Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – anschaulich erklärt

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – anschaulich erklärt Übung

• Gib den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.

  Tipps

  Beachte die Reihenfolge der Differenzbildung.

  Schaue dir das Beispiel der konstanten Funktion $f(x)=2$ an. Eine Stammfunktion ist gegeben durch $F(x)=2x$.

  Der Flächeninhalt über dem Intervall $[2;5]$ beträgt $3\cdot 2=6$.

  Prüfe damit den obigen Satz.

  Lösung

  Links des Gleichheitszeichens steht das bestimmte Integral der Funktion $f(x)$ über dem Intervall $[a;b]$.

  Rechts vom Gleichheitszeichen steht eine Differenz von Funktionswerten:

  • $F(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$, das heißt $F'(x)=f(x)$.
  • Du wertest diese Stammfunktion an der oberen Grenze ($F(b)$) aus und ziehst davon den Wert Stammfunktion an der unteren Grenze ($F(a)$) ab.

  Wenn der Funktionsgraph der Funktion $f(x)$ über dem Intervall $[a;b]$ komplett oberhalb der x-Achse liegt, gibt das bestimmte Integral den Flächeninhalt an, welcher von dem Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen wird.

  Schauen wir uns dies an einem ersten Beispiel an:

  • $f(x)=2$
  • Eine Stammfunktion ist gegeben durch $F(x)=2x$.
  • Da die Funktion parallel zur $x$-Achse ist, ergibt sich bei der Fläche ein Rechteck. Der Flächeninhalt über dem Intervall $[2;5]$ beträgt deshalb $3\cdot 2=6$.

  Dies prüfen wir nun mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_2^5~2~dx=2\cdot 5-2\cdot 2=10-4=6$ ✓

• Ergänze die Erklärung zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

  Tipps

  Beachte: Eine Stammfunktion einer konstanten Funktion $f(x)=c$ ist $F(x)=c\cdot x$.

  Der Graph ist eine steigende Gerade, sofern $c>0$ ist.

  Wenn du die Fläche bei wachsender rechter Intervallgrenze berechnest, fügst du immer mehr Fläche hinzu.

  Dies gilt nur bei Funktionsgraphen, welche oberhalb der x-Achse liegen.

  Lösung

  Schauen wir uns einmal eine stückweise konstante Funktion an. Deren Funktionsgraph ist links zu sehen.

  Wenn du nun die eingeschlossene Fläche berechnest, erhältst du den rechten Funktiongraphen. Die zugehörige Funktion ist die Flächeninhaltsfunktion oder, unter gewissen Voraussetzungen, die Stammfunktion.

  Du weißt sicher, dass die Ableitung der Stammfunktion die Funktion selbst ist. Die Ableitung steht für die Steigung einer Funktion.

  Ganz links (rot) steigt die Flächeninhaltsfunktion nicht so stark. Im grünen Bereich steigt sie sehr viel stärker an. Dies liegt daran, dass der rote Balken kleiner ist als der grüne.

  Abschließend schauen wir uns noch einmal das Flächenstück an, welches von dem Graphen der Funktion und der x-Achse in den Grenzen von $a$ bis $b$ eingeschlossen wird (unteres Bild in der Aufgabenstellung). Es geht also nur um die Gesamtfläche der orangen, violetten und gelben Balken. Du subtrahierst also von der Fläche bis $b$, also $F(b)$, die bis $a$, also $F(a)$.

  Dies ist gerade die Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

• Gib zu der jeweiligen Funktion eine Stammfunktion an.

  Tipps

  Es gilt die Potenzregel der Integration:

  • Sei $f(x)=x^n$, $n\neq -1$ gegeben.
  • Dann ist $F(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$.

  Dabei ist $c$ die sogenannte Integrationskonstante. Durch die Subtraktion bei der bestimmten Integration fällt diese weg.

  Du kannst dir also merken: Eine Stammfunktion von einer Funktion vom Grad $n$ muss den Grad $n+1$ haben.

  Lösung

  Um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden zu können, benötigst du eine Stammfunktion $F(x)$ der zu integrierenden Funktion $f(x)$.

  Merke dir: $F'(x)=f(x)$

  In dieser Aufgabe üben wir mit Potenzfunktionen $f(x)=x^n$, $n\neq -1$. Dann kannst du mit Hilfe der Potenzregel der Integration eine Stammfunktion bestimmen:

  $F(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$, dabei ist $c$ die Integrationskonstante.

  • $f(x)=x^3$, dann ist $F(x)=\frac14x^4+c$.
  • $f(x)=x^2$, dann ist $F(x)=\frac13x^3+c$.
  • $f(x)=x^5$, dann ist $F(x)=\frac16x^6+c$.
  • $f(x)=x^4$, dann ist $F(x)=\frac15x^5+c$.

• Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, um das bestimmte Integral zu berechnen.

  Tipps

  Beachte: Jede Funktion $F(x)$, für die $F'(x)=f(x)$ gilt, wird als Stammfunktion von $f(x)$ bezeichnet.

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

  Durch das oben angegebene bestimmte Integral wird der Inhalt der hier orange markierten Fläche berechnet.

  Lösung

  Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2$. Um das bestimmte Integral dieser Funktion in den Grenzen von $1$ bis $3$ zu berechnen, benötigen wir zunächst eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$. Hier siehst du eine mögliche Stammfunktion:

  $F(x)=\frac13x^3+3$.

  Du kannst nachweisen, dass dies wirklich eine Stammfunktion ist, indem du diese ableitest:

  $F'(x)=\left(\frac13x^3+3\right)'=\frac13\cdot 3x^2=x^2$ ✓

  Nun kannst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

  $\begin{array}{rcl} \int\limits_1^3~x^2~dx&=&\left[\frac13x^3+3\right]_1^3\\ &=&\frac13\cdot 3^3+3-\left(\frac13\cdot 1^3+3\right)\\ &=&\frac13\cdot 3^3-\frac13\cdot 1^3\\ &=&9-\frac13\\ &=&\frac{26}3=8,\bar 6 \end{array}$

  Da der Funktionsgraph im zu berechnenden Intervall über der $x$-Achse ist, ist $8,\bar 6$ [FE] der Inhalt der orange markierten Fläche.

  Bei dem Schritt von der zweiten zur dritten Zeile kannst du erkennen, dass die Integrationskonstante (hier $3$) bei der bestimmten Integration wegfällt.

• Gib an, welcher Graph zu welcher Funktion gehört.

  Tipps

  Die Ableitung einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ ist $f'(x)=m$, der Faktor vor der Variablen $x$.

  Der Graph einer konstanten Funktion verläuft parallel zur x-Achse.

  Die Ableitung der linearen Funktion $f(x)=5x$ ist die konstante Funktion $f'(x)=5$.

  Lösung

  In dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendest du eine Stammfunktion $F(x)$ der zu integrierenden Funktion $f(x)$.

  Es gilt $F'(x)=f(x)$.

  Schaue dir den rechten Funktionsgraphen an. Die zugehörige Funktion ist stückweise linear. Das bedeutet, dass sie jeweils auf einem Intervall gleich $k\cdot x$ ist. Deren Ableitung ist die Konstante $k$. Also ist die Ableitungsfunktion eine stückweise konstante Funktion. Den Graph dieser siehst du links.

• Prüfe die folgenden Aussagen zum bestimmten Integral.

  Tipps

  Du kannst die Aussagen jeweils mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung prüfen:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

  Hier siehst du das bestimmte Integral veranschaulicht. Dabei betrachten wir folgende Addition:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_b^c~f(x)~dx$

  Lösung

  Du kannst jede der Aussagen mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung überprüfen:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

  Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

  Der Term $\int\limits_a^b~f(x)~dx$ wird als bestimmtes Integral bezeichnet, da es Integralgrenzen $a$ und $b$ gibt.

  Für dieses kannst du die folgenden Aussagen verifizieren:

  • $\int\limits_a^a~f(x)~dx=F(a)-F(a)=0$: Wenn obere und untere Integrationsgrenze übereinstimmen, ist der Wert des bestimmten Integrals immer $0$.
  • $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int\limits_b^a~f(x)~dx$: Wenn du die Integrationsgrenzen, also $a$ und $b$, vertauschst, ändert sich das Vorzeichen bei dem bestimmten Integral.
  • Die Intervalladditivität siehst du anschaulich in dem Bild. Für $a<b<c$ gilt:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_b^c~f(x)~dx=F(b)-F(a)+F(c)-F(b)=F(c)-F(a)=\int\limits_a^c~f(x)~dx$

  • Schließlich gilt für $a<b<c<d$:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_c^d~f(x)~dx=\int\limits_a^d~f(x)~dx-\int\limits_b^c~f(x)~dx$

  Auch dies kann wieder mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nachgewiesen werden:

  $\begin{array}{rcl} \int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_c^d~f(x)~dx&=&F(b)-F(a)+F(d)-F(c)\\ &=&F(d)-F(a)-(F(c)-F(b))\\ &=&\int\limits_a^d~f(x)~dx-\int\limits_b^c~f(x)~dx \end{array}$