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Integral, Integralfunktion, Flächeninhaltsfunktion, Stammfunktion 11:36 min

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Transkript Integral, Integralfunktion, Flächeninhaltsfunktion, Stammfunktion

Hallo! Wir haben ein paar Begriffe zu klären, das sind die Begriffe Stammfunktion, bestimmtes Integral, unbestimmtes Integral, Integralfunktion und Flächeninhaltsfunktion. Leider muss ich dazu sagen, dass es sehr viele verschiedene Definitionen dieser Begriffe gibt, und das trägt nicht gerade zur Orientierung bei für Lernende. Und deshalb möchte ich jetzt mal das zeigen, worauf man sich im Prinzip geeinigt hat, was bei allen Zugängen zu diesem Thema gleich ist. Also, wir haben Stammfunktionen. Wir brauchen, um eine Stammfunktion zu bekommen, zunächst einmal eine Funktion f von x, oder auch klein f (x) genannt. Eine Stammfunktion zu f(x) ist eine Funktion groß F(x), die die Eigenschaft hat, dass die Ableitung dieser Funktion F(x)=f(x) ist. Hier habe ich mal ein Beispiel hingeschrieben: Wir haben die Funktion f(x)=x² und eine Stammfunktion F(x) ist dann 1/3x³, denn die Ableitung von 1/3x³ ist x². Nun habe ich aber gesagt eine Stammfunktion ist 1/3x³, denn 1/3x³+1 ist auch eine Stammfunktion. Denn wenn man diese Funktion ableitet, erhält man auch x². Jetzt könnte ich hier auch 3 und 5 und -28000 einsetzen, immer wäre die Ableitung =x². Deshalb sagt man, es gibt zu einer Funktion f(x) mehrere Stammfunktionen, nämlich F(x)+c, die sich nämlich alle durch eine solche Konstante unterscheiden; die Ableitung ist dann immer =f(x). Also bis dahin ist man sich einig. Dann kommen wir zum bestimmten Integral, Das bestimmte Integral ist das, was hier steht. Man kann sagen, das Integral von a bis b der Funktion f(x)dx. Dx gibt an, zu welcher Variablen integriert wird, und dx begrenzt das Integral, aber auch die Funktion. Das ist einfach so ein Zusatz, der da immer hin muss. Dieses bestimmte Integral gibt es in verschiedenen Definitionen, einig ist man sich aber darüber, dass man mithilfe dieser Stammfunktionen dieses bestimmte Integral berechnen kann. Wir brauchen nämlich nur eine Stammfunktion groß F von klein f und können dann die Differenz bilden, nämlich F(b), also diese obere Grenze hier, -F(a), also diese untere Grenze. Und das, was hier herauskommt, ist der Wert des bestimmten Integrals. So kann man die berechnen und da ist man sich einig. Das Ding hier heißt übrigens „Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung“. Konkret geht das dann so: Wir können uns eine Funktion hernehmen, x² zum Beispiel, wir kennen schon eine Stammfunktion davon, ich nehme das mal hier weg. Meistens nimmt man dann eine Stammfunktion, bei der das konstante Glied hier hinten =0 ist, also nehmen wir einfach 1/3x³ und setzen dann einmal die obere Grenze ein, dann haben wir 1/3×2³, und das Minuszeichen abschreiben und dann die untere Grenze einsetzen, hier also 1/3×1³. Und das, was hier herauskommt, ist der Wert dieses bestimmten Integrals. Dann haben wir noch das unbestimmte Integral, und das erhält man, indem man beim bestimmten Integral einfach was weglässt, und zwar die Grenzen. Das, was hier steht, ist dann das unbestimmte Integral, also das hier oder das, je nachdem wie man das sagen will, das ist auch unterschiedlich. Wenn man das unbestimmte Integral bestimmen will, geht es darum, zu dieser Funktion f(x) - habe ich vielleicht nicht ganz schön gezeichnet, das soll ein richtiges f sein, ein klein f(x) - wir suchen zu f(x) eine Stammfunktion F(x). Das ist alles, wenn es um das unbestimmte Integral geht. Man kann hier auch noch +c hinschreiben, manche machen es mit +c, manche ohne. Jetzt steht es da und ich glaube, wir haben uns da auch verstanden, hoffe ich zumindest. Dann gibt es die Integralfunktion, von der ich gleich mal sagen muss, dass sie dann hinterher im Abitur oder so, wenn du das jetzt an der Schule machst, dann spielt sie nicht mehr so eine große Rolle. Sie spielt dann zwischendurch bei der Definition eine Rolle, aber hinterher nicht mehr so. Trotzdem ist es ganz gut, mal zu wissen, was das bedeutet. Eine Integralfunktion erhält man nämlich dann, wenn man f(x) hat und eine bestimmte Zahl a. Dann kann man bestimmte Integrale bilden von a bis t, und zwar bestimmte Integrale der Funktion f(x)dx. Und wenn wir jetzt eine Funktion haben, die jeder Zahl t das bestimmte Integral von a bis t der Funktion f(x)dx zuordnet, dann haben wir hier eine Integralfunktion. Also: Die Integralfunktion ordnet einfach bestimmte Integrale diesen Zahlen zu. Dann haben wir noch die Flächeninhaltsfunktion, die auch meistens am Anfang eine Rolle spielt; hinterher berechnet man dann Flächen mit bestimmten Integralen, da komme ich gleich zu. Flächeninhaltsfunktion, zunächst mal, spielt bei der Definition der Integrale und so oft eine Rolle, und das ist eine Funktion, die bestimmten Zahlen x Flächeninhalte zuordnet. Die Sache ist dann ganz unproblematisch, wenn man eine Funktion f(x) hat, deren Graph oberhalb der x-Achse verläuft, also hier ist der Graph von f(x). Wir können nun eine Zahl x0 hier auf der x-Achse festnageln, und uns dann weitere Zahlen vorstellen und jeder Zahl x einen Flächeninhalt a zuordnen, der also von x0 abhängt, und das ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen von x0 bis x. Also die Flächeninhaltsfunktion ordnet tatsächlich solche Flächen zu. Wie sie das genau macht, definiere ich jetzt hier nicht weiter, da ist man sich auch uneins darüber, wie das so hinkommt. Wir stellen nun fest, und darüber ist man sich wieder einig, dass diese Flächeninhaltsfunktion einen Wert angibt, eine Flächenmaßzahl, kann man sagen, die man auch durch das bestimmte Integral hätte berechnen können- wenn nämlich der Graph oberhalb der x-Achse verläuft und x0 kleiner als x ist, also das hier alles schön in Ordnung ist. Dann kann man nämlich die Fläche hier berechnen, in dem man für a x0 einsetzt und für b x einsetzt. Dann muss man hier noch eine andere Variable finden, eine andere Integrationsvariable, wäre dann aber kein Problem. Man kann einfach irgendeine andere nehmen, das ist in dem Fall nicht so wichtig. Und dann bestimmt man F(x)-F(x0). Also hier braucht man nur eine Stammfunktion und hat diese Fläche heraus. Diese Flächenberechnung wird auch in der Regel so gemacht, das bleibt also auch bis zum Abitur und danach weiter bestehen. Das ist eine ganz wichtige Sache in der Integralrechnung, dass man mithilfe der bestimmten Integrale solche Flächen berechnet. Dramatisch anders sieht die Situation aber aus, wenn wir eine Funktion haben, die so aussieht, hier läuft der Funktionsgraph, und wir möchten zum Beispiel wissen, wie groß die Fläche ist, die sich zwischen Graph und x-Achse befindet und die sich hier zwischen Graph und x-Achse befindet. Wenn wir das bestimmte Integral dieser Funktion von a bis b berechnen, angenommen wir haben jetzt eine Funktion gefunden, dann können wir das bestimmte Integral berechnen, dann stellen wir fest: Das kann nie und nimmer die Flächenmaßzahl sein, die sich hier zwischen Graph und x-Achse befindet, also diese Fläche + diese Fläche. Wenn man genau hinguckt, merkt man, man rechnet eigentlich diese Fläche im Negativen + diese Fläche, wenn man das bestimmte Integral einfach von a bis b bildet. So, was ist die Lösung der ganzen Sache? So kompliziert das Ganze bisher war, so einfach ist die Lösung. Man macht Folgendes: Man nimmt die Nullstelle hier, die soll jetzt mal c sein, nein, ich nenne sie d, weil hier schon ein c steht - das d und dieses c haben nichts miteinander zu tun. Die heißt jetzt d, basta. Wir können nämlich das bestimmte Integral von a bis d bilden, dieses bestimmte Integral in Betragstriche setzen und dann das bestimmte Integral von d bis b bilden, das ist dann positiv, und das bestimmte Integral von d bis b gibt tatsächlich auch die Flächenmaßzahl an. Und wenn wir beide addieren, also Betrag des bestimmten Integrals von a bis d und das bestimmte Integral von d bis b, dann haben wir die Gesamtfläche, die sich hier zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen von a bis b befindet. Das ist halt die wichtige Sache, dass man mithilfe der bestimmten Integrale Flächen bestimmen kann, und das macht man bei solchen Funktionen eben so, dass man erst die Nullstellen bestimmt und dann zwischen zwei Nullstellen jeweils integriert und die bestimmten Integrale in Betragstriche setzt. Dann kann nichts passieren. Das war's dazu, viel Spaß damit. Tschüss!  

6 Kommentare
  1. Gute Erklärung! Wenn Sie noch professionellere Videos produzieren würden, dann würden Sie von mir auch 5 Punkte bekommen. Denn mich persönlich stört der Hintergrund, der sehr ablenkend wirkt, und allgemein die Location, was Professionalität des Videos minimiert. Also meine Empfehlung, am besten ein weißen Hintergrund oder zumindest einen der nicht ablenkt, und die Location ändern bspw. nicht im Büro, stattdessen in einem Studio oder ähnlichem Ort.
    Sonst prima Videos!

    Von Gisbrechtw, vor mehr als einem Jahr
  2. Sehr gutes Video. Bisher hat mir im Thema Integral total der Durchblick gefehlt. Jetzt sind wenigstens einmal die grundlegenden Dinge geklärt und müssen jetzt nur noch vertieft werden! Vielen Dank

    Von Marinastoll93, vor mehr als 4 Jahren
  3. Supeeeer :)

    Von Danielle S., vor mehr als 4 Jahren
  4. Klasse, ich werd langsam zum Fan :)

    Von Katharina B., vor mehr als 6 Jahren
  5. tolle erklärung

    Von Aylin Mak, vor etwa 8 Jahren
  1. tolle erklärung

    Von Aylin Mak, vor etwa 8 Jahren
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Integral, Integralfunktion, Flächeninhaltsfunktion, Stammfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Integral, Integralfunktion, Flächeninhaltsfunktion, Stammfunktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die jeweiligen Terme.

    Tipps

    $\int$ ist das Integrationszeichen.

    Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.

    Zum Beispiel ist $F(x)=x^2$ eine Stammfunktion von $f(x)=2x$.

    Lösung

    Die Integralrechnung ist ein wichtiger Bereich in der Mathematik.

    Sie wird oft über den Begriff der Flächeninhaltsfunktion eingeführt. Die Flächeninhaltsfunktion $A_{x_0}(x)$ gibt zu einer Funktion, deren Graph oberhalb der x-Achse liegt, auf einem Intervall $I=[x_0;x]$, den Flächeninhalt, den dieser Graph mit der x-Achse über diesem Intervall einschließt.

    Damit ist auch schon eine der Anwendungen der Integralrechnung genannt: die Flächenberechnung.

    Ein wesentlicher Punkt der Integralrechnung ist das Finden einer Stammfunktion $F(x)$ zu der Funktion $f(x)$. Es gilt die Beziehung

    $(F(x))'=f(x)$

    oder allgemeiner

    $(F(x)+C)'=f(x)$.

    Dabei ist $C$ die Integrationskonstante.

    Häufig wird statt des Begriffes auch der des unbestimmten Integrals verwendet:

    $\int ~f(x)~dx=F(x)+C$

    verwendet. Das Ergebnis ist eine Funktion.

    Das bestimmte Integral sieht so ähnlich aus wie das unbestimmte: Es besitzt eine obere und eine untere Integrationsgrenze:

    $\int\limits_a^b ~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Man benötigt also eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$ und bildet die Differenz der Stammfunktion, ausgewertet an der oberen Grenze $b$ und der Auswertung an der unteren Grenze $b$. Dies ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Das Ergebnis eines bestimmten Integrals ist ein Wert. Dieser entspricht, wenn der Graph der Funktion komplett oberhalb der x-Achse liegt, einem Flächeninhalt.

    Mit Hilfe dieses Satzes kann man auch eine Flächeninhaltsfunktion bestimmen

    $I_a(t)=\int\limits_a^t ~f(x)~dx=F(t)-F(x)$.

  • Beschreibe die Bedeutung des bestimmten Integrals.

    Tipps

    Überlege dir die obigen Aussagen an verschiedenen Beispielen:

    $f(x)=x^2$, $a=1$, $b=3$.

    Zeichne den Graph der Funktion in ein Koordinatensystem.

    Sei $f(x)=-x^2$, $a=1$ und $b=2$.

    Was fällt dir auf.

    Kann ein Flächeninhalt negativ sein?

    Sei $f(x)=x^3$, $a=-3$, $b=3$.

    Zeichne den Funktionsgraphen. Schätze die Flächeninhalte.

    Was fällt dir bei dem bestimmten Integral auf?

    Lösung

    Das bestimmte Integral

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

    liefert einen Wert. Welche Bedeutung besitzt dieser Wert?

    Für den Fall, dass der Funktionsgraph von $f(x)$ auf dem Intervall $[a;b]$ oberhalb der x-Achse liegt, wird mit dem bestimmten Integral eine Fläche berechnet.

    Für den Fall, dass der Funktionsgraph von $f(x)$ auf dem Intervall $[a;b]$ unterhalb der x-Achse liegt, wird mit dem Betrag des bestimmten Integrals eine Fläche berechnet.

    Für den Fall, dass der Funktionsgraph von $f(x)$ auf dem Intervall $[a;b]$ sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse liegt, muss man zunächst die Nullstellen auf diesem Intervall betrachten. Entsprechend der ersten beiden Fälle kann man Flächeninhalte auf den Teilintervallen berechnen und diese zum Schluss addieren, wenn es sich um eine Flächenberechnungsaufgabe handelt.

  • Berechne das bestimmte Integral.

    Tipps

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Verwende die Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}$, für $n\neq -1$.

    Beachte beim Einsetzen der Integrationsgrenzen die Reihenfolge.

    Lösung

    Um das bestimmte Integral $\int\limits_1^2~x^2~dx$ zu berechnen, verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Das bedeutet, dass man zunächst eine Stammfunktion von $x^2$ finden muss. Diese erhält man mit Hilfe der Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}$, für $n\neq -1$.

    Eine Stammfunktion von $f(x) = x^2$ ist zum Beispiel durch $F(x) = \frac13x^3$ gegeben, wie man durch Differentiation nachweisen kann.

    Somit ist

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

    $\int\limits_1^2~x^2~dx=\frac13 b^3-\frac13 a^3=\frac13 2^3-\frac13 1^3=\frac83-\frac13=\frac73$.

  • Untersuche die folgenden Aussagen zu Integralen und Flächeninhaltsfunktionen.

    Tipps

    Beachte, dass das bestimmte Integral nur dann einen Flächeninhalt angibt, wenn der Funktionsgraph auf dem entsprechenden Intervall komplett oberhalb der x-Achse liegt.

    Eine Stammfunktion von $x^3$ ist $\frac14x^4$.

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

    wobei $(F(x))'=f(x)$.

    Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=x^3$. Diese liegt links von $x=0$ unterhalb und recht davon oberhalb der x-Achse.

    Lösung

    Bei der Angabe einer Stammfunktion, zum Beispiel zu $f(x)=x^3$, wird häufig eine Integrationskonstante verwendet. Unterscheidet sich das bestimmte Integral je nach Wahl der Integrationskonstante?

    Nein!

    In dem obigen Beispiel ist $F(x)=\frac14x^4+C$ und somit

    $\begin{align*} \int\limits_a^b~x^3~dx&=\frac14 b^4+C-\left(\frac14a^4+C\right)\\ &=\frac14b^4+C-\frac14a^4-C\\ &=\frac14b^4-\frac14a^4. \end{align*}$

    Hieran kann man erkennen, dass die Integrationskonstante bei der bestimmten Integration weggelassen werden kann.

    Im Allgemeinen gibt der Wert des bestimmten Integrals keinen Flächeninhalt an. Was tut man, wenn es sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse Flächenstücke gibt?

    Man betrachte auf dem entsprechenden Intervall die Nullstellen.

    An dem obigen Beispiel ist

    $\int\limits_{-1}^3~x^3~dx=\frac14 3^4-\frac14(-1)^4=\frac{81}4-\frac14=\frac{80}4=20$.

    Es existiert auf dem Intervall $[-1;3]$ eine Nullstelle der Funktion $f(x)=x^3$, nämlich bei $x_0=0$.

    Nun kann man die beiden folgenden bestimmten Integrale berechnen:

    • $\int\limits_{-1}^0~x^3~dx=\frac14 0^4-\frac14(-1)^4=0-\frac14=-\frac14$, dies ist sicher kein Flächeninhalt. Durch Verwenden von Beträgen erhält man $A_1=\left| \int\limits_{-1}^0~x^3~dx\right|=\frac14$. Dies ist der Flächeninhalt der Fläche unterhalb der x-Achse.
    • Ebenso ist $\int\limits_{0}^3~x^3~dx=\frac14 3^4-\frac14 0^4=\frac{81}4-0=\frac{81}4$. Dies ist ein Flächeninhalt. Also ist $A_2=\frac{81}4$.
    Die gesamte Fläche berechnet sich als Summe der Einzelflächen:

    $A=A_1+A_2=\frac14+\frac{81}4=\frac{82}4=20,5$.

  • Bestimme zu jeder der Funktionen eine zugehörige Stammfunktion.

    Tipps

    Beachte: Wenn du die Stammfunktion ableitest, erhältst du die Funktion.

    In Formeln: $(F(x))'=f(x)$.

    Der Exponent der Stammfunktion $F$ ist um $1$ höher als der der Funktion $f$.

    Die Integrationskonstante kann beliebig gewählt werden.

    Lösung

    Wie kann man bei einer gegebenen Funktion zu einer Stammfunktion gelangen? Man kann sich die Funktion betrachten und überlegen, ob man eine Funktion kennt, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.

    Diese Vorgehensweise führt zu Integrationsregeln wie zum Beispiel der Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C$, für $n\neq -1$.

    Wie kommt man darauf? Durch Ableiten wird der Exponent einer Potenzfunktion als Faktor nach vorne geschrieben und der Exponent der Ableitung um $1$ kleiner. Dies ist die Potenzregel der Differentiation

    $(x^n)'=nx^{n-1}$.

    Wenn man also eine Stammfunktion von $x^4$ sucht, kann man sich überlegen, dass diese den Exponenten $5$ haben muss. Nun kann man $x^5$ differenzieren und erhält

    $(x^5)'=5x^4$.

    Dies ist allerdings nicht gleich $x^4$. Der Faktor $5$ stört. Also muss bei der Stammfunktion durch diesen dividiert werden:

    $f(x)=x^4$ hat damit die Stammfunktionen $F(x)=\frac15x^5+C$.

    Ebenso können die nachfolgenden Stammfunktionen berechnet werden:

    • $f(x)=x^3$ hat die Stammfunktionen $F(x)=\frac14x^4+C$.
    • $f(x)=x^5$ hat die Stammfunktionen $F(x)=\frac16x^6+C$.
    • $f(x)=x^6$ hat die Stammfunktionen $F(x)=\frac17x^7+C$.
    Dabei ist $C$ jeweils die Integrationskonstante. Für diese kann jede beliebige reelle Zahl eingesetzt werden.

  • Berechne das jeweilige bestimmte Integral.

    Tipps

    Beachte, dass das bestimmte Integral im Allgemeinen keinen Flächeninhalt darstellt. Das bedeutet, dass der Wert auch negativ sein kann.

    Setze die obere Grenze $b$ und die untere Grenze $a$ in die Stammfunktion ein und bilde in der Reihenfolge die Differenz. Die Reihenfolge ist wichtig, da sich ansonsten das Vorzeichen umkehrt.

    Lösung

    Das bestimmte Integral wird mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnet:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Man benötigt also eine Stammfunktion $F(x)$ der betrachteten Funktion $f(x)=x^3$. Eine solche ist zum Beispiel gegeben durch $F(x)=\frac14 x^4$. Diese kann mit der Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C$ für $n\neq-1$

    herleiten.

    Nun werden jeweils die Integrationsgrenzen eingesetzt:

    • $a=0;~b=2$: $\int\limits_0^2~x^3~dx=\frac14 2^4-\frac14 0^4=\frac14\cdot 16-0=4$
    • $a=-2;~b=0$: $\int\limits_{-2}^0~x^3~dx=\frac14 0^4-\frac14 (-2)^4=0-\frac14\cdot 16=-4$. Hieran kann man erkennen, dass ein bestimmtes Integral nicht unbedingt einen Flächeninhalt angeben muss.
    • $a=2;~b=0$: $\int\limits_2^0~x^3~dx=\frac14 0^4-\frac14 2^4=0-\frac14\cdot 16=-4$. Das Vertauschen der Integrationsgrenzen führt zu einem Vorzeichenwechsel bei dem Wert des bestimmten Integrals.
    • $a=-1;~b=3$: $\int\limits_{-1}^3~x^3~dx=\frac14 3^4-\frac14 (-1)^4=\frac14\cdot 81-\frac14=\frac{80}4=20$. Dies ist übrigens, auch wenn der Wert positiv ist, kein Flächeninhalt.