Konstruktion des Umkreises

Konstruktion des Umkreises Übung

• Schildere das allgemeine Vorgehen zur Konstruktion eines Umkreises eines Dreiecks.

  Tipps

  Hier siehst du die Konstruktion der Mittelsenkrechten für die Strecke $\overline{AB}$.

  Du benötigst noch eine weitere Mittelsenkrechte.

  Der Mittelpunkt des Umkreises hat zu jeder Ecke des Dreiecks den gleichen Abstand. Dieser Abstand ist der Radius des Inkreises.

  Lösung

  In diesem Bild siehst du die beiden Mittelsenkrechten der Seiten $\overline{AB}$ sowie $\overline{AC}$.

  Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt $M$ des Umkreises. Also musst du zunächst diese beiden Mittelsenkrechten konstruieren.

  Der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten hat zu jedem Eckpunkt des Dreiecks den gleichen Abstand. Dies ist der Radius $r$ des Umkreises.

  Du trägst also als Zirkelspanne diesen Abstand ab und zeichnest einen Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit dem Radius $r$.

  Fertig ist der Umkreis.

• Beschreibe die Konstruktion einer Mittelsenkrechten.

  Tipps

  Jeder Punkt der Mittelsenkrechten hat zu jedem Eckpunkt der Strecke den gleichen Abstand.

  Alle Punkte auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt, nämlich $r$.

  Lösung

  Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.

  Was ist eine Mittelsenkrechte?

  Eine Mittelsenkrechte einer Strecke ist diejenige Gerade, welche diese Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet. Das bedeutet, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten den jeweils gleichen Abstand zu den Endpunkten der Strecke hat.

  Eine solche Mittelsenkrechte konstruierst du wie folgt:

  1. Zeichne einen Kreis, dessen Radius größer ist als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$, um den Punkt $A$.
  2. Zeichne einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius um $B$.
  3. Verbinde nun die Schnittpunkte der beiden Kreise miteinander.
  4. Die so erhaltene Gerade ist die Mittelsenkrechte.

  Ebenso kannst du zu einer der beiden anderen Seiten ebenfalls die Mittelsenkrechte konstruieren.

• Skizziere die Konstruktion des Umkreises des Dreiecks $\Delta ABC$.

  Tipps

  Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten.

  Der Radius des Umkreises ist der Abstand des Mittelpunktes zu einer (egal welcher!) Ecke des Dreiecks.

  Lösung

  Um den Umkreis eines Dreiecks zu konstruieren, gehst du wie folgt vor:

  • Zunächst zeichnest du zwei Mittelsenkrechten ein.
  • Der Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt $M$ des Umkreises.
  • Nun kannst du den Abstand des Mittelpunktes zu einem der Eckpunkte (hier $A$) messen. Dies ist der Radius $r$.
  • Zuletzt zeichnest du einen Kreis um den Mittelpunkt $M$ mit dem Radius $r$.

  So gelangst du zu dem Umkreis.

• Weise nach, dass die Konstruktion mit Hilfe zweier Kreise tatsächlich zu der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ führt.

  Tipps

  Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß.

  Wenn zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten sowie dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind die Dreiecke kongruent. Das bedeutet, sie sind deckungsgleich.

  In zwei kongruenten Dreiecken stimmen auch

  • alle Seiten und
  • alle Winkel überein.

  Allerdings gilt nicht, dass zwei Dreiecke, die in ihren drei Winkeln übereinstimmen, kongruent sind. Solche Dreiecke sind „nur“ ähnlich.

  Lösung

  Das Dreieck $\Delta ABP$ mit der Basis $\overline{AB}$ und den beiden Schenkeln $\overline{AP}$ sowie $\overline{BP}$ ist gleichseitig. Das erkennen wir daran, dass der Radius der beiden Kreise ebenso lang ist wie die Länge der Seite $\overline{AB}$. Das bedeutet zusammengefasst:

  • Alle Seiten sind gleich lang.
  • Alle Winkel sind gleich groß: nämlich $60^\circ$.

  Die beiden Dreiecke $\Delta APR$ sowie $\Delta BPR$ sind kongruent, da sie in allen drei Seiten übereinstimmen. Daraus folgt insbesondere, dass die Winkel $\angle BPQ$ sowie $\angle APQ$ gleich groß sind. Da diese beiden Winkel zusammen $60^\circ$ ergeben, muss jeder Einzelwinkel $30^\circ$ betragen.

  Schauen wir uns nun das Dreieck $\Delta BPQ$ an:

  Da der Winkel $\angle QBP=60^\circ$ beträgt und der Winkel $\angle BPQ=30^\circ$, muss der Winkel $\angle BQP=90^\circ$, also ein rechter Winkel, sein.

  Zuletzt kann man anhand der Beobachtungen

  • $\overline{PQ}=\overline{PQ}$,
  • $\overline{AP}=\overline{BP}$ sowie
  • $\angle AQP=\angle BQP=90^\circ$

  folgern, dass die beiden Dreiecke $\Delta APQ$ sowie $\Delta BPQ$ kongruent sind. Schließlich folgt daraus, dass $\overline{AQ}=\overline{BQ}$ ist.

  Also schneidet die Gerade durch die Punkte $P$ sowie $R$ die Strecke $\overline{AB}$ genau in deren Mitte im rechten Winkel und ist somit die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.

• Gib an, wie der Mittelpunkt des Umkreises bestimmt wird.

  Tipps

  Der Mittelpunkt des Umkreises hat zu jeder Ecke des Dreiecks den gleichen Abstand.

  Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu der Strecke $\overline{AB}$ hat den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$.

  Übrigens: Auch die Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, nämlich dem Mittelpunkt des Inkreises.

  Lösung

  Die beiden gestrichelten Geraden schneiden sich in dem Mittelpunkt $M$ des Umkreises des Dreiecks $\Delta ABC$. Diese Geraden sind Mittelsenkrechten.

  Dieser Mittelpunkt hat den gleichen Abstand zu jeder Ecke des Dreiecks.

  Wenn du beispielsweise die Mittelsenkrechte zu der Strecke $\overline{AB}$ betrachtest, kannst du feststellen, dass jeder Punkt auf dieser Geraden den gleichen Abstand sowohl zu $A$ als auch zu $B$ hat.

  Somit hat der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu jedem der drei Eckpunkte. Es genügen auch bereits zwei Mittelsenkrechten zur Bestimmung dieses Schnittpunktes.

  Das bedeutet, dass der Schnittpunkt der drei oder zwei Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises ist.

  Übrigens schneiden sich auch die Winkelhalbierenden in einem Punkt, nämlich dem Mittelpunkt des Inkreises.

• Untersuche die Mittelsenkrechten in einem gleichseitigen Dreieck.

  Tipps

  Jeder Punkt auf einer Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu jedem Eckpunkt der Strecke den gleichen Abstand. Das bedeutet, dass der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises ist.

  Beachte, dass jeder Punkt auf einer Winkelhalbierenden zu jedem der beiden Schenkel, die den zu halbierenden Winkel einschließen, den gleichen Abstand hat. Das bedeutet, dass der Schnittpunkt zweier Winkelhalbierender der Mittelpunkt des Inkreises ist.

  Der Winkelsummensatz besagt, dass in jedem Dreieck die Summe der drei Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.

  Hier kannst du die Mittelsenkrechten sowie den Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks sehen.

  Lösung

  Hier kannst du die Mittelsenkrechten sowie den Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks sehen. Was ist das Besondere daran?

  Schauen wir uns einmal die Grundseite $a=\overline{AB}$ an und deren Mittelsenkrechte. Durch diese wird das Dreieck $\Delta ABC$ in zwei Dreiecke geteilt.

  Wir untersuchen nun das rechte der beiden Dreiecke. Der Winkel bei $B$ beträgt $60^\circ$. Da die Mittelsenkrechte die Strecke im rechten Winkel schneidet, muss der Winkel bei $C$ gerade $180^\circ-(90^\circ+60^\circ)=30^\circ$ betragen.

  Somit halbiert die Mittelsenkrechte auch den gegenüberliegenden Winkel und ist damit eine Winkelhalbierende.

  Sie ist darüber hinaus auch noch eine Seitenhalbierende.

  Somit ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der Mittelpunkt des Umkreises, gleichzeitig der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, also der Mittelpunkt des Inkreises.