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Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision 07:12 min

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Transkript Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision

Du hast Polynomfunktionen ersten Grades schon kennengelernt? - Geradengleichungen sind okay! Polynomfunktionen zweiten Grades, also quadratische Gleichungen, können dich auch nicht mehr umhauen? Basiswerkzeuge wie die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel sind dir geläufig? Aber wie sieht es mit höheren Polynomgleichungen aus? Um Polynomgleichungen dritten Grades mit Absolutglied zu lösen, lernst du in diesem Video die Polynomdivision kennen. Eine Gleichung 3. Grades erkennst du daran, dass der höchste Exponent von x drei ist. Eine solche Gleichung wird auch kubische Gleichung genannt. Sie besteht allgemein aus dem kubischen Glied, dem quadratischen, dem linearen und dem Absolutglied, was auch konstantes Glied genannt wird. Lass uns nun die möglichen Lösungen einer solchen Gleichung ansehen und davon ausgehen, dass wir für x nach Reellwertigen Lösungen suchen. Am Grad der Polynomgleichung erkennst du allgemein die maximale Anzahl an Lösungen! Wie am zugehörigen Funktionsgraphen jeweils zu erkennen ist, haben Polynomgleichungen ersten Grades maximal eine Lösung, Polynomgleichungen zweiten Grades maximal zwei Lösungen und Polynomgleichungen dritten Grades? Maximal drei Lösungen! Genauer gesagt haben sie entweder drei Lösungen, zwei Lösungen oder ein Lösung. Zumindest eine Lösung besitzt aber jede kubische Gleichung. Gehen wir einmal die groben Schritte zum Lösen einer kubischen Gleichung durch. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra, lässt sich jedes kubische Polynom zerlegen in einen sogenannten Linear-Faktor und einen quadratischen Faktor. Hat dein Lehrer dir schon einmal vom Satz vom Nullprodukt erzählt? Du hast hier ein Produkt vor dir, das Null ergibt, deshalb muss DER Faktor Null sein oder DER Faktor. Von den möglichen drei Lösungen der kubischen Gleichung versteckt sich im Linearfaktor die erste Lösung "x 1". Zum Abschluss untersuchst du noch den quadratischen Faktor nach den beiden möglichen weiteren Lösungen. Aber wie kommen wir denn von der kubischen Gleichung zu diesen Faktoren? Du kannst das in zwei Schritten herausfinden: Dein erster Schritt hierbei ist die Ermittlung der ersten Lösung "x 1" und der zweite Schritt ist die Polynomdivision. Lass uns nach diesem Muster zusammen die kubische Gleichung lösen! Wir wollen also die erste Lösung "x 1" bestimmen. Dafür notieren wir vom Absolutglied die Teiler, sowie die Teiler mit negativem Vorzeichen. Die setzen wir nun probeweise für x ein und schauen, ob Null herauskommt. Wir haben Glück! Denn direkt der erste Wert "1" ist eine Lösung der kubischen Gleichung! Die Lösung halten schon einmal fest. Damit machen wir uns an die Polynomdivision, teilen also das gegebene kubische Polynom durch den Linearfaktor. Dabei ist "x 1" unsere erste Lösung. Also los: Wir teilen das höchste Glied durch x. Dafür stellst du dir am besten vor: "WAS mal x" ergibt das höchste Glied? Mit diesem Ergebnis müssen wir Rück-multiplizieren und zwar mit "x" und mit "minus 1". Den erhaltenen Term ziehen wir von unserem Polynom ab, wobei wir immer auf die Minusklammer achten! Zu dem erhaltenen Rest ziehen wir das nächste Glied herunter. Und wieder von vorne: Wir fragen uns: "WAS mal x" ergibt das höchste Glied? Mit unserem Ergebnis multiplizieren wir zurück einmal mit x und noch einmal mit "minus 1". Den erhaltenen Term ziehen wir ab, wobei wir wieder auf die Minusklammer achten! Zu dem erhaltenen Rest ziehen wir das nächste Glied herunter. Und ein drittes Mal: "WAS mal x" ergibt das höchste Glied? Mit dem Ergebnis multiplizieren wir mit "x" zurück und mit "minus 1". Beim Abziehen achten wir wieder auf die Minusklammer. Der Rest ist Null! Wir haben den quadratischen Faktor bestimmt! Das kubische Polynom geteilt durch den Linearfaktor ergibt also diesen quadratischen Faktor. Diese Zeile können wir als Gleichung ansehen, in der wir auf beiden Seiten mit dem Linearfaktor multiplizieren. Demnach zerlegt sich das kubische Polynom genau in dieses Produkt. Unsere eigentliche kubische Gleichung, können wir mit dieser Hilfe also auch anders darstellen. Jetzt erinnern wir uns an den Satz vom Nullprodukt. Die Lösung aus dem linearen Faktor haben wir schon als "x 1" bestimmt. Diese quadratischen Gleichung enthält nun die mögliche zweite und dritte Lösung der kubischen Gleichung. Für die Lösung benutzt du zum Beispiel die p-q-Formel, die Mitternachts-Formel oder den Satz von Vieta. Wir gelangen hier so oder so zu zwei weiteren Lösungen der kubischen Gleichung. Ergänzend können wir uns noch die graphische Darstellung der Lösungen anschauen. Betrachten wir von dem zugehörigen kubischen Polynom den Funktionsgraphen, dann entsprechen die drei Lösungen unser Gleichungen genau diesen drei Nullstellen! Lass uns das alles zusammenfassen. Eine Funktion 3. Grades mit Absolutglied löst du so: Die erste Lösung bestimmst du mithilfe der Teiler des absoluten Glieds. Danach führst du die Polynomdivision durch, um den quadratischen Faktor zu ermitteln. Deine kubische Gleichung kannst du nun mit Faktoren schreiben. Nach dem Satz vom Nullprodukt musst du den quadratischen Faktor gleich null setzen. Dann erhältst du die möglichen weiteren beiden Nulstellen. Die Lösungsmenge besteht immer insgesamt aus mindestens einer und höchstens drei Lösungen. Hey, super, dass du durchgehalten hast!Gönn dir doch eine kleine Pause und mach's wie Julia die denkt nach einer Gleichung dritten Grades gern an 30 Grad und Palmenstrand!

Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die Glieder der Polynome.

    Tipps

    Quadratische Terme sind durch die zweite Potenz bestimmt.

    Lineare Terme sind nicht konstant.

    Konstant bedeutet „nicht veränderlich“ und „ständig gleichbleibend“.

    Lösung

    Ein kubisches Polynom ist ein Polynom, bei dem $x^3$ die höchste Potenz der Variablen $x$ ist. Bei einem kubischen Polynom sortiert man die Glieder nach Potenzen der Variablen $x$. Das kubische Glied besteht aus allen kubischen Termen, d.h. Termen der Form $x^3$ multipliziert mit einem Koeffizienten. Das quadratische Glied enthält alle quadratischen Glieder, d.h. Terme der Form $x^2$ multipliziert mit Koeffizienten. Das lineare Glied besteht aus den linearen Termen. Diese sind Terme der Form $x$ multipliziert mit Koeffizienten. Das Absolutglied schließlich besteht aus allen konstanten Termen.

    Die Glieder der beiden angegebenen Polynome sind also:

    kubisches Glied:

    • $ax^3$
    • $x^3$
    quadratisches Glied:
    • $bx^2$
    • $-2x^2$
    lineares Glied:
    • $cx$
    • $-5x$
    Absolutglied:
    • $d$
    • $6$

  • Gib eine Lösung der Gleichung dritten Grades an.

    Tipps

    Die Teiler einer ganzen Zahl $n$ sind alle ganzen Zahlen, durch die sich $n$ ohne Rest teilen lässt.

    Die Teiler von $15$ sind $1$, $3$, $5$ und $15$.

    Den Linearfaktor, durch den du das Polynom $f$ teilen kannst, ist von der Form $(x-x_1)$. Hierbei ist $x_1$ die zuvor bestimmte Nullstelle von $f$.

    Lösung

    Das Polynom $x^3 -2x^2 -5x +6=0$ ist dritten Grades und hat daher mindestens eine Nullstelle. Oft ist ein Teiler des Absolutglieds oder das Negative eines Teilers eine Nullstelle.

    Das Absolutglied des Polynoms ist der konstante Term $6$. Die Teiler von $6$ sind $1$, $2$, $3$ und $6$. Die Negativen der Teiler sind $-1$, $-2$, $-3$ und $-6$.

    Um eine Lösung der Gleichung dritten Grades zu finden, setzen wir die Teiler des Absolutglieds und ihre Negativen in das Polynom ein. Für $x=-1$ erhalten wir:

    $f(-1)= (-1)^3 -2\cdot (-1)^2 -5 \cdot (-1) + 6 = -1 -2 \cdot 1 - 5 \cdot (-1) + 6 = 8$.

    Für $x=1$ erhalten wir:

    $f(1)= 1^3 -2\cdot 1^2 -5 \cdot 1 + 6 = 1 -2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 + 6 = 0$.

    Damit ist $x=1$ eine Nullstelle. Der zugehörige Linearfaktor ist:

    $(x-1)$.

    Durch diesen Linearfaktor kann man das Polynom dividieren, um weitere Nullstellen zu finden.

  • Benenne die Eigenschaften der Polynome.

    Tipps

    Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.

    Die Gleichung $x^2-x-2=0$ hat zwei Lösungen.

    Ist $a \cdot b =0$, so ist $a=0$ oder $b=0$.

    Lösung

    Wir betrachten die Lösungen einer Gleichung höheren Grades. Die Lösungen einer solchen Gleichung sind die Nullstellen eines Polynoms $f$. Hat das Polynom $f$ den Grad $n$, so nennt man die Gleichung $f(x)=0$ eine Gleichung $n$-ten Grades.

    Der Grad des Polynoms ist die höchste vorkommende Potenz der Variablen $x$. Ein Polynom vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. Am Funktionsgraphen eines Polynoms zweiten oder dritten Grades kann man erkennen, dass ein solches Polynom auch weniger Nullstellen haben kann.

    Ist der Grad einer Gleichung eine ungerade Zahl, so hat die Gleichung mindestens eine Lösung. Das trifft also für Gleichungen ersten und dritten Grades zu, aber nicht für Gleichungen zweiten Grades.

    Den Satz vom Nullprodukt benutzt man, um aus der Zerlegung eines Polynoms dritten Grades in einen Linearfaktor und einen quadratischen Faktor die Nullstellen zu bestimmen: Ist das Produkt $0$, so muss einer der Faktoren $0$ sein, d.h., die Nullstellen des kubischen Polynoms sind die Nullstellen des quadratischen und linearen Faktors.

    Richtig sind demnach folgende Aussagen:

    • „Eine Gleichung dritten Grades hat mindestens eine Lösung.“
    • „Eine Gleichung dritten Grades hat höchstens drei Lösungen.“
    • „Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.“
    • „Der Grad einer Polynomgleichung ist die maximale Anzahl der Lösungen.“
    Falsch sind dagegen die folgenden Aussagen:

    • „Eine Gleichung dritten Grades hat genau drei Lösungen.“ Die Gleichung $x^3 + x^2 =0$ hat nur zwei Lösungen.
    • „In einer Gleichung dritten Grades ist der höchste Exponent von $x$ mindestens $3$.“ In der Gleichung $x^4=0$ ist der höchste Exponent $4$, also mindestens $3$, aber die Gleichung ist vierten Grades.
    • „Die Anzahl der Lösungen einer Polynomgleichung ist die Anzahl der Glieder des Polynoms.“ Das Polynom in der Gleichung $x^2-x-2=0$ hat drei Glieder, aber nur die beiden Lösungen $x=-1$ und $x=2$.
  • Erschließe den quadratischen Faktor.

    Tipps

    Das Produkt der Absolutglieder des quadratischen und des linearen Faktors ist das Absolutglied des kubischen Polynoms.

    Dividiere $x^3$ durch $x$, um das quadratische Glied des quadratischen Faktors zu bestimmen.

    Lösung

    Für die Polynomdivision ergänzen wir zunächst das Polynom $x^3 + 1$ zu $x^3 + 0x^2 + 0x +1$. Dann führen wir die Polynomdivision durch. Division von $x^3$ durch $x$ liefert $x^2$. Multiplikation von $x^2$ mit $(x-1)$ ergibt $x^3-x^2$. Wir subtrahieren dann $x^3-x^2$ von $x^3-0x^2$ und erhalten $x^2 + 0x^1$. Damit verfahren wir wie am Anfang: Division durch $x$, Multiplikation des Ergebnisses mit $(x-1)$, Subtraktion von $x^2+0x^1$ usw.

    Die vollständige Polynomdivision sieht dann so aus:

    $ \begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& 0x^2& 0x^1& +1)&:&(x+1)&=&x^2 -x +1\\ -&(x^3 & +x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &\\ &-&(-x^2 & -x)\\ & & &x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(x&+1) \\ & & & & 0 \end{array} $

  • Ermittle den quadratischen Faktor.

    Tipps

    Führe die Polynomdivision wie in diesem Besipiel durch. Dividiere den Term höchster Potenz in dem Polynom durch den Term der höchsten Potenz im Teiler. Multipliziere das Ergebnis der Division dann mit dem Teiler $(x-1)$ und subtrahiere dieses Ergebnis von dem zu teilenden Polynom.

    Beginne die Polynomdivision ähnlich wie die Division von Dezimalzahlen mit dem höchsten Term, d.h. mit dem Term höchster Potenz. Divdiere $x^3$ durch $x$ und notiere das Resultat hinter dem Gleichheitszeichen.

    Multipliziere das Ergebnis der Division mit dem Teiler $(x-1)$ und trage dies in die zweite Zeile ein. Subtrahiere die zweite Zeile von der ersten und beginne dann wieder mit der Division durch $x$.

    Lösung

    Bei der Polynomdivision gehst Du folgendermaßen vor: Du dividierst zuerst den Term mit höchsten Potenz, also $x^3$, durch $x$ und schreibst das Ergebnis, also $x^2$, hinter das Gleichheitszeichen. Jetzt multiplizierst Du dieses $x$ mit dem Teiler $(x-1)$ und erhältst $x^3-x^2$. Das schreibst Du in die zweite Zeile unter die beiden ersten Terme des Polynoms $x^3 -2x^2 -5x +1$. Dann subtrahierst Du $x^3-x^2$ von $x^3 -2x^2 -5x +1$. In die dritte Zeile schreibst Du von dem Ergebnis der Subtraktion die beiden Terme höchster Potenz. Dann verfährst Du wieder wie zuvor: Division durch $x$, Notieren des Ergebnisses, Multiplikation mit $(x-1)$ und Subtraktion. So verfährst Du, bis kein Term mehr übrig ist, den Du noch durch $x$ dividieren kannst.

    Die vollständige Polynomdivision sieht dann so aus:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& -2x^2& -5x& +1)&:&(x-1)&=&x^2 -x +6\\ -&(x^3 & -x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &-5x\\ &-&(-x^2 & +x)\\ & & &-6x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(-6x&+1) \\ \end{array}$

  • Erschließe die zugehörigen Faktoren.

    Tipps

    Führe die Polynomdivisionen mit dem Linearfaktor $(x-1)$ wie in diesem Beispiel. Zur Erinnerung wird hier in dem Bild der Anfang der Polynomdivision gezeigt.

    Das Absolutglied des kubischen Polynoms ist das Produkt aus den Absolutgliedern des quadratischen und des linearen Faktors. Damit kannst du prüfen, ob du die Polynomdivision richtig durchgeführt hast.

    Der Koeffizient des kubischen Terms ist das Produkt der Terme mit der jeweils höchsten Potenz in dem quadratischen und dem linearen Faktor. Hiermit kannst du ebenfalls die Polynomdivision überprüfen, z.B. ist $2x^3-x^2-2x+1$ nicht das Produkt aus dem quadratischen Faktor $x^2-x-6$ und dem Linearfaktor $x-1$, weil der Koeffizient von $x^3$ ja $2$ ist, das Produkt der Koeffizienten von $x^2$ aus dem quadratischen Faktor und $x$ aus dem Linearfaktor aber $1$.

    Lösung

    Wir führen die einzelnen Polynomdivisionen mit dem Linearfaktor $(x-1)$ durch. Zuerst dividieren wir den Term höchster Potenz, also den $x^3$-Term durch $x$ und notieren das Ergebnis hinter dem Gleichheitszeichen. Dieses Ergebnis multiplizieren wir mit dem Linearfaktor $(x-1)$, schreiben es in die zweite Zeile und subtrahieren von dem Polynom. Wir erhalten in der dritten Zeile ein neues Polynom, so dass wir wieder von vorn beginnen können mit Division durch $x$, Notieren des Ergebnisses, Multiplikation mit $(x-1)$ und Subtraktion. In dieser Weise verfahren wir, bis keine Terme mehr übrig sind, die wir durch $x$ dividieren können.

    Die Polynomdivisionen im Einzelnen sehen dann so aus:

    Für das Polynom $f(x)=x^3-2x^2-5x+6$ finden wir:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& -2x^2& -5x& +1)&:&(x-1)&=&x^2 -x -6\\ -&(x^3 & -x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &-5x\\ &-&(-x^2 & +x)\\ & & &-6x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(-6x&+1) \\ & & & & 0 \end{array}$

    Für das Polynom $g(x)= 2x^3-x^2-2x+1$ sieht die Rechnung so aus:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(2x^3& -x^2& -2x& +1)&:&(x-1)&=&2x^2+x-1\\ -&(2x^3 & -2x^2) \\ &&\phantom{(} x^2 &-2x\\ &-&(x^2 & -x)\\ & & &-x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(-x&+1) \\ & & & & 0 \end{array}$

    Das Polynom $h(x)=x^3-4x^2+7x-4$ führt auf folgende Division:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& -4x^2& +7x& -4)&:&(x-1)&=&x^2-3x + 4\\ -&(x^3 & -x^2) \\ &&\phantom{(}-3x^2 &+7x\\ &-&(-3x^2 & +3x)\\ & & &4x &-4 \\ & & -&\phantom{(}(4x&-4) \\ & & & & 0 \end{array}$

    Schließlich erhalten wir für das Polynom $k(x)=2x^3-3x^2+2x-1$ die Division:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(2x^3& -3x^2& +2x& -1)&:&(x-1)&=&2x^2 -x +1 \\ -&(2x^3 & -2x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &+2x\\ &-&(-x^2 & +x)\\ & & &x &-1 \\ & & -&\phantom{(}(x&-1) \\ & & & & 0 \end{array}$