. Sie haben also einen Schnittpunkt mit der Kreislinie. Die hellblaue und die dunkelblaue Gerade nennt man Tangenten.

    Die hellgrüne und die violette Gerade schneiden die Kreislinie in zwei Punkten. Diese beiden Geraden nennt man Sekanten.

  • Entscheide, welche Gegenstände die Form eines Kreises haben.

    Tipps

    Beachte: Ein Kreis ist flach.

    Also kann ein Körper kein Kreis sein.

    Bei einem Kreis hat jeder Punkt den gleichen Abstand zu dem Mittelpunkt.

    Untersuche, ob bei dieser Form jeder Punkt den gleichen Abstand zum Mittelpunkt hat.

    Lösung

    Kreise begegnen dir häufig.

    Zum Beispiel die Uhr, die dir in der Schule sagt, wie viel Zeit noch bis zur Pause vergehen wird. Natürlich gibt es auch Uhren, die eine andere Form haben. Die hier abgebildete Uhr hat die Form eines Kreises.

    Außerdem haben viele Verkehrszeichen eine Kreisform. Das Verkehrsschild, das einen geteilten Rad- und Fußgängerweg anzeigt, hat zum Beispiel die Form eines Kreises.

    Die Erdkugel ist eine Kugel, also ein Körper. Ein Kreis ist jedoch flach. Somit kann die Erdkugel kein Kreis sein. Auch der Rugby-Ball ist ein Körper.

    Die grüne, rund gebogene Form ist eine Ellipse. Sie ist zwar flach, aber die Punkte auf der Linie haben nicht alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt.

    Die Gläser der Schwimmbrille haben eine Form, die an eine Ellipse erinnert, aber sie ist unregelmäßig. Hier gibt es also keinen Kreis zu entdecken.