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Konstruktion des Umkreises

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André Otto
Konstruktion des Umkreises
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Konstruktion des Umkreises

Herzlich Willkommen zum 2. Teil der Videoreihe „ Der Umkreisradius “. Das vorliegende Video trägt den Untertitel „ Konstruktion des Umkreises “. Nachdem wir uns im 1. Teil der Reihe mit den Grundlagen des Mittelpunktes eines Umkreises eines Dreiecks befasst haben, wollen wir uns nun mit der Konstruktion des Umkreises beschäftigen. Was war die Kernaussage des vorherigen Videos? Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt seines Umkreisradius. Diese Aussage benutzen wir nun für die Konstruktion des Umkreises. Nutze die Gelegenheit und konstruiere die einzelnen Schritte im Video mit. Pausiere das Video, um Schritt für Schritt die Konstruktion zu tätigen. Viel Spaß!

Transkript Konstruktion des Umkreises

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video "Der Umkreisradius - Teil 2". Das Thema dieses Videos lautet: Konstruktion des Umkreises. Nachdem wir uns in Video 1 mit den Grundlagen des Mittelpunkts eines Umkreises eines Dreiecks befasst haben, wollen wir uns heute mit der Konstruktion dieses Umkreises beschäftigen. Was war die Kernaussage des Videos 1? Grundlagen: Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt seines Umkreisradius. Aufbauend auf diesen Satz wollen wir die Konstruktion ausführen. Zunächst werden die Eckpunkte des Dreiecks mit den Großbuchstaben A, B und C bezeichnet. Ich möchte zunächst die Konstruktion andeuten, damit sie in ihrem Verlauf auch verständlicher wird. Hier zeige ich die Mittelsenkrechte zur Dreiecksseite AB. Das hier ist die Mittelsenkrechte zur Dreiecksseite BC. Und hier schließlich zeige ich die Mittelsenkrechte zur Dreiecksseite AC. Die Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten sind Geraden, die diese Geraden beim Schnitt halbieren. Wir starten die Konstruktion mit der Konstruktion der Mittelsenkrechten. Zunächst konstruieren wir die Mittelsenkrechte zur Seite AB. Zunächst schlagen wir um A und B Kreisbögen mit gleichen Radien. Das ist der Kreisbogen um den Punkt A. Das ist der Kreisbogen um den Punkt B. Die beiden Kreisbögen schneiden sich in zwei Punkten. Bei wem das nicht der Fall ist, der muss die Radien vergrößern. Nun verbinden wir beide Schnittpunkte der Kreisbögen miteinander. Die gleiche Konstruktion führen wir für die Dreiecksseite CA aus. Zunächst schlagen wir um C und A Kreisbögen mit gleichen Radien. Das hier ist der Kreisbogen um C. Dies ist der Kreisbogen um A. Wir verbinden nun beide Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Aus den beiden Konstruktionen erhalten wir die Geraden g und h. Damit ist auch der 2. Teil der Konstruktion vollendet. Der Schnittpunkt aus den Geraden g und h ergibt den Punkt M. M ist der Mittelpunkt des Umkreises. Laut Video 1 ("Grundlagen") wissen wir, dass die Strecken MA, MB und MC gleich lang sind. Ihre Länge ist gleich der Länge des Radius des Umkreises des Dreiecks. Damit haben wir den 4. Konstruktionsschritt vollzogen. Ich trage nun drei mögliche Radien in das Dreieck ein, nämlich MA, MB und MC. Der 5. und abschließende Konstruktionsschritt besteht darin, dass wir um M einen Kreis mit dem Radius r schlagen. Wir könnten zum Beispiel MA abtragen. Und da ist er. Damit ist das Ende der Konstruktion erreicht. So, ich wünsche allen viel Erfolg und Gesundheit. Bis zum nächsten Mal! Tschüss!

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. war gut danke

    Von Itslearning Nutzer 2535 30323, vor fast 2 Jahren
  2. Sehr gutes Video hat sehr geholfen

    Von Marc Luca S., vor fast 3 Jahren
  3. sehr gutes Video könntest du vielleicht das B nicht wie ein P auszusprechen hat mich nämlich einmal ganz schön verwirrt. :)

    Von Kruggels, vor fast 3 Jahren
  4. Super Video, hat mir sehr geholfen. Vielen Dank!

    Von Isabelle S., vor etwa 3 Jahren
  5. bestimmt wird meine auch gut
    (x0x)

    Von Alessio Ciro, vor mehr als 3 Jahren
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Konstruktion des Umkreises Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Konstruktion des Umkreises kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere das allgemeine Vorgehen zur Konstruktion eines Umkreises eines Dreiecks.

    Tipps

    Hier siehst du die Konstruktion der Mittelsenkrechten für die Strecke $\overline{AB}$.

    Du benötigst noch eine weitere Mittelsenkrechte.

    Der Mittelpunkt des Umkreises hat zu jeder Ecke des Dreiecks den gleichen Abstand. Dieser Abstand ist der Radius des Inkreises.

    Lösung

    In diesem Bild siehst du die beiden Mittelsenkrechten der Seiten $\overline{AB}$ sowie $\overline{AC}$.

    Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt $M$ des Umkreises. Also musst du zunächst diese beiden Mittelsenkrechten konstruieren.

    Der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks den gleichen Abstand. Dies ist der Radius $r$ des Umkreises.

    Du trägst also als Zirkelspanne diesen Abstand ab und zeichnest einen Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit dem Radius $r$.

    Fertig ist der Umkreis.

  • Beschreibe die Konstruktion einer Mittelsenkrechten.

    Tipps

    Jeder Punkt der Mittelsenkrechten hat zu jedem Eckpunkt der Strecke den gleichen Abstand.

    Alle Punkte auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt, nämlich $r$.

    Lösung

    Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.

    Was ist eine Mittelsenkrechte?

    Eine Mittelsenkrechte einer Strecke ist diejenige Gerade, welche diese Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet. Das bedeutet, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den jeweils gleichen Abstand zu den Endpunkten der Strecke hat.

    Eine solche Mittelsenkrechte konstruierst du wie folgt:

    1. Zeichne einen Kreis, dessen Radius größer ist als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$, um den Punkt $A$.
    2. Zeichne einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius um $B$.
    3. Verbinde nun die Schnittpunkte der beiden Kreise miteinander.
    4. Die so erhaltene Gerade ist die Mittelsenkrechte.
    Ebenso kannst du zu einer der beiden anderen Seiten ebenfalls die Mittelsenkrechte konstruieren.

  • Skizziere die Konstruktion des Umkreises des Dreiecks $\Delta ABC$.

    Tipps

    Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten.

    Der Radius des Umkreises ist der Abstand des Mittelpunktes zu einer (egal welcher!) Ecke des Dreiecks.

    Lösung

    Um den Umkreis eines Dreiecks zu konstruieren, gehst du wie folgt vor:

    • Zunächst zeichnest du zwei Mittelsenkrechten ein.
    • Der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt $M$ des Umkreises.
    • Nun kannst du den Abstand des Mittelpunktes zu einem der Eckpunkte (hier $A$) messen. Dies ist der Radius $r$.
    • Zuletzt zeichnest du einen Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit dem Radius $r$.
    So gelangst du zu dem Umkreis.

  • Weise nach, dass die Konstruktion mit Hilfe zweier Kreise tatsächlich zu der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ führt.

    Tipps

    Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß.

    Wenn zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten sowie dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind die Dreiecke kongruent. Das bedeutet, sie sind deckungsgleich.

    In zwei kongruenten Dreiecken stimmen auch

    • alle Seiten und
    • alle Winkel überein.
    Allerdings gilt nicht, dass zwei Dreiecke, die in ihren drei Winkeln übereinstimmen, kongruent sind. Solche Dreiecke sind „nur“ ähnlich.

    Lösung

    Das Dreieck $\Delta ABP$ mit der Basis $\overline{AB}$ und den beiden Schenkeln $\overline{AP}$ sowie $\overline{BP}$ ist gleichseitig. Das erkennen wir daran, dass der Radius der beiden Kreise ebenso lang ist wie die Länge der Seite $\overline{AB}$. Das bedeutet zusammengefasst:

    • Alle Seiten sind gleich lang.
    • Alle Winkel sind gleich groß: nämlich $60^\circ$.
    Die beiden Dreiecke $\Delta APR$ sowie $\Delta BPR$ sind kongruent, da sie in allen drei Seiten übereinstimmen. Daraus folgt insbesondere, dass die Winkel $\angle BPQ$ sowie $\angle APQ$ gleich groß sind. Da diese beiden Winkel zusammen $60^\circ$ ergeben, muss jeder Einzelwinkel $30^\circ$ betragen.

    Schauen wir uns nun das Dreieck $\Delta BPQ$ an:

    Da der Winkel $\angle QBP=60^\circ$ beträgt und der Winkel $\angle BPQ=30^\circ$, muss der Winkel $\angle BQP=90^\circ$, also ein rechter Winkel, sein.

    Zuletzt kann man anhand der Beobachtungen

    • $\overline{PQ}=\overline{PQ}$,
    • $\overline{AP}=\overline{BP}$ sowie
    • $\angle AQP=\angle BQP=90^\circ$
    folgern, dass die beiden Dreiecke $\Delta APQ$ sowie $\Delta BPQ$ kongruent sind. Schließlich folgt daraus, dass $\overline{AQ}=\overline{BQ}$ ist.

    Also schneidet die Gerade durch die Punkte $P$ sowie $R$ die Strecke $\overline{AB}$ genau in deren Mitte im rechten Winkel und ist somit die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

  • Gib an, wie der Mittelpunkt des Umkreises bestimmt wird.

    Tipps

    Der Mittelpunkt des Umkreises hat zu jeder Ecke des Dreiecks den gleichen Abstand.

    Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu der Strecke $\overline{AB}$ hat den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$.

    Übrigens: Auch die Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, nämlich dem Mittelpunkt des Inkreises.

    Lösung

    Die beiden gestrichelten Geraden schneiden sich in dem Mittelpunkt $M$ des Umkreises des Dreiecks $\Delta ABC$. Diese Geraden sind Mittelsenkrechten.

    Dieser Mittelpunkt hat den gleichen Abstand zu jeder Ecke des Dreiecks.

    Wenn du beispielsweise die Mittelsenkrechte zu der Strecke $\overline{AB}$ betrachtest, kannst du feststellen, dass jeder Punkt auf dieser Geraden den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$ hat.

    Somit hat der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu jedem der drei Eckpunkte. Es genügen auch bereits zwei Mittelsenkrechten zur Bestimmung dieses Schnittpunktes.

    Das bedeutet, dass der Schnittpunkt der drei oder zwei Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises ist.

    Übrigens schneiden sich auch die Winkelhalbierenden in einem Punkt, nämlich dem Mittelpunkt des Inkreises.

  • Untersuche die Mittelsenkrechten in einem gleichseitigen Dreieck.

    Tipps

    Jeder Punkt auf einer Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu jedem Eckpunkt der Strecke den gleichen Abstand. Das bedeutet, dass der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises ist.

    Beachte, dass jeder Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu jedem der beiden Schenkel, die den zu halbierenden Winkel einschließen, den gleichen Abstand hat. Das bedeutet, dass der Schnittpunkt zweier Winkelhalbierender der Mittelpunkt des Inkreises ist.

    Der Winkelsummensatz besagt, dass in jedem Dreieck die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.

    Hier kannst du die Mittelsenkrechten sowie den Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks sehen.

    Lösung

    Hier kannst du die Mittelsenkrechten sowie den Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks sehen. Was ist das Besondere daran?

    Schauen wir uns einmal die Grundseite $a=\overline{AB}$ an und deren Mittelsenkrechte. Durch diese wird das Dreieck $\Delta ABC$ in zwei Dreiecke geteilt.

    Wir untersuchen nun das rechte der beiden Dreiecke. Der Winkel bei $B$ beträgt $60^\circ$. Da die Mittelsenkrechte die Strecke im rechten Winkel schneidet, muss der Winkel bei $C$ gerade $180^\circ-(90^\circ+60^\circ)=30^\circ$ betragen.

    Somit halbiert die Mittelsenkrechte auch den gegenüberliegenden Winkel und ist damit eine Winkelhalbierende.

    Sie ist darüber hinaus auch noch eine Seitenhalbierende.

    Somit ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der Mittelpunkt des Umkreises, gleichzeitig der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, also der Mittelpunkt des Inkreises.

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