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Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius

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André Otto
Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius

Herzlich Willkommen zum 3. Teil der Videoreihe „ Der Inkreisradius des Dreiecks “. Es wäre von Vorteil, wenn du bereits den 2. Teil der Reihe geschaut hast, damit du weißt, wie man einen Inkreis eines Dreieckes konstruiert. Im aktuellen Video, welches den Untertitel „ Bestimmung von r “ besitzt, werden wir gemeinsam eine Formel zu Berechnung vom Inkreisradius eines Dreiecks herleiten. Hierfür benötigt ihr viel Geduld und einiges an Vorwissen. Ihr solltest euch bereits mit den Kongruenzsätzen, dem Kosinussatz, den Wurzelgesetzen und mit den Grundlagen trigonometrischer Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck auskennen. Es hört anstrengend an, aber keine Sorge! Wir helfen dir Schritt für Schritt.

Transkript Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius

Hallo, liebe Mathematikfreundinnen und Mathematikfreunde. Herzlich willkommen zu diesem Video. Es wäre schön, wenn ihr zur Ansicht dieses Videos auf Teil 2 "Der Inkreisradius des Dreiecks" angeschaut habt. Dort haben wir die Konstruktion des Inkreises ausgeführt. Heute machen wir weiter mit Teil 3. Das Thema dieses Videos lautet: "Berechnung von r". Ich habe dafür schon einmal ein Dreieck mit Winkelhalbierenden und dem Inkreis vorbereitet. Das Dreieck setzt sich zusammen aus Paaren rechtwinkliger Dreiecke, so wie dem orangefarbenen Paar rechtwinkliger Dreiecke oder dem Paar gelber Dreiecke oder dem Paar hellblauer Dreiecke. Die Strecken zwischen den einzelnen Farben sind jeweils der Inkreisradius des Inkreises des Dreiecks. Bevor wir mit der Rechnung beginnen, müssen wir unsere Skizze vervollständigen. Die Eckpunkte bezeichne ich mit Großbuchstaben A, B und C. Nun fälle ich noch die Lote vom Mittelpunkt auf die 3 Seiten des Dreiecks. Ich erhalte die Lotfußpunkte P, Q und R. Die Länge der Strecken PM, QM und RM sind genau die Länge des Radius des Inkreises des Dreiecks. Weiterhin benötigen wir noch Unterteilungen der einzelnen Dreieckseiten. a1+a2=a, b1+b2 ergibt in der Summe b, und die Addition von c1+c2 ergibt schließlich c. So, diese 3 Gleichungen schreibe ich einmal untereinander. Jetzt nutzen wir Kongruenz von Dreiecken aus, die wir in Video 1 gezeigt haben. Daraus ergibt sich: a1=c2, b1=a2 und c1=b2. Wir schreiben jetzt für die Gleichung oben links: a=a1 und, da b1=a2 ist, +b1. Für die Gleichung darunter schreiben wir b=b1+ und, da c1=b2 ist, c1. Für die letzte Gleichung aus dem Block oben links: c=c1 und da a1=c2 ist, +a1. Diese 3 Gleichungen in der Mitte bilden jetzt ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten: a1, b1 und c1. Wenn a, b und c gegeben sind, kann man dieses Gleichungssystem lösen. Wir subtrahieren jetzt Gleichung 2 von Gleichung 3. Wir erhalten: c-b=a1-b1. c1 und -c1 haben sich gegenseitig aufgehoben. Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen. Ich deute das an mit dem roten Additionszeichen und dem Strich der schriftlichen Addition. Also: Links bleibt stehen a-b+c und rechts a1+b1+a1-b1. Auf der rechten Seite heben sich b1 und -b1 gegeneinander auf. Wir erhalten somit a-b+c=2×a1. Wir dividieren durch 2 und erhalten 1/2(a-b+c)=a1. Das erste Zwischenergebnis. Wir übertragen nun die Gleichung nach oben links und löschen die Nebenrechnungen. Als nächstes tragen wir am Punkt B den Winkel β ein. Wir wissen, dass der Winkel durch unsere Konstruktion halbiert wird: β/2. Wir betrachten nun das rechtwinklige Dreieck im Punkt P und die beiden Seiten a1 und PM, hier durch Pfeile angedeutet. PM ist gerade der Radius r. Wir wissen nun aus der Trigonometrie, das gilt: r verhält sich zu a1 wie Tangens von β/2. Wir multiplizieren beide Seiten mit a1 und erhalten: r=a1×tan(β/2). Jetzt notiere ich eine nützliche Beziehung, die in eurer Formelsammlung enthalten sein sollte. tan(β/2)=\sqrt [(1-cosβ)/(1+cosβ)]. Das ist aber noch nicht alles. Wir benötigen zur Herleitung der Formel noch den Kosinussatz. Er lautet für den Winkel β: b2=(a2)+(c2)-2ac×cosβ. Wir bringen nun den Term mit negativen Vorzeichen von der rechten auf die linke Seite und subtrahieren von beiden Seiten der Gleichung b2. Damit ergibt sich: 2ac×cosβ=(a2)+(c2)-(b2). Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch 2ac und erhalten: cosβ=[((a2)+(c2)-(b2))/2ac]. So, nun ist es Zeit, etwas Ordnung zu schaffen. Wir nummerieren die Gleichungen von 1 bis 4 und setzen die Rechnung fort. Zunächst setzen wir 4 in 2 ein. Wir erhalten: tan(β/2)=\sqrt {[(1-((a2)+(c2)-(b2))/2ac] / [1+((a2)+(c2)-(b2))/2ac]. Wir bringen nun die Brüche im Zähler und im Nenner auf einen gemeinsamen Nenner. Dieser beträgt jeweils 2ac. Im Zähler ergibt sich für den Erweiterungsterm 2ac+(b2)-(a2)-(c2) und im Nenner entsprechend 2ac×[2ac+(a2)+(c2)-(b2)]. So, Würzelchen nicht vergessen und mit leichter Hand 2ac gegen 2ac kürzen. tan(β/2)= Wurzel aus... so, und wir können nun den Zählerterm und den Nennerterm mithilfe der 2. und mithilfe der 1. binomischen Formel umwandeln. Wir erhalten im Zähler [(b2)-(a-c)2]. Das gilt nach der 2. binomischen Formel. Der Nennerterm ergibt nach der 1. binomischen Formel [(a+c)2]-b2. So. Gleichung 2 wird nicht mehr benötigt und wir können sie weglöschen. An ihre Stelle tritt die Gleichung unten, die wir aber noch etwas umwandeln werden. Also, Gleichung 5: tan(β/2)= und unten geht es erst einmal weiter.  tan(β/2)=. Und wenn wir uns den Zähler und den Nenner unterhalb der Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung anschauen, dann lacht uns die 3. binomische Formel mitten ins Gesicht. Wir können somit schreiben: Für den Zähler [b-(a-c)]×[b+(a-c)] und im Nenner entsprechend (a+c-b)×(a+c+b). So, Würzelchen nicht vergessen, wir können dann den Eintrag bei Gleichung 5 vornehmen. Gleichung 5, tan(β/2)=. Ich schreibe zunächst das Wurzelargument (b+c-a)×(a+b-c) im Zähler und im Nenner (a+c-b)×(a+b+c). Darüber die Wurzel. So, nun können wir die Nebenrechnung unten rechts entfernen und auch Gleichung 4 benötigen wir nicht mehr. Wir haben nun noch die Gleichungen 1, 5 und 3, aus denen wir r als Funktion der 3 Dreiecksseiten a, b und c formulieren werden. Und das ist auch nicht mehr schwer. Wir setzen nun die Gleichungen 1 und 5 in die Gleichung 3 ein. Wir erhalten somit: r=1/2(a-b+c){[(b+c-a)×(a+b-c)]/[(a+c-b)×(a+b+c)]}. Über dem Bruch noch die Wurzel. Um den Ausdruck für r visuell einfacher zu gestalten, setze ich einfach u=a+b+c, und u, der Umfang, ist ja tatsächlich gleich der Länge der einzelnen Seiten eines Dreiecks. Die Substitution auf den letzten Ausdruck für r angewendet erhalten wir: r=1/2(u-2b)×\sqrt {[(u-2a)(u-2b)]/[(u-2b)×u]}. So. Jetzt bringen wir noch den Klammerfaktor, der vor der Wurzel steht, unter die Wurzel, und unter der Wurzel erhält er dann noch ein Quadratzeichen, dann ist alles in Ordnung. Wir erhalten also in der letzten Zeile: r=(1/2)×\sqrt{[(u-2b)2×(u-2a)×(u-2c)]/[(u-2b)×u]}. Die Gleichung unten rechts erhält noch eine kleine Kosmetik, ich wische überflüssiges weg und wir haben die endgültige Formel in Händen. Wir erhalten somit für den Inkreisradius des Inkreises eines Dreiecks: r=(1/2)×\sqrt{[(u-2b)×(u-2a)×(u-2c)]/u}. So, liebe Hörerinnen und Hörer, ich wünsche euch alles Gute, viel Erfolg, Gesundheit und bis zum nächsten Mal. Tschüss!

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Hallo Finn, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor mehr als einem Jahr
  2. Ich Blick gar nicht durch 😩😂

    Von Finn L., vor mehr als einem Jahr
  3. moin

    Von Lol l., vor mehr als einem Jahr
  4. Hallo Juliane Viola D.,
    danke für den Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns über ehrliches Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  5. Bitte leichter machen!! Zu viel auf einmal ist nicht pädagogisch. Zuviel unerklärte Rechenschritte.

    Von Juliane Viola D., vor mehr als 2 Jahren
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Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Formeln zur Berechnung des Inkreisradius eines Dreiecks.

    Tipps

    Wenn du ein Produkt hast, in dem ein Faktor ein Wurzelterm ist, kannst du so zusammen fassen:

    $a\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$

    Du kannst den Faktor $u-2b$ kürzen.

    Lösung

    Du kannst die folgende Formel herleiten:

    $r=\frac12(u-2b)\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2c)}{(u-2b)\cdot u}}$

    Diese kann noch ein wenig vereinfacht werden. Es gilt $u-2b=\sqrt{(u-2b)^2}$. Auf diese Weise kannst du den Faktor vor der Wurzel in die Wurzel bringen:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2b)^2\cdot (u-2a)\cdot (u-2c)}{(u-2b)\cdot u}}$

    Siehst du es schon? Du kannst den Faktor $u-2b$ kürzen:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2b)\cdot (u-2a)\cdot (u-2c)}{ u}}$

    Zuletzt sortierst du die Faktoren in Zählerterm und erhältst die Formel:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

  • Beschreibe die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Inkreisradius.

    Tipps

    In kongruenten Dreiecken sind einander entsprechende Seiten gleich lang.

    Hier siehst du die binomischen Formeln:

    1. binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    3. binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Der „Anfang“ des Cosinussatzes sieht so aus wie der Satz der Pythagoras.

    Lösung

    Hier siehst du das Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit dem zugehörigen Inkreis. Die Seiten des Dreiecks sind jeweils in Teilabschnitte aufgeteilt:

    • $a=a_1+a_2$
    • $b=b_1+b_2$
    • $c=c_1+c_2$
    Aufgrund der Kongruenz der folgenden rechtwinkligen Dreiecke kannst du die Gleichheit der entsprechenden Abschnitte herleiten:

    • $\Delta_{AQM}$ und $\Delta_{ARM}$ sind kongruent. Deshalb ist $c_1=b_2$.
    • $\Delta_{BPM}$ und $\Delta_{BRM}$ sind kongruent. Deshalb gilt $a_1=c_2$.
    • $\Delta_{CQM}$ und $\Delta_{CPM}$ sind kongruent. Deshalb gilt $a_2=b_1$.
    Setze dies nun in die obigen Gleichungen ein:

    • $a=a_1+b_1$
    • $b=b_1+c_1$
    • $c=c_1+a_1$
    Subtrahiere nun die mittlere von der unteren Gleichung. Addiere das Ergebnis zu der oberen Gleichung. Dadurch erhältst du:

    $a-b+c=2a_1$. Division durch $2$ führt zu:

    $a_1=\frac12(a-b+c)$

    In dem rechtwinkligen Dreieck $\Delta_{BPM}$ gilt:

    $\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)=\frac{r}{a_1}$

    Dabei ist $r$ der Radius des Inkreises, also die Länge der Strecke $\overline{MP}$. Diese Gleichung ist äquivalent zu:

    $r=a_1\cdot \tan\left(\frac{\beta}{2}\right)$

    Nun kannst du den Tangens mit Hilfe des Cosinus ausdrücken:

    $r=a_1\cdot \sqrt{\frac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}$

    Die Anwendung des Cosinussatzes in dem Dreieck $\Delta_{ABC}$ führt zu:

    $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(\beta)$

    Dies formst du um zu $\cos(\beta)=\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}$.

    Nun kannst du $\cos(\beta)$ in die Gleichung $r=a_1\cdot \sqrt{\frac{1-\cos(\beta)}{1+\cos(\beta)}}$ einsetzen:

    $\begin{array}{rclll} r&=&a_1\cdot \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2ac}}{1+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2ac}}}&|&\text{erweitern}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{\left(2ac-(a^2-b^2+c^2)\right)2ac}{\left(2ac+(a^2-b^2+c^2)\right)2ac}}&|&\text{k}\ddot{\text{u}}\text{rzen}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{2ac-a^2+b^2-c^2}{2ac+a^2-b^2+c^2}}&|&\text{1. und 2.binomische Formeln}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{b^2-(a-c)^2}{(a+c)^2-b^2}}&|&\text{3. binomische Formel}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{(b-(a-c))\cdot (b+(a-c))}{((a+c)-b)\cdot (a+b+c)}}\\ &=&a_1\cdot \sqrt{\frac{(-a+b+c)\cdot (a+b-c)}{(a-b+c)\cdot(a+b+c)}} \end{array}$

    Mit $u=a+b+c$ erhältst du:

    • $-a+b+c=a+b+c-2a=u-2a$
    • $a+b-c=u-2c$
    • $a-b+c=u-2b$
    • $a_1=\frac12(a-b+c)=\frac12(u-2b)$
    Durch Einsetzen erhältst du:

    $r=\frac12(u-2b)\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2c)}{(u-2b)\cdot u}}$

  • Berechne den Radius des Inkreises.

    Tipps

    Der Umfang ist die Summe der Seitenlängen.

    Vermeide Rundungsfehler, indem du mit den Taschenrechner genauen Werten rechnest oder aber die komplette Formel in den Taschenrechner eingibst.

    Lösung

    Um die Formel für den Radius anzuwenden, kannst du zunächst einmal die Werte für die Terme in dieser Formel berechnen:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

    Hier siehst du die einzelnen Lösungen:

    • $u=7~\text{cm}+8~\text{cm}+11~\text{cm}=26~\text{cm}$
    • $u-2a=26~\text{cm}-2\cdot 7~\text{cm}=12~\text{cm}$
    • $u-2b=26~\text{cm}-2\cdot 8~\text{cm}=10~\text{cm}$
    • $u-2c=26~\text{cm}-2\cdot 11~\text{cm}=4~\text{cm}$
    Nun kannst du diese Werte in die Formel einsetzen. Die Maßeinheiten werden dabei aus Gründen der Übersichtlichkeit weggelassen:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{12\cdot 10\cdot 4}{26}}\approx2,1$

    Der Radius des Inkreises beträgt also ungefähr $2,1~\text{cm}$.

  • Prüfe, welche der Seitenlängen für $a$ zu dem gegebenen Inkreisradius führen.

    Tipps

    Verwende die Formel für den Radius:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

    Setze die bekannten Größen ein und probier aus, welcher Wert für $a$ passt.

    Mit der unbekannten Länge $a$ gilt (jeweils ohne Maßeinheiten):

    • $u-2a=22-a$
    • $u-2b=a+2$
    • $u-2c=a-2$
    • $u=a+22$

    Die Lösung ist ganzzahlig.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des Radius lautet:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

    Setze nun die bekannten Größen ein. Im Folgenden werden die Maßeinheiten weggelassen:

    • $u-2a=-a+b+c=-a+22$
    • $u-2b=a+c-b=a+2$
    • $u-2c=a+b-c=a-2$
    • $u=a+b+c=a+22$
    So erhältst du:

    $\sqrt{7}=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-a+22)\cdot (a+2)\cdot (a-2)}{a+22}}$

    Nun kannst du verschiedene Werte für $a$ testen:

    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-5,5+22)\cdot (5,5+2)\cdot (5,5-2)}{5,5+22}}=\frac12\cdot \sqrt{15,75}\approx 2\neq \sqrt 7$
    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-6+22)\cdot (6+2)\cdot (6-2)}{6+22}}\approx 2,1\neq \sqrt 7$
    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-6,5+22)\cdot (6,5+2)\cdot (6,5-2)}{6,5+22}}\approx 2,3\neq \sqrt 7$
    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-7+22)\cdot (7+2)\cdot (7-2)}{7+22}}\approx 2,4\neq \sqrt 7$
    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-7,5+22)\cdot (7,5+2)\cdot (7,5-2)}{7,5+22}}\approx 2,5\neq \sqrt 7$
    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-8+22)\cdot (8+2)\cdot (8-2)}{8+22}}=\sqrt 7$ ✓
    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-8,5+22)\cdot (8,5+2)\cdot (8,5-2)}{8,5+22}}\approx 2,7\neq \sqrt 7$
    • $\frac12\cdot \sqrt{\frac{(-9+22)\cdot (9+2)\cdot (9-2)}{9+22}}\approx 2,8\neq \sqrt 7$
  • Gib an, welche Aussagen zu dem Dreieck sowie dessen Inkreis richtig sind.

    Tipps

    Die (drei!) Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Dies ist der Mittelpunkt des Umkreises.

    Wenn du die drei Dreieckseiten aneinander legst, erhältst du eine lange Strecke. Deren Länge ist der Umfang des Dreiecks.

    Das Dreieck $\Delta_{AQM}$ ist rechtwinklig. Dies gilt nicht für das Dreieck $\Delta_{BRP}$.

    Lösung

    Hier siehst du das Dreieck $\Delta_{ABC}$.

    Der rote Kreis ist der Inkreis des Dreiecks. Dessen Mittelpunkt $M$ ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Die Strecken $\overline{MP}$, $\overline{MQ}$ sowie $\overline{MR}$ haben jeweils die gleiche Länge wie der Radius. Insbesondere stehen diese Strecken senkrecht auf der entsprechenden Dreieckseite.

    Du kannst drei Paare zueinander kongruenter rechtwinkliger Dreiecke in diesem Dreieck einzeichnen:

    • $\Delta_{AQM}$ sowie $\Delta_{ARM}$: Diese beiden Dreiecke siehst du hier grün eingefärbt.
    • $\Delta_{BPM}$ sowie $\Delta_{BRM}$
    • $\Delta_{CQM}$ sowie $\Delta_{CPM}$
    Der Umfang eines Kreises ist die Summe seiner Seiten $u=a+b+c$.

  • Ermittle den Flächeninhalt des Inkreises.

    Tipps

    Berechne zunächst den Radius. Setze dann $r^2$ in die Formel ein.

    Verwende die Formel für den Radius:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

    Lösung

    Du musst zunächst den Radius des Inkreises berechnen. Diesen benötigst du für die Flächeninhaltsberechnung.

    Du verwendest die Formel für den Radius:

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{(u-2a)\cdot (u-2b)\cdot (u-2c)}{ u}}$

    Es gilt:

    $u=15~\text{cm}+20~\text{cm}+25~\text{cm}=60~\text{cm}$

    Damit erhältst du (ohne die Angabe von Maßeinheiten):

    $r=\frac12\cdot \sqrt{\frac{30\cdot 20\cdot 10}{60}}=\frac12\cdot\sqrt{100}=5$

    Der Radius beträgt also $5~\text{cm}$. Nun kannst du diesen Radius in die Formel für den Flächeninhalt des Kreises einsetzen. Dies führt zu $A_\circ=\pi\cdot (5~\text{cm})^2=25\cdot \pi~\text{cm}^2\approx78,5~\text{cm}^2$.

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