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Lineare Substitution – Exponentialfunktionen

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Die Autor*innen
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Frank Steiger
Lineare Substitution – Exponentialfunktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Lineare Substitution – Exponentialfunktionen

Du kennst bereits den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden und damit Flächeninhalte berechnen? Dann weißt du ja sicher auch, dass ein wesentlicher Punkt dabei ist, eine Stammfunktion der Funktion zu finden. Da gibt es verschiedene Regeln und hier lernst du nun eine weitere kennen: die lineare Substitution. Diese kannst du verwenden, wenn du eine verkettete Funktion mit einer linearen Funktion als innerer Funktion integrieren möchtest. In unserem Beispiel ist die äußere Funktion eine Exponentialfunktion. Viel Spaß wünscht dir Frank.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. e ist die eulersche Zahl.
    e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 …
    Diese findest du auf dem Taschenrechner, z.B. durch "shift ln 1"
    Ich hoffe, ich konnte Dir helfen.

    Von Frank Steiger, vor fast 7 Jahren
  2. Voll komisch, dass mit e gerechnet werden kann, obwohl man das nichtmal kennt

    Von Jaqu J, vor fast 7 Jahren

Lineare Substitution – Exponentialfunktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Substitution – Exponentialfunktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die lineare Substitutionsregel der Integration an.

    Tipps

    Du kannst $F(ax+b)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

    Multipliziere auf beiden Seiten mit $a$ und integriere dann.

    Beachte

    $\int~F'(x)~dx=F(x)$.

    Lösung

    Um Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion zu integrieren, benötigt man die lineare Substitutionsregel der Integration.

    $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

    Dabei ist $F$ Stammfunktion von $f$, das heißt $F'(x)=f(x)$.

    Man muss also eine Stammfunktion von $f$ kennen. Diese wird an der inneren Funktion betrachtet und multipliziert mit dem Reziproken der Ableitung der inneren Funktion, also dem Faktor vor dem $x$: Dies ist hier $\frac1{a}$.

  • Bestimme die Stammfunktion der gegebenen Funktion.

    Tipps

    Verwende die lineare Substitution der Integration.

    Bei komplizierteren Funktionen kann man innere und äußere Funktionen unterscheiden; diese sind dann verkettet.

    Die innere Funktion erkennst du daran, dass diese vor der äußeren die Variable $x$ beeinflusst. Bei dem hier abgebildeten Beispiel ist $x + 2$ die innere und $x^2$ die äußere Funktion.

    Geht es um die lineare Substitutionsregel, so muss die innere Funktion auch eine lineare Funktion sein.

    Die Ableitung einer linearen Funktion ist der Faktor vor dem $x$.

    Ein Witz: Ein paar Funktionen feiern ein Fest. Alle haben riesig Spaß; nur die e-Funktion sitzt in der Ecke und langweilt sich.

    Eine quadratische Funktion versucht sie ein wenig aufzuheitern und sagt: „Versuch' dich doch mal zu integrieren!“

    „Bringt ja auch nichts“, sagt die e-Funktion.

    Lösung

    Um die Stammfunktion dieser Funktion zu bestimmen, macht man sich zunächst klar, was die innere und was die äußere Funktion ist.

    • Die innere Funktion ist $2x-3$ und deren Ableitung ist $2$, der Faktor vor dem $x$.
    • Die äußere Funktion ist $e^x$ und deren Stammfunktion ist $e^x+c$.
    Nun kann die lineare Substitutionsregel der Integration angewendet werden:

    $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

    Dabei ist $F$ Stammfunktion von $f$, das heißt $F'(x)=f(x)$.

    Somit ist

    $G(x)=\frac12\cdot e^{2x-3}+c$

    die Stammfunktion von $g(x)$. $c$ ist die sogenannte Integrationskonstante.

  • Ermittle eine allgemeine Formel zur Bestimmung der Stammfunktion einer Exponentialfunktion $f(x)=e^{ax+b}$ mit linearer innerer Funktion.

    Tipps

    Der Faktor vor dem $x$ taucht reziprok als Faktor in der Stammfunktion auf.

    Der reziproke Wert zu $x$ ist $\frac1x$. Allgemein ist das Produkt einer Zahl und seines Reziproken $1$: $x \cdot \frac1x=1$

    Leite die jeweilige Stammfunktion zur Kontrolle ab. Du musst dann wieder zu $f(x)$ kommen.

    Beachte, dass sowohl beim Differenzieren als auch beim Integrieren der Exponentialterm erhalten bleibt.

    Verwende die lineare Substitutionsregel der Integration:

    $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

    Lösung

    Um eine Exponentialfunktion

    $f(x)=e^{ax+b}$

    mit linearer innerer Funktion zu integrieren, ist es sinnvoll, eine Integrationsregel für diese Funktionsklasse anzugeben.

    Dabei kann die lineare Substitutionsregel verwendet werden:

    $\int~f(ax+b)~dx=\frac 1a \cdot F(ax+b)$.

    Hier ist $f(x)=e^x$ und $F(x)=e^x+c$.

    Damit erhält man die nebenstehende Formel für die Stammfunktion von Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion.

  • Leite zu den gegebenen Funktionen jeweils eine Stammfunktion her.

    Tipps

    Verwende die hier abgebildete Stammfunktion von

    $f(x)=e^{ax+b}$.

    Beachte, dass $a$ der Faktor vor dem $x$ ist.

    Leite jeweils die Stammfunktion ab. Du erhältst dann die Funktion, die integriert wurde.

    Lösung

    Ganz allgemein ist zu

    $f(x)=e^{ax+b}$

    eine Stammfunktion gegeben durch

    $F(x)=\frac 1a e^{ax+b}+c$.

    Man muss sich also jeweils überlegen, wie der Faktor vor dem $x$ lautet:

    1. $f(x)=e^{3-2x}$. Hier ist $a=-2$ und somit $F(x)=-\frac12\cdot e^{3-2x}+c$.
    2. $g(x)=e^{3x-2}$. Hier ist $a=3$ und somit $G(x)=\frac13\cdot e^{3x-2}+c$.
    3. $h(x)=e^{-x+1}$. Hier ist $a=-1$ und somit $H(x)=-e^{-x+1}+c$.
    4. $k(x)=e^{2x-3}$. Hier ist $a=2$ und somit $K(x)=\frac12\cdot e^{2x-3}+c$.
  • Berechne den Flächeninhalt.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge bei der Differenz.

    Es ist $e^1=e\approx 2,71828$ die Euler'sche Zahl.

    Lösung

    Da die Stammfunktion von $g(x)=e^{2x-3}$ mit

    $G(x)=\frac12\cdot e^{2x-3}$

    bereits bekannt ist, kann diese (ohne die Integrationskonstante, diese fällt bei der bestimmten Integration raus) verwendet werden für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~g(x)~dx=G(b)-G(a)$.

    Damit erhält man

    $\begin{array}{rcl} \int\limits_1^2~e^{2x-3}~dx&=&\left[\frac12\cdot e^{2x-3}\right]_1^2\\ &=&\frac12\cdot e^{4-3}-\frac12\cdot e^{2-3}\\ &=&\frac12(e-e^{-1})\\ &\approx&1,1752~[\text{FE}] \end{array}$

  • Bestimme den Flächeninhalt.

    Tipps

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\quad~~~\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Beachte die Reihenfolge bei der Differenz.

    Lösung

    Zunächst benötigen wir eine Stammfunktion von $f(x)$. Diese ist gegeben durch

    $\begin{array}{rcl} F(x)&=&2\cdot\frac14\cdot e^{4x+1}+c\\ &=&\frac12\cdot e^{4x+1}+c \end{array}$

    Nun wird diese im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

    verwendet:

    $\begin{array}{rcl} \int\limits_0^1~2\cdot e^{4x+1}~dx&=&\left[\frac12\cdot e^{4x+1}\right]_0^1\\ &=&\frac12\cdot e^{5}-\frac12\cdot e^{1}\\ &\approx&72,85~[\text{FE}] \end{array}$

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