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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - anschaulich erklärt 05:05 min

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Transkript Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - anschaulich erklärt

Hallo! Wenn Du weißt, was der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist und wenn Du auch weißt, unter welchen Umständen ein bestimmtes Integral die Fläche zwischen Graph und x-Achse ist, dann können wir uns jetzt einmal ansehen, wie wir diesen Hauptsatz anschaulich verstehen können. Aber zunächst schauen wir uns an, worum es eigentlich geht. Das hier ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wir haben Integral von a bis b von f(x)dx = F(b) - F(a). F ist eine Stammfunktion von f und unter bestimmten Umständen steht hier die Flächenmaßzahl der Fläche zwischen Graph und x-Achse in den Grenzen von a bis b. Ja, und genau das ist der Punkt: Warum kann man mit einer Stammfunktion eine Fläche berechnen? Laut Definition ist eine Stammfunktion eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion ergibt. Da kommt also nichts mit Fläche vor. Also, wir werden uns einen Funktionsgraphen basteln, wir werden die Flächeninhaltsfunktion dazu bilden und dann werden wir uns ganz genau ansehen, wie die Ableitung dieser Flächeninhaltsfunktion aussieht. Also, wir haben hier den Graphen einer stückweise konstanten Funktion, das schwarze hier ist der Graph, und wir haben hier den Graphen der zugehörigen Flächeninhaltsfunktion. Das Schwarze hier ist der Graph. Naja und das ist jetzt auf solchen lustigen Papierstreifen gemalt worden, damit man schön plakativ sieht, dass hier also sich die rote Fläche aufbaut und dann kommt noch die grüne Fläche hinzu und dann kommt die orangene Fläche hinzu, sodass wir also gut erkennen können, dass zum Beispiel an dieser Stelle der Funktionswert der Flächeninhaltsfunktion eben gleich dem Flächeninhalt ist, der durch diese Funktion bis zu dieser Stelle hier sich zwischen Graph und x-Achse befindet. Schauen wir uns mal die Steigung der Flächeninhaltsfunktion an, dann sehen wir hier ist die Steigung noch nicht so groß und die Funktionswerte sind auch nicht so groß und hier sind die Funktionswerte größer und die Steigung hier ist auch größer. Wir können das auch noch genauer angeben. Schauen wir uns einmal hier diesen grünen Bereich an. Wir können die Steigung der Flächeninhaltsfunktion mit diesem Steigungsdreieck hier bestimmen, wir teilen diese Streckenlänge durch diese. Diese Streckenlänge ist gleich eins, also ist die Steigung diese Streckenlänge. Das heißt aber auch, dass die Steigung im grünen Bereich gleich den Funktionswerten im grünen Bereich ist. Und das bedeutet, dass die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion gleich der Ausgangsfunktion ist, was wiederum auch heißt, dass die Flächeninhaltsfunktion eine Stammfunktion der Ausgangsfunktion ist. Jetzt steht im Hauptsatz noch etwas von Grenzen. Wir berechnen die Fläche in den Grenzen von a bis b, indem wir F(b) - F(a) rechnen. Wie können wir das verstehen? Das können wir vielleicht auch noch eben klären. Also, wir nehmen uns erstmal Grenzen. Zwar sind der Fantasie keine Grenzen gesetzt, aber in dem Fall wollen wir uns einmal welche setzen. Entschuldigung, der musste jetzt mal heraus. Hier haben wir die Grenzen a und b und da auch. Wir nehmen jetzt eine Stammfunktion und wir nehmen den Funktionswert bei b, das ist der hier. Wir nehmen dieselbe Stammfunktion und ziehen den Funktionswert bei a ab. Das mache ich jetzt mal hier. Und hier interessiert uns jetzt diese Fläche nicht mehr. Wir wollen die Fläche zwischen a und b berechnen, also in den Grenzen von a bis b. Und dann sehen wir hier, dass die Differenz der Funktionswerte gleich dem Flächeninhalt ist, der sich hier zwischen Graph und x-Achse befindet und zwar in den Grenzen von a bis b. Tja, so schnell kann es gehen. Wir haben also gesehen, dass wir auch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf einen Blick verstehen können. Und so ist das oft in der Mathematik, gerade bei den richtig dicken Dingern, also bei den großen Gesetzen. Die Erklärung ist schon mal ziemlich einfach, weil eine einfache und geniale Idee dahinter steckt. Das war es dazu, viel Spaß damit. Tschüss!

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - anschaulich erklärt Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - anschaulich erklärt kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.

    Tipps

    Beachte die Reihenfolge der Differenzbildung.

    Schaue dir das Beispiel der konstanten Funktion $f(x)=2$ an. Eine Stammfunktion ist gegeben durch $F(x)=2x$.

    Der Flächeninhalt über dem Intervall $[2;5]$ beträgt $3\cdot 2=6$.

    Prüfe damit den obigen Satz.

    Lösung

    Links des Gleichheitszeichens steht das bestimmte Integral der Funktion $f(x)$ über dem Intervall $[a;b]$.

    Rechts vom Gleichheitszeichen steht eine Differenz von Funktionswerten:

    • $F(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$, das heißt $F'(x)=f(x)$.
    • Du wertest diese Stammfunktion an der oberen Grenze ($F(b)$) aus und ziehst davon den Wert Stammfunktion an der unteren Grenze ($F(a)$) ab.
    Wenn der Funktionsgraph der Funktion $f(x)$ über dem Intervall $[a;b]$ komplett oberhalb der x-Achse liegt, gibt das bestimmte Integral den Flächeninhalt an, welcher von dem Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen wird.

    Schauen wir uns dies an einem ersten Beispiel an:

    • $f(x)=2$
    • Eine Stammfunktion ist gegeben durch $F(x)=2x$.
    • Da die Funktion parallel zur $x$-Achse ist, ergibt sich bei der Fläche ein Rechteck. Der Flächeninhalt über dem Intervall $[2;5]$ beträgt deshalb $3\cdot 2=6$.
    Dies prüfen wir nun mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\int\limits_2^5~2~dx=2\cdot 5-2\cdot 2=10-4=6$ ✓

  • Ergänze die Erklärung zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

    Tipps

    Beachte: Eine Stammfunktion einer konstanten Funktion $f(x)=c$ ist $F(x)=c\cdot x$.

    Der Graph ist eine steigende Gerade, sofern $c>0$ ist.

    Wenn du die Fläche bei wachsender rechter Intervallgrenze berechnest, fügst du immer mehr Fläche hinzu.

    Dies gilt nur bei Funktionsgraphen, welche oberhalb der x-Achse liegen.

    Lösung

    Schauen wir uns einmal eine stückweise konstante Funktion an. Deren Funktionsgraph ist links zu sehen.

    Wenn du nun die eingeschlossene Fläche berechnest, erhältst du den rechten Funktiongraphen. Die zugehörige Funktion ist die Flächeninhaltsfunktion oder, unter gewissen Voraussetzungen, die Stammfunktion.

    Du weißt sicher, dass die Ableitung der Stammfunktion die Funktion selbst ist. Die Ableitung steht für die Steigung einer Funktion.

    Ganz links (rot) steigt die Flächeninhaltsfunktion nicht so stark. Im grünen Bereich steigt sie sehr viel stärker an. Dies liegt daran, dass der rote Balken kleiner ist als der grüne.

    Abschließend schauen wir uns noch einmal das Flächenstück an, welches von dem Graphen der Funktion und der x-Achse in den Grenzen von $a$ bis $b$ eingeschlossen wird (unteres Bild in der Aufgabenstellung). Es geht also nur um die Gesamtfläche der orangen, violetten und gelben Balken. Du subtrahierst also von der Fläche bis $b$, also $F(b)$, die bis $a$, also $F(a)$.

    Dies ist gerade die Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

  • Gib zu der jeweiligen Funktion eine Stammfunktion an.

    Tipps

    Es gilt die Potenzregel der Integration:

    • Sei $f(x)=x^n$, $n\neq -1$ gegeben.
    • Dann ist $F(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$.
    Dabei ist $c$ die sogenannte Integrationskonstante. Durch die Subtraktion bei der bestimmten Integration fällt diese weg.

    Du kannst dir also merken: Eine Stammfunktion von einer Funktion vom Grad $n$ muss den Grad $n+1$ haben.

    Lösung

    Um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden zu können, benötigst du eine Stammfunktion $F(x)$ der zu integrierenden Funktion $f(x)$.

    Merke dir: $F'(x)=f(x)$

    In dieser Aufgabe üben wir mit Potenzfunktionen $f(x)=x^n$, $n\neq -1$. Dann kannst du mit Hilfe der Potenzregel der Integration eine Stammfunktion bestimmen:

    $F(x)=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$, dabei ist $c$ die Integrationskonstante.

    • $f(x)=x^3$, dann ist $F(x)=\frac14x^4+c$.
    • $f(x)=x^2$, dann ist $F(x)=\frac13x^3+c$.
    • $f(x)=x^5$, dann ist $F(x)=\frac16x^6+c$.
    • $f(x)=x^4$, dann ist $F(x)=\frac15x^5+c$.
  • Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, um das bestimmte Integral zu berechnen.

    Tipps

    Beachte: Jede Funktion $F(x)$, für die $F'(x)=f(x)$ gilt, wird als Stammfunktion von $f(x)$ bezeichnet.

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

    wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist.

    Durch das oben angegebene bestimmte Integral wird der Inhalt der hier orange markierten Fläche berechnet.

    Lösung

    Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2$. Um das bestimmte Integral dieser Funktion in den Grenzen von $1$ bis $3$ zu berechnen, benötigen wir zunächst eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$. Hier siehst du eine mögliche Stammfunktion:

    $F(x)=\frac13x^3+3$.

    Du kannst nachweisen, dass dies wirklich eine Stammfunktion ist, indem du diese ableitest:

    $F'(x)=\left(\frac13x^3+3\right)'=\frac13\cdot 3x^2=x^2$ ✓

    Nun kannst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

    $\begin{array}{rcl} \int\limits_1^3~x^2~dx&=&\left[\frac13x^3+3\right]_1^3\\ &=&\frac13\cdot 3^3+3-\left(\frac13\cdot 1^3+3\right)\\ &=&\frac13\cdot 3^3-\frac13\cdot 1^3\\ &=&9-\frac13\\ &=&\frac{26}3=8,\bar 6 \end{array}$

    Da der Funktionsgraph im zu berechnenden Intervall über der $x$-Achse ist, ist $8,\bar 6$ [FE] der Inhalt der orange markierten Fläche.

    Bei dem Schritt von der zweiten zur dritten Zeile kannst du erkennen, dass die Integrationskonstante (hier $3$) bei der bestimmten Integration wegfällt.

  • Gib an, welcher Graph zu welcher Funktion gehört.

    Tipps

    Die Ableitung einer linearen Funktion $f(x)=mx+b$ ist $f'(x)=m$, der Faktor vor der Variablen $x$.

    Der Graph einer konstanten Funktion verläuft parallel zur x-Achse.

    Die Ableitung der linearen Funktion $f(x)=5x$ ist die konstante Funktion $f'(x)=5$.

    Lösung

    In dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendest du eine Stammfunktion $F(x)$ der zu integrierenden Funktion $f(x)$.

    Es gilt $F'(x)=f(x)$.

    Schaue dir den rechten Funktionsgraphen an. Die zugehörige Funktion ist stückweise linear. Das bedeutet, dass sie jeweils auf einem Intervall gleich $k\cdot x$ ist. Deren Ableitung ist die Konstante $k$. Also ist die Ableitungsfunktion eine stückweise konstante Funktion. Den Graph dieser siehst du links.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zum bestimmten Integral.

    Tipps

    Du kannst die Aussagen jeweils mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung prüfen:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Hier siehst du das bestimmte Integral veranschaulicht. Dabei betrachten wir folgende Addition:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_b^c~f(x)~dx$

    Lösung

    Du kannst jede der Aussagen mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung überprüfen:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Der Term $\int\limits_a^b~f(x)~dx$ wird als bestimmtes Integral bezeichnet, da es Integralgrenzen $a$ und $b$ gibt.

    Für dieses kannst du die folgenden Aussagen verifizieren:

    • $\int\limits_a^a~f(x)~dx=F(a)-F(a)=0$: Wenn obere und untere Integrationsgrenze übereinstimmen, ist der Wert des bestimmten Integrals immer $0$.
    • $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int\limits_b^a~f(x)~dx$: Wenn du die Integrationsgrenzen, also $a$ und $b$, vertauschst, ändert sich das Vorzeichen bei dem bestimmten Integral.
    • Die Intervalladditivität siehst du anschaulich in dem Bild. Für $a<b<c$ gilt:
    $\int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_b^c~f(x)~dx=F(b)-F(a)+F(c)-F(b)=F(c)-F(a)=\int\limits_a^c~f(x)~dx$

    • Schließlich gilt für $a<b<c<d$:
    $\int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_c^d~f(x)~dx=\int\limits_a^d~f(x)~dx-\int\limits_b^c~f(x)~dx$

    Auch dies kann wieder mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nachgewiesen werden:

    $\begin{array}{rcl} \int\limits_a^b~f(x)~dx+\int\limits_c^d~f(x)~dx&=&F(b)-F(a)+F(d)-F(c)\\ &=&F(d)-F(a)-(F(c)-F(b))\\ &=&\int\limits_a^d~f(x)~dx-\int\limits_b^c~f(x)~dx \end{array}$