Integration durch Substitution

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Die Kettenregel der Differentiation
  • Was ist eine verkettete Funktion?
• Integration durch Substitution
• Beispielrechnungen
  • Exponentialfunktion mit linearer innerer Funktion
  • Trigonometrische Funktionen mit linearer innerer Funktion
  • Exponentialfunktionen
  • Rückwärtssubstitution

Die Kettenregel der Differentiation

Die Kettenregel ist eine Ableitungsregel. Wie der Name vermuten lässt, benötigst du diese Regel zum Ableiten von verketteten Funktionen.

Was ist eine verkettete Funktion?

• Bei einer verketteten Funktion $s(x)=F(g(x))$ wird zunächst auf die Variable $x$ die Funktion $g(x)$ angewendet. Diese wird als innere Funktion bezeichnet.
• Auf diese Funktion wird eine weitere Funktion $F(g)$ angewendet. Man nennt diese Funktion die äußere Funktion.

Die Kettenregel zur Ableitung der Funktion $s(x)=F(g(x))$ lautet dann:

$s'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)$.

Dabei ist

• $F'(g(x))$ die Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion und
• $g'(x)$ die Ableitung der inneren Funktion.

Sei nun $F(x)$ eine Stammfunktion zu $f(x)$, dann ist $F'(x)=f(x)$ und es gilt somit:

$s'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)$.

Integration durch Substitution

Was versteht man unter Integration durch Substitution? Schauen wir uns nun die Kettenregel der Differentiation an. Auf beiden Seiten steht eine Funktion. Diese beiden Funktionen stimmen überein. Dann gilt dies bestimmt auch für das jeweilige unbestimmte Integral:

$\int~s'(x)~dx=\int~(f(g(x))\cdot g'(x))~dx$.

Da die Integration und die Differentiation sich umkehren, gilt $\int~s'(x)~dx=s(x)=F(g(x))$ und damit auch

$\int~(f(g(x))\cdot g'(x))~dx=F(g(x))$.

Es wurden zusätzlich noch die Seiten der Gleichung vertauscht. Dies ist die Substitutionsregel:

Wenn du eine Funktion, die sich als Produkt schreiben lässt, integrieren möchtest, bei welcher der eine Faktor eine verkette Funktion ist und der andere die Ableitung der inneren Funktion der verketteten Funktion, dann ist eine Stammfunktion gegeben durch die Stammfunktion der äußeren Funktion an der inneren Funktion.

Da das nun sehr kompliziert erscheint, schauen wir uns ein erstes Beispiel an.

Es soll das unbestimmte Integral $\int~(x^2+1)^4\cdot 2x~dx$ berechnet werden. Die Bedingungen für die Substitutionsregel sind erfüllt:

• $g(x)=x^2+1$ und $g'(x)=2x$ sowie
• $f(g)=g^4$ mit $F(g)=\frac15 g^5$.

Nun kannst du die Substitutionsregel der Integration anwenden:

$\int~(x^2+1)^4\cdot 2x~dx=\frac15(x^2+1)^5+c$.

Dabei ist $c$ die sogenannte Integrationskonstante.

Du kannst durch Differenzieren überprüfen, ob du richtig gerechnet hast. Dabei verwendest du die Kettenregel.

Beispielrechnungen

Exponentialfunktion mit linearer innerer Funktion

Ein Spezialfall der Substitutionsregel ist die lineare Substitution. Schauen wir uns das einmal an:

$\int~f(ax+b)~dx=\frac1a\cdot F(ax+b)$,

wobei $a\neq 0$ und $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

Somit ist $\int~e^{-0,5x+3}~dx=\frac1{-0,5}\cdot e^{-0,5x+3}+c=-2\cdot e^{-0,5x+3}+c$.

Trigonometrische Funktionen mit linearer innerer Funktion

So kannst du auch trigonometrische Funktionen integrieren:

$\int~\sin(3x-1)~dx=\frac1{3}\cdot (-\cos(3x-1))+c=-\frac13\cdot \cos(3x-1)+c$.

Exponentialfunktionen

Es soll das unbestimmte Integral

$\int~2x\cdot e^{x^2}~dx$

berechnet werden. Du siehst, dass die Ableitung der inneren Funktion $g(x)=x^2$, also $g'(x)=2x$, als Faktor vorkommt. Nun gehst du wie folgt vor:

• Du substituierst, also ersetzt, $x^2=z$.
• Damit ist die erste Ableitung $\frac{dz}{dx}=2x$ und damit $dz=2x~dx$.
• Nun kannst du das obige Integral umschreiben zu $\int~e^z~dz=e^z+c$.
• Zuletzt musst du resubstituieren, also ersetze wieder $z=x^2$. So erhältst du $\int~2x\cdot e^{x^2}~dx=e^{x^2}+c$.

Rückwärtssubstitution

In jedem der bisherigen Beispiel wird die innere Funktion durch $z$ ersetzt und dann bezüglich der Integrationsvariable $z$ integriert. Du kannst die Substiutionsregel auch rückwärts anwenden. Wie dies geht, siehst du an einem Beispiel. Es soll das Integral $\int \frac{x}{\sqrt{1-x}}~dx$ berechnet werden.

• Wenn du $z^2=1-x$ substituierst (äquivalent dazu: $x=1-z^2$), erhältst du $1-x=1-(1-z^2)=z^2$.
• Es ist $\frac{dx}{dz}=-2z$, also $dx=-2z~dz$.
• Nun kannst du ersetzen zu $\int \frac{x}{\sqrt{1-x}}~dx=\int~\frac{1-z^2}{\sqrt{z^2}}\cdot (-2z)~dz$.

Der zu integrierende Term kann noch weiter umgeformt werden:

$\int~\frac{1-z^2}{\sqrt{z^2}}\cdot (-2z)~dz=\int~\frac{1-z^2}{z}\cdot (-2z)~dz=-2\int~(1-z^2)~dz$.

Nun kannst du mit Hilfe der Potenzregel der Integration integrieren:

$-2\int~(1-z^2)~dz=-2\cdot \left(z-\frac13z^3\right)+c$.

Zuletzt musst du wieder resubstituieren: $z=\sqrt{1-x}$. So erhältst du schließlich:

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x}}~dx=-2\cdot \left(\sqrt{1-x}-\frac13\sqrt{1-x}^3\right)+c$.