Integration durch Substitution und lineare Substitution – Einführung

Hallo! In diesem Video seht ihr ein paar einführende Beispiele zur Integration durch Substitution und dann seht ihr noch, was lineare Substitution ist. Vom Ableiten kennt ihr schon die Kettenregel für verknüpfte Funktionen, und beim Integrieren entspricht dem die Substitutionsregel. Deswegen rollen wir das Ganze mal von hinten auf. Wir nehmen uns eine verknüpfte Funktion und leiten die ab. Und dann muss ja das Integral der abgeleiteten Funktion unsere ursprüngliche Funktion sein. Wir haben also bei unserem Integranden eine innere Funktion, die nenne ich mal u(x), das ist hier x², und dann haben wir dann noch den Term 2x, das ist die Ableitung von u. Und bei der Stammfunktion haben wir auch die innere Funktion u(x). Und die Strategie bei der Substitutionsregel ist eben jetzt, solche Terme zu finden, die man als innere Funktion interpretieren kann, und deren Ableitung auch noch als Faktor mitten in dem Integral steht, so wie hier die 2x. Und diese Terme, das wäre dann hier das x², die substituieren wir. Wir schreiben also u(x)=x² und formen dann das Integral ein bisschen um. Als Beispiel nehmen wir jetzt mal ∫x×e^(1/3)x2dx. Hier substituieren wir u(x)=(1/3)x² aus 2 Gründen. 1. ist die Ableitung davon ein linearer Term und ein linearer Term steht als Faktor mit im Integral. Und 2. würden wir ja bei der Substitution (e^u)du herauskriegen. Und das können wir ganz einfach integrieren, weil wir die Stammfunktion von e schon kennen. Wenn man die Substitution aufgeschrieben hat, dann leitet man sie erstmal ab. Also u'(x)=(2/3)x. Das schreibt man dann als du/dx, das ist die Differenzialschreibweise der Ableitung und das stellt man dann nach dx um. Das geht mit elementaren Umformungen und da ergibt sich dx=(3/(2x))×du. Und warum man das macht, das sehen wir gleich noch. Jetzt setzt man nämlich alles in seinen Anfangsintegral ein, also ∫x×e^u, denn das ist ja genau unsere Substitution, und dann kommt normalerweise dx, das müssen wir jetzt aber ersetzen durch den Term, den wir beim Umstellen nach dx herausbekommen haben. Also durch (3/(2x))×du. Denn, wenn ich nach einer anderen Variable integriere, brauche ich auch deren Differenzial, und deswegen haben wir auch beim Umstellen die beiden Differenziale gegeneinander ausgetauscht, sozusagen. Jetzt sehen wir auch, dass wir richtig substituiert haben, denn die beiden x kürzen sich weg, denn in einem Term, der nach u integriert wird, dürfen eigentlich keine anderen Variablen nicht mehr drin vorkommen. Das ergibt jetzt ∫(3/2)(e^u)du. Das Integral lässt sich einfach berechnen. Das ist (3/2)e^u, das wäre also schon der nächste Schritt, ausrechnen. Und der letzte Schritt ist dann das Zurücksubstituieren. Das heißt, für u setze ich wieder (1/3)x² ein. Ja, dann noch die Integrationskonstante und wir sind schon fertig. Jetzt nehmen wir ein anderes Beispiel und gehen die Schritte alle noch mal durch. ∫sin(2x)dx. Da gibt es nur diese eine innere Funktion. Also ist die Substitution u(x)=2x. u'(x)=2=du/dx, und damit ist dx=du/2. Dann haben wir erst mal ∫sin u, und dx wird ja ersetzt durch du/2, ist also ∫(1/2)sin udu. Den Faktor 1/2 ziehen wir raus, und die Stammfunktion von Sinus ist minus Cosinus. Und in den Term setzen wir jetzt noch für u=2x ein und dann sind wir schon fertig. Wir können auch noch mal eine Probe machen. f(x) wäre also -(1/2)cos(2x), dann ist die Ableitung -1/2×(-sin(2x))× die innere Ableitung 2. Dann kürzen sich die 2 gegeneinander und die Minuszeichen heben sich auf und wir erhalten tatsächlich sin 2x. Was hier an der Gestalt auffällt, ist folgendes: Wir haben hier unten die Stammfunktion von der äußeren Funktion aus dem Integral mit dem gleichen Argument, und dann wird noch durch 2 geteilt. Und das ist genau die Ableitung von der inneren Funktion. Und genau diese Gestalt liegt immer vor, wenn die innere Funktion linear ist. Beim Ableiten einer Verknüpfung, bei der die innere Funktion linear ist, wird mit der inneren Ableitung multipliziert. Beispielsweise wird aus -cos(2x) beim Ableiten sin(2x)×2. Beim Integrieren einer Verknüpfung mit einer linearen inneren Funktion teilen wir durch die innere Ableitung. Das heißt, aus sin(2x) wird beim Integrieren die Stammfunktion, also (-cos(2x))/2. Und diese Regel heißt Lineare Substitution. Wenn ich also von der äußeren Funktion die Stammfunktion kenne und die innere Funktion ist linear, dann ist die Stammfunktion von dem Ganzen die Stammfunktion von der äußeren Funktion mit der inneren Funktion als Argument geteilt durch die innere Ableitung. Das geht aber wirklich nur, wenn die innere Funktion linear ist. Aber wahrscheinlich hab ich das gerade nur viel zu kompliziert ausgedrückt. Wir machen mal ein paar Beispiele und dann seht ihr, dass das gar nicht so schwer ist. ∫(e^4x)dx=, da ist die äußere Funktion die e-Funktion, die hat sich selbst als Stammfunktion, und die Ableitung von 4x ist 4, also teilen wir durch 4. Der Funktion hier sieht man vielleicht gar nicht so richtig an, dass sie eine Verkettung ist. Die äußere Funktion ist eine Quadratfunktion und die Stammfunktion von der Quadratfunktion ist 1/3×Argument³. Das heißt, ich nehme also das Argument, die Klammer, hoch 3, und davon 1/3, und dann teile ich noch durch 3, weil das die innere Ableitung ist. O. k., das war´s dann erst mal und ich wünsche euch noch viel Spaß beim kreativen Rumprobieren mit Integralen.