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Koordinatenform einer Ebene

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Koordinatenform einer Ebene
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Koordinatenform einer Ebene

Umwandlung von der Parameterform in die Koordinatenform

In diesem Text wird erklärt, wie man die Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform umwandelt.

Verfahren: Umwandlung von der Parameterform in die Koordinatenform

  1. Bestimme einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren verläuft.

  2. Multipliziere die Parametergleichung mit dem gefundenen Normalenvektor, um die Koordinatenform zu erhalten.

Der wichtigste Schritt bei der Umwandlung in die Koordinatenform ist das Aufstellen eines Normalenvektors. Dafür gibt es zwei Verfahren, die mit jeweils einem Beispiel und dem vollständigen Rechenweg erklärt werden.

Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt finden

Ein Normalenvektor kann gefunden werden, indem das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren gebildet wird. $\vec n= \vec u \times \vec v$

Beispielaufgabe: Finde eine Koordinatenform der gegebenen Ebene in Parameterform.

$E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

Wir benötigen einen Vektor, der auf den beiden Spannvektoren senkrecht steht, und bilden daher das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt:

$\vec n= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 \\ -14 \\ 10 \end{pmatrix}$

Der erhaltene Vektor steht senkrecht auf den beiden Spannvektoren. Um handlichere Zahlen zu erhalten, kann man eine skalare Multiplikation durchführen – dadurch ändert sich nur die Länge des Vektors, aber die Richtung bleibt erhalten. In diesem Fall sind alle Komponenten durch $2$ teilbar, daher multiplizieren wir mit $0,5$:

$\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 8 \\ -14 \\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} $

Damit haben wir einen Normalenvektor $\vec n$ gefunden:

$\vec n=\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} $

Als Nächstes multiplizieren wir die Parametergleichung mit dem Normalenvektor. Achte dabei darauf, dass beide Seiten der Gleichung mit $\vec n$ multipliziert werden und dass auf der rechten Seite der Gleichung jeder Summand mit $\vec n$ multipliziert wird, da das Distributivgesetz gilt.

$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} $

Zuletzt multiplizieren wir die Vektoren nach den Regeln des Skalarprodukts:

Linke Seite:

$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} =4x_1-7x_2+5x_3$

Rechte Seite:

$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 5 \end{pmatrix} \\ \\ =(1\cdot 4 + 0 \cdot (-7)+1\cdot 5) + r\cdot (2\cdot 4 + (-1)\cdot (-7)+(-3)\cdot 5)\\+s \cdot (4\cdot 4+3\cdot (-7)+1\cdot 5) \\ = 9 + r\cdot 0 + s\cdot 0 \\ =9$

Es ist kein Zufall, dass die letzten beiden Skalarprodukte null werden, da der $ \vec n$-Vektor senkrecht auf der Ebene und damit auf den beiden Spannvektoren steht und das Skalarprodukt von zwei zueinander senkrechten Vektoren null ist. Du kannst diesen Schritt als Probe durchführen, um eventuelle Rechenfehler aufzuspüren.

Nachdem wir die linke und rechte Seite der Gleichung vereinfacht haben, erhalten wir nun also die Koordinatenform der Ebene:

$E: x_1-x_2+x_3=9$

Normalenvektor mit einem linearen Gleichungssystem finden

Ein Normalenvektor kann gefunden werden, indem zwei Bedingungen für das Skalarprodukt formuliert werden und das dadurch entstandene lineare Gleichungssystem gelöst wird:

$\vec u \cdot \vec n= 0\newline \vec v \cdot \vec n= 0$

Beispielaufgabe: Finde eine Koordinatenform der gegebenen Ebene in Parameterform.

$E: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}+ r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \vec n=0 \implies 1 n_1+4 n_2+2 n_3=0$

$\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \vec n=0\implies 3 n_1-3 n_2 +3 n_3=0$

Damit erhalten wir das lineare Gleichungssystem:

$1 n_1+4 n_2+2 n_3=0\\ 3 n_1-3 n_2 +3 n_3=0$

Es handelt sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem aus zwei Gleichungen und drei Variablen, das keine eindeutige Lösung hat. Zunächst eliminieren wir eine Variable, in diesem Fall bietet es sich an, von der zweiten Gleichung das Dreifache der ersten Gleichung zu subtrahieren, um $n_1$ zu eliminieren:

$-15n_2-3n_3=0 $

Es können keine weiteren Variablen eliminiert werden. Wir vereinfachen die Gleichung, indem wir sie durch $3$ dividieren: $-5n_2-n_3=0\implies -5n_2=n_3$

Anschließend wählen wir eine Variable frei aus, setzen diese auf einen Zahlenwert fest und können dann die Werte der anderen beiden Variablen berechnen.

Setze $n_2=1$.

Aus $n_3=-5n_2$ folgt dann $n_3=-5$.

Die beiden Werte setzen wir in die erste Gleichung $1 n_1+4 n_2+2 n_3=0$ ein und erhalten:

$1 n_1+4 \cdot 1+2 \cdot (-5)=0\implies n_1-6=0\implies n_1=6$

Somit haben wir einen Normalenvektor gefunden:

$\vec n=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} $

Wenn $n_2$ auf einen anderen Zahlenwert gesetzt wird oder eine andere Variable ausgewählt wird, erhält man einen anderen Normalenvektor. Die möglichen Ergebnisse sind aber alle Vielfache voneinander und somit zueinander parallele Vektoren, die senkrecht zu den beiden Spannvektoren verlaufen.

Jetzt gehen wir wie beim ersten Beispiel vor und multiplizieren die Parametergleichung mit dem Normalenvektor.

$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}$

Zuletzt wenden wir wieder das Skalarprodukt an:

Linke Seite:

$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}=6 x_1+x_2-5 x_3$

Rechte Seite:

$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\\ =2\cdot 6+1\cdot 1+(-5)\cdot (-5)+r\cdot 0 + s\cdot 0=38$

Auch hier geht die Probe auf und die letzten beiden Skalarprodukte werden null. Nachdem wir die linke und rechte Seite der Gleichung vereinfacht haben, erhalten wir nun für die Koordinatenform der Ebene:

$E: 6x_1+x_2-5x_3=38$

Umwandlung von der Parameterform in die Normalenform

Wir haben an zwei Beispielen gesehen, wie anhand einer Parameterform die Koordinatenform gefunden werden kann. Die Umwandlung in die Normalenform ist darin eigentlich schon enthalten. Wenn du statt der Koordinatenform die Normalenform benötigst, musst du alle Summanden auf eine Seite der Gleichung bringen und das Skalarprodukt nicht ausrechnen, sondern in Vektorschreibweise stehen lassen und den Normalenvektor ausklammern. Wir führen die Schritte anhand der vorangegangenen Beispielaufgabe durch.

$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}$

Die letzten beiden Produkte werden null, daher fallen die letzten beiden Summanden weg. Den anderen subtrahieren wir, um auf der rechten Seite null zu erhalten:

$\vec x \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = 0$

Nun können wir den Normalenvektor faktorisieren bzw. ausklammern und erhalten die Normalenform:

$\left[\vec x -\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = 0$

Koordinatenform einer Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Koordinatenform einer Ebene kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Koordinatenform einer Ebene.

    Tipps

    Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

    $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

    Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{n}$ den Normalenvektor dar.

    Bei einer Punktprobe wird überprüft, ob ein bestimmter Punkt in der Ebene liegt oder nicht.

    Lösung

    Die Koordinatengleichung ist eine sehr kompakte Darstellungsform der Ebene. Durch sie ist die Ebene eindeutig definiert. Allgemein sieht die Koordinatenform einer Ebene wie folgt aus:

    $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$

    Wir können erkennen, dass die Koordinatenform ohne Vektoren auskommt.

    Wir vergleichen die Koordinatenform mit der Normalenform:

    • Koordinatenform: $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$
    • Normalenform: $E$: $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n}=0$

    Auf der linken Seite der Koordinatenform stehen die Koordinaten von dem Normalenvektor:

    $a=n_1 \quad b=n_2 \quad c=n_3$

    Auf der rechten Seite steht das Skalarprodukt von Stützvektor $\vec{p}$ und Normalenvektor $\vec{n}$:

    $d= \vec{p} \cdot \vec{n}$

    Mithilfe der Koordinatenform lassen sich beispielsweise Achsenschnittpunkte und Punktproben einfach berechnen.

  • Gib an, wie man die Parameterform in die Koordinatenform umwandelt.

    Tipps

    Führe die Umwandlung an einem Beispiel durch. Dadurch kannst du dir die einzelnen Schritte vergegenwärtigen.

    Du kannst den Normalenvektor, welchen du für die Normalenform brauchst, über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Parameterform bestimmen.

    Wenn du die Normalenform der Ebene aufgestellt hast, dann kannst du danach die linke Seite dieser Gleichung mithilfe des Skalarproduktes ausmultiplizieren.

    Lösung

    Eine Ebene können wir angeben in:

    1. Parameterform:

    Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:

    $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

    Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{u}$ und $\vec{v}$ stellen die Richtungsvektoren dar.

    2. Normalenform:

    Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

    $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

    Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{n}$ den Normalenvektor dar.

    3. Koordinatenform:

    Die Koordinatenform kommt ohne Vektoren aus. Sie sieht allgemein wie folgt aus:

    $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$


    Um die Gleichung einer Ebene in Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, wandeln wir sie erst in die Normalenform um und diese dann in die Koordinatenform.

    Wir betrachten das Vorgehen an einem Beispiel:

    $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

    Schritt 1: Normalenvektor bestimmen

    Wir können den Normalenvektor über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmen:

    $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6-2 \\ 0+9 \\ 6-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}$

    Schritt 2: Normalenform der Ebene aufstellen

    Wir verwenden den Stützvektor der Parameterform und den eben berechneten Normalenvektor und ermitteln:

    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} = 0$

    Schritt 3: Linke Seite der Gleichung ausmultiplizieren

    Dazu verwenden wir das Skalarprodukt. Wir erhalten im Beispiel:

    $-8x + 9y +6z - (-16 + 0 -6) = 0$

    Schritt 4: Gleichung umstellen

    Um die Gleichung in Koordinatenform zu ermitteln, rechnen wir zunächst die Klammer aus:

    $-8x + 9y +6z - 22=0$

    Wir bringen das Ergebnis auf die rechte Seite und erhalten die Ebenengleichung in Koordinatenform:

    $E$: $-8x+9y+6z = 22$

  • Leite die Eigenschaften der Ebene aus der Koordinatenform ab.

    Tipps

    Allgemein sieht die Koordinatenform einer Ebene wie folgt aus:

    $E$: $ax+by+cz=d$

    Du kannst die gegebenen Gleichungen durch Äquivalenzumformungen in diese Form bringen.

    $d=0 \quad \Rightarrow \quad$ Die Ebene verläuft durch den Ursprung.

    Lösung

    Allgemein sieht die Koordinatenform einer Ebene wie folgt aus:

    $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$

    Aus dieser Gleichung lassen sich in Spezialfällen bestimmte Eigenschaften der Ebene direkt ablesen. Es gilt:

    • $a=0 \quad \Rightarrow \quad$ Die Ebene verläuft parallel zur $x$-Achse.
    • $b=0 \quad \Rightarrow \quad$ Die Ebene verläuft parallel zur $y$-Achse.
    • $c=0 \quad \Rightarrow \quad$ Die Ebene verläuft parallel zur $z$-Achse.
    • $d=0 \quad \Rightarrow \quad$ Die Ebene verläuft durch den Ursprung.

    Bei den gegebenen Ebenen sind die Koordinatengleichungen nicht immer wie oben geordnet. Durch Äquivalenzumformungen können wir sie in diese Form bringen und so noch einfacher die Eigenschaften ablesen. Es ergeben sich folgende Zuordnungen:

    Ebenen parallel zur $\boldsymbol{x}$-Achse:

    • $E$: $5y-4+z=0 \quad \Leftrightarrow \quad E$: $5y+z=4$
    • $E$: $-y=z+1\quad \Leftrightarrow \quad E$: $-y-z=1$

    Ebene parallel zur $\boldsymbol{y}$-Achse:

    • $E$: $5x-8z=9$

    Ebenen parallel zur $\boldsymbol{z}$-Achse:

    • $E: x=3y-2\quad \Leftrightarrow \quad E$: $x-3y=-2$
    • $E: 10=x-y\quad \Leftrightarrow \quad E$: $x-y=10$

    Ebenen durch den Ursprung:
    $E: x+y=z\quad \Leftrightarrow \quad E$: $x+y-z=0$

  • Ermittle aus der Normalenform die Koordinatenform der Ebene.

    Tipps

    Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

    $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

    Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{n}$ den Normalenvektor dar.

    Die Koordinaten des Normalenvektors stehen vor den Variablen $x$, $y$ und $z$ in der Koordinatenform.

    Lösung

    Um die Gleichung einer Ebene aus der Normalenform in die Koordinatenform umzuwandeln, vergegenwärtigen wir uns zunächst noch einmal die beiden Formen:

    1. Normalenform:

    Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

    $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

    Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{n}$ den Normalenvektor dar.

    2. Die Koordinatenform:

    Die Koordinatenform kommt ohne Vektoren aus. Sie sieht allgemein wie folgt aus:

    $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$

    Um die Gleichung einer Ebene in Normalenform in die Koordinatenform umzuwandeln, multiplizieren wir die linke Seite der Normalenform mithilfe des Skalarproduktes aus und vereinfachen dann die erhaltene Gleichung. Allgemein sieht das so aus:

    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0$

    $n_1x + n_2y + n_3z - (p_1n_1 + p_2n_2 + p_3n_3) =0 \quad \Leftrightarrow \quad n_1x + n_2y + n_3z = p_1n_1 + p_2n_2 + p_3n_3$

    Wir können bereits erkennen, dass vor den Variablen $x$, $y$ und $z$ die Koordinaten des Normalenvektors stehen.


    Nun betrachten wir die Umwandlung an den konkreten Beispielen:

    Beispiel 1

    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = 0$

    $\begin{array}{llllll} \Rightarrow 2x& +4y & -2z &-(2+0-8) & = & 0 \\ \Leftrightarrow 2x& +4y & -2z &+6 & = & 0 &| -6\\ \Leftrightarrow 2x& +4y & -2z & & = & -6 \\ \end{array}$

    Beispiel 2

    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = 0$

    $\begin{array}{llllll} \Rightarrow 2x& & -4z &-(0+0+16) & = & 0 \\ \Leftrightarrow 2x& & -4z &-16 & = & 0 &| +16\\ \Leftrightarrow 2x& & -4z & & = & 16 \\ \end{array}$

    Beispiel 3

    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0$

    $\begin{array}{llllll} \Rightarrow 3x& +y & -z &-(6+4+2) & = & 0 \\ \Leftrightarrow 3x& +y & -z &-12 & = & 0 &| +12\\ \Leftrightarrow 3x& +y & -z & & = & 12 \\ \end{array}$

    Beispiel 4

    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ -5\\ -2 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = 0$

    $\begin{array}{llllll} \Rightarrow 2x& +4y & -2z &-(2-20+4) & = & 0 \\ \Leftrightarrow 2x& +4y & -2z &+14 & = & 0 &| -14\\ \Leftrightarrow 2x& +4y & -2z & & = & -14 \\ \end{array}$

  • Gib an, welche Ebenen in Koordinatenform vorliegen.

    Tipps

    Die Darstellung einer Ebene in Koordinatenform kommt ohne Vektoren aus.

    Beispiel:

    $E$: $x + 5y -3z=13$

    Diese Ebene liegt in Koordinatenform vor.

    Drei der gegebenen Ebenen liegen in Koordinatenform vor.

    Lösung

    Eine Ebene können wir angeben in:

    • Parameterform
    • Normalenform
    • Koordinatenform

    Parameterform

    Die allgemeine Ebenengleichung in Parameterform lautet:

    $E$: $\vec{x}=\vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

    Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{u}$ und $\vec{v}$ stellen die Richtungsvektoren dar.


    Normalenform

    Die allgemeine Ebenengleichung in Normalenform lautet:

    $E$: $(\vec{x} -\vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

    Dabei stellt $\vec{p}$ den Stützvektor und $\vec{n}$ den Normalenvektor dar.


    Koordinatenform

    Die Koordinatenform ist eine etwas andere Darstellung der Ebene und kommt ohne Vektoren aus. Sie sieht allgemein wie folgt aus:

    $E$: $ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$



    Wir betrachten die gegebenen Ebenen:


    $E$: $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \qquad(r, s \in \mathbb{R})$

    Diese Ebene liegt in Parameterform und nicht in Koordinatenform vor.


    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} -7 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = 0$

    Diese Ebene liegt in Normalenform und nicht in Koordinatenform vor.


    $E$: $3x + 2y -z=9$

    Diese Ebene liegt in Koordinatenform vor.


    $E$: $y -z=9$

    Auch wenn in dieser Gleichung die Variable $x$ nicht vorkommt, liegt diese Ebene in Koordinatenform vor. Der Koeffizient vor der Variable $x$ ist $0$.


    $E$: $\left( \vec{x} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$

    Diese Ebene liegt in Normalenform und nicht in Koordinatenform vor.


    $E$: $4x - 2y + 4=0$

    Diese Ebene liegt in Koordinatenform vor.

  • Berechne die fehlenden Koordinaten.

    Tipps

    Setze den Punkt in die Koordinatenform der Ebene ein und ergänze die fehlende Koordinate so, dass die Gleichung erfüllt ist.

    Beispiel:

    $E$: $2x - 3y + 2z = 2\qquad P(1 | {-}3 | n)$

    Wir setzen ein:

    $\begin{array}{lllll} 2 \cdot 1& - 3 \cdot (-3) & + 2 \cdot n & = & 13\\ 2 & + 9 & + 2 \cdot n &= & 13 \\ 11 & & + 2 \cdot n& = & 13 \end{array}$

    Hier können wir direkt erkennen, dass $n=1$ sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist. Der Punkt lautet also $P(1|{-}3|1)$.

    Lösung

    Mithilfe der Koordinatenform einer Ebene können wir mit der Punktprobe ermitteln, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt oder nicht:

    $E: ax+by+cz=d \qquad(a, b, c, d \in \mathbb{R})$

    Dazu setzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes für $x$, $y$ und $z$ ein und überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist ($\Rightarrow$ Punkt liegt auf der Ebene) oder nicht ($\Rightarrow$ Punkt liegt nicht auf der Ebene).

    Andersherum können wir so auch die fehlende Koordinate eines auf der Ebene liegenden Punktes ermitteln. Dazu setzen wir den Punkt wieder in die Koordinatenform ein und ergänzen die fehlende Koordinate so, dass die Gleichung erfüllt ist.


    Wir betrachten die gegebenen Beispiele und nennen die fehlende Koordinate dabei $n$:

    Beispiel 1

    $E$: $3x - 2y + z = 12\qquad P(2 | 1 | n)$

    Wir setzen ein:

    $\begin{array}{lllll} 3 \cdot 2& - 2 \cdot 1 & +~n & = & 12\\ 6 & -2 & +~n &= & 12 \\ 4 & & +~n& = & 12 \end{array}$

    Hier können wir direkt erkennen, dass $n=8$ sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist. Der Punkt lautet also $P(2|1|8)$.

    Beispiel 2

    $E$: $-2x + 2z = -6\qquad P(n | {-}7 | {-}2)$

    Wir setzen ein:

    $\begin{array}{lllll} -2 \cdot n& & + 2 \cdot (-2) & = & -6\\ -2 \cdot n & & -4 &= & -6 & |+4\\ -2 \cdot n & & &= &-2 & |: (-2)\\ n & & &= & 1 \end{array}$

    Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir $n=1$. Der Punkt lautet also $P(1|{-}7|{-}2)$.

    Beispiel 3

    $E$: $-x + 4y - 3z = 10 \qquad P(2 | n | {-}4)$

    Wir setzen ein:

    $\begin{array}{lllll} -2 & +4 \cdot n & -3 \cdot (-4) & = & 10\\ -2 & +4 \cdot n & +12 & = & 10\\ & 4 \cdot n &+10 & = & 10 & |-10\\ & 4 \cdot n & & = & 0 &|:4\\ &n & &= & 0 \end{array}$

    Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir $n=0$. Der Punkt lautet also $P(2|0|{-}4)$.