Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius

Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius Übung

• Bestimme die Formeln zur Berechnung des Inkreisradius eines Dreiecks.

  Tipps

  Wenn du ein Produkt hast, in dem ein Faktor ein Wurzelterm ist, kannst du so zusammen fassen:

  $a\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$

  Du kannst den Faktor $u-2b$ kürzen.

  Lösung

  Du kannst die folgende Formel herleiten:

  $r=\frac12(u-2b)\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2c)}{(u-2b)\cdot u}}$

  Diese kann noch ein wenig vereinfacht werden. Es gilt $u-2b=\sqrt{(u-2b)^2}$. Auf diese Weise kannst du den Faktor vor der Wurzel in die Wurzel bringen:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2b)^2\cdot (u-2a)\cdot (u-2c)}{(u-2b)\cdot u}}$

  Siehst du es schon? Du kannst den Faktor $u-2b$ kürzen:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2b)\cdot (u-2a)\cdot (u-2c)}{ u}}$

  Zuletzt sortierst du die Faktoren in Zählerterm und erhältst die Formel:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

• Beschreibe die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Inkreisradius.

  Tipps

  In kongruenten Dreiecken sind einander entsprechende Seiten gleich lang.

  Hier siehst du die binomischen Formeln:

  1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Der „Anfang“ des Cosinussatzes sieht so aus wie der Satz der Pythagoras.

  Lösung

  Hier siehst du das Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit dem zugehörigen Inkreis. Die Seiten des Dreiecks sind jeweils in Teilabschnitte aufgeteilt:

  • $a=a_1+a_2$
  • $b=b_1+b_2$
  • $c=c_1+c_2$

  Aufgrund der Kongruenz der folgenden rechtwinkligen Dreiecke kannst du die Gleichheit der entsprechenden Abschnitte herleiten:

  • $\Delta_{AQM}$ und $\Delta_{ARM}$ sind kongruent. Deshalb ist $c_1=b_2$.
  • $\Delta_{BPM}$ und $\Delta_{BRM}$ sind kongruent. Deshalb gilt $a_1=c_2$.
  • $\Delta_{CQM}$ und $\Delta_{CPM}$ sind kongruent. Deshalb gilt $a_2=b_1$.

  Setze dies nun in die obigen Gleichungen ein:

  • $a=a_1+b_1$
  • $b=b_1+c_1$
  • $c=c_1+a_1$

  Subtrahiere nun die mittlere von der unteren Gleichung. Addiere das Ergebnis zu der oberen Gleichung. Dadurch erhältst du:

  $a-b+c=2a_1$. Division durch $2$ führt zu:

  $a_1=\frac12(a-b+c)$

  In dem rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{BPM}$ gilt:

  $\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{r}{a_1}$

  Dabei ist $r$ der Radius des Inkreises, also die Länge der Strecke $\overline{MP}$. Diese Gleichung ist äquivalent zu:

  $r=a_1\cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$

  Nun kannst du den Tangens mit Hilfe des Cosinus ausdrücken:

  $r=a_1\cdot \sqrt{\frac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}$

  Die Anwendung des Cosinussatzes in dem Dreieck $\Delta_{ABC}$ führt zu:

  $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)$

  Dies formst du um zu $\cos(\beta)=\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}$.

  Nun kannst du $\cos(\beta)$ in die Gleichung $r=a_1\cdot \sqrt{\frac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}$ einsetzen:

  $\begin{array}{rclll} r&=&a_1\cdot \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2ac}}{1+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2ac}}}&|&\text{erweitern}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{\left(2ac-(a^2-b^2+c^2)\right)2ac}{\left(2ac+(a^2-b^2+c^2)\right)2ac}}&|&\text{k}\ddot{\text{u}}\text{rzen}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{2ac-a^2+b^2-c^2}{2ac+a^2-b^2+c^2}}&|&\text{1. und 2.binomische Formeln}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{b^2-(a-c)^2}{(a+c)^2-b^2}}&|&\text{3. binomische Formel}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{(b-(a-c))\cdot (b+(a-c))}{((a+c)-b)\cdot (a+b+c)}}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{(-a+b+c)\cdot (a+b-c)}{(a-b+c)\cdot(a+b+c)}} \end{array}$

  Mit $u=a+b+c$ erhältst du:

  • $-a+b+c=a+b+c-2a=u-2a$
  • $a+b-c=u-2c$
  • $a-b+c=u-2b$
  • $a_1=\frac12(a-b+c)=\frac12(u-2b)$

  Durch Einsetzen erhältst du:

  $r=\frac12(u-2b)\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2c)}{(u-2b)\cdot u}}$

• Berechne den Radius des Inkreises.

  Tipps

  Der Umfang ist die Summe der Seitenlängen.

  Vermeide Rundungsfehler, indem du mit den Taschenrechner genauen Werten rechnest oder aber die komplette Formel in den Taschenrechner eingibst.

  Lösung

  Um die Formel für den Radius anzuwenden, kannst du zunächst einmal die Werte für die Terme in dieser Formel berechnen:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

  Hier siehst du die einzelnen Lösungen:

  • $u=7~\text{cm}+8~\text{cm}+11~\text{cm}=26~\text{cm}$
  • $u-2a=26~\text{cm}-2\cdot 7~\text{cm}=12~\text{cm}$
  • $u-2b=26~\text{cm}-2\cdot 8~\text{cm}=10~\text{cm}$
  • $u-2c=26~\text{cm}-2\cdot 11~\text{cm}=4~\text{cm}$

  Nun kannst du diese Werte in die Formel einsetzen. Die Maßeinheiten werden dabei aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{12\cdot 10\cdot 4}{26}}\approx2,1$

  Der Radius des Inkreises beträgt also ungefähr $2,1~\text{cm}$.

• Prüfe, welche der Seitenlängen für $a$ zu dem gegebenen Inkreisradius führen.

  Tipps

  Verwende die Formel für den Radius:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

  Setze die bekannten Größen ein und probier aus, welcher Wert für $a$ passt.

  Mit der unbekannten Länge $a$ gilt (jeweils ohne Maßeinheiten):

  • $u-2a=22-a$
  • $u-2b=a+2$
  • $u-2c=a-2$
  • $u=a+22$

  Die Lösung ist ganzzahlig.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung des Radius lautet:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

  Setze nun die bekannten Größen ein. Im Folgenden werden die Maßeinheiten weggelassen:

  • $u-2a=-a+b+c=-a+22$
  • $u-2b=a+c-b=a+2$
  • $u-2c=a+b-c=a-2$
  • $u=a+b+c=a+22$

  So erhältst du:

  $\sqrt{7}=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-a+22)\cdot (a+2)\cdot (a-2)}{a+22}}$

  Nun kannst du verschiedene Werte für $a$ testen:

  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-5,5+22)\cdot (5,5+2)\cdot (5,5-2)}{5,5+22}}=\frac12\cdot \sqrt{15,75}\approx 2\neq \sqrt 7$
  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-6+22)\cdot (6+2)\cdot (6-2)}{6+22}}\approx 2,1\neq \sqrt 7$
  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-6,5+22)\cdot (6,5+2)\cdot (6,5-2)}{6,5+22}}\approx 2,3\neq \sqrt 7$
  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-7+22)\cdot (7+2)\cdot (7-2)}{7+22}}\approx 2,4\neq \sqrt 7$
  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-7,5+22)\cdot (7,5+2)\cdot (7,5-2)}{7,5+22}}\approx 2,5\neq \sqrt 7$
  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-8+22)\cdot (8+2)\cdot (8-2)}{8+22}}=\sqrt 7$ ✓
  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-8,5+22)\cdot (8,5+2)\cdot (8,5-2)}{8,5+22}}\approx 2,7\neq \sqrt 7$
  • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-9+22)\cdot (9+2)\cdot (9-2)}{9+22}}\approx 2,8\neq \sqrt 7$

• Gib an, welche Aussagen zu dem Dreieck sowie dessen Inkreis richtig sind.

  Tipps

  Die (drei!) Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Dies ist der Mittelpunkt des Umkreises.

  Wenn du die drei Dreieckseiten aneinander legst, erhältst du eine lange Strecke. Deren Länge ist der Umfang des Dreiecks.

  Das Dreieck $\Delta_{AQM}$ ist rechtwinklig. Dies gilt nicht für das Dreieck $\Delta_{BRP}$.

  Lösung

  Hier siehst du das Dreieck $\Delta_{ABC}$.

  Der rote Kreis ist der Inkreis des Dreiecks. Dessen Mittelpunkt $M$ ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Die Strecken $\overline{MP}$, $\overline{MQ}$ sowie $\overline{MR}$ haben jeweils die gleiche Länge wie der Radius. Insbesondere stehen diese Strecken senkrecht auf der entsprechenden Dreieckseite.

  Du kannst drei Paare zueinander kongruenter rechtwinkliger Dreiecke in diesem Dreieck einzeichnen:

  • $\Delta_{AQM}$ sowie $\Delta_{ARM}$: Diese beiden Dreiecke siehst du hier grün eingefärbt.
  • $\Delta_{BPM}$ sowie $\Delta_{BRM}$
  • $\Delta_{CQM}$ sowie $\Delta_{CPM}$

  Der Umfang eines Kreises ist die Summe seiner Seiten $u=a+b+c$.

• Ermittle den Flächeninhalt des Inkreises.

  Tipps

  Berechne zunächst den Radius. Setze dann $r^2$ in die Formel ein.

  Verwende die Formel für den Radius:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

  Lösung

  Du musst zunächst den Radius des Inkreises berechnen. Diesen benötigst du für die Flächeninhaltsberechnung.

  Du verwendest die Formel für den Radius:

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

  Es gilt:

  $u=15~\text{cm}+20~\text{cm}+25~\text{cm}=60~\text{cm}$

  Damit erhältst du (ohne die Angabe von Maßeinheiten):

  $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{30\cdot 20\cdot 10}{60}}=\frac12\cdot\sqrt{100}=5$

  Der Radius beträgt also $5~\text{cm}$. Nun kannst du diesen Radius in die Formel für den Flächeninhalt des Kreises einsetzen. Dies führt zu $A_\circ=\pi\cdot (5~\text{cm})^2=25\cdot \pi~\text{cm}^2\approx78,5~\text{cm}^2$.