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Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision

Kubische Gleichungen beschreiben Funktionen dritten Grades mit einem Koeffizienten $a$ für die höchste Potenz von $x. Durch Polynomdivision werden sie auf quadratische Gleichungen reduziert, um ihre Lösungen zu finden. Diese Methode wird anhand eines Beispiels anschaulich erklärt. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

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Team Digital
Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen 3. Grades lösen – Polynomdivision kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib eine Lösung der Gleichung dritten Grades an.

    Tipps

    Die Teiler einer ganzen Zahl $n$ sind alle ganzen Zahlen, durch die sich $n$ ohne Rest teilen lässt.

    Die Teiler von $15$ sind $1$, $3$, $5$ und $15$.

    Den Linearfaktor, durch den du das Polynom $f$ teilen kannst, ist von der Form $(x-x_1)$. Hierbei ist $x_1$ die zuvor bestimmte Nullstelle von $f$.

    Lösung

    Das Polynom $x^3 -2x^2 -5x +6=0$ ist dritten Grades und hat daher mindestens eine Nullstelle. Oft ist ein Teiler des Absolutgliedes oder das Negative eines Teilers eine Nullstelle.

    Das Absolutglied des Polynoms ist der konstante Term $6$. Die Teiler von $6$ sind $1$, $2$, $3$ und $6$. Die Negativen der Teiler sind $-1$, $-2$, $-3$ und $-6$.

    Um eine Lösung der Gleichung dritten Grades zu finden, setzen wir die Teiler des Absolutglieds und ihre Negativen in das Polynom ein. Für $x=-1$ erhalten wir:

    $f(-1)= (-1)^3 -2\cdot (-1)^2 -5 \cdot (-1) + 6 = -1 -2 \cdot 1 - 5 \cdot (-1) + 6 = 8$

    Für $x=1$ erhalten wir:

    $f(1)= 1^3 -2\cdot 1^2 -5 \cdot 1 + 6 = 1 -2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 + 6 = 0$

    Damit ist $x=1$ eine Nullstelle. Der zugehörige Linearfaktor ist:

    $(x-1)$

    Durch diesen Linearfaktor kann man das Polynom dividieren, um weitere Nullstellen zu finden.

  • Benenne die Eigenschaften der Polynome.

    Tipps

    Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.

    Die Gleichung $x^2-x-2=0$ hat zwei Lösungen.

    Ist $a \cdot b =0$, so ist $a=0$ oder $b=0$.

    Lösung

    Wir betrachten die Lösungen einer Gleichung höheren Grades. Die Lösungen einer solchen Gleichung sind die Nullstellen eines Polynoms $f$. Hat das Polynom $f$ den Grad $n$, so nennt man die Gleichung $f(x)=0$ eine Gleichung $n$-ten Grades.

    Der Grad des Polynoms ist die höchste vorkommende Potenz der Variablen $x$. Ein Polynom vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen. Am Funktionsgraphen eines Polynoms zweiten oder dritten Grades kann man erkennen, dass ein solches Polynom auch weniger Nullstellen haben kann.

    Ist der Grad einer Gleichung eine ungerade Zahl, hat die Gleichung mindestens eine Lösung. Das trifft also für Gleichungen ersten und dritten Grades zu, aber nicht für Gleichungen zweiten Grades.

    Den Satz vom Nullprodukt benutzt man, um aus der Zerlegung eines Polynoms dritten Grades in einen Linearfaktor und einen quadratischen Faktor die Nullstellen zu bestimmen: Ist das Produkt $0$, muss einer der Faktoren $0$ sein. Das heißt, die Nullstellen des kubischen Polynoms sind die Nullstellen des quadratischen und linearen Faktors.

    Demnach sind folgende Aussagen richtig:

    • Eine Gleichung dritten Grades hat mindestens eine Lösung.
    • Eine Gleichung dritten Grades hat höchstens drei Lösungen.
    • Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
    • Der Grad einer Polynomgleichung ist die maximale Anzahl der Lösungen.

    Dagegen sind folgende Aussagen falsch:

    • Eine Gleichung dritten Grades hat genau drei Lösungen.
    Die Gleichung $x^3 + x^2 =0$ hat nur zwei Lösungen.
    • In einer Gleichung dritten Grades ist der höchste Exponent von $x$ mindestens $3$.
    In der Gleichung $x^4=0$ ist der höchste Exponent $4$, also mindestens $3$, aber die Gleichung ist vierten Grades.
    • Die Anzahl der Lösungen einer Polynomgleichung ist die Anzahl der Glieder des Polynoms.
    Das Polynom in der Gleichung $x^2-x-2=0$ hat drei Glieder, aber nur die beiden Lösungen $x=-1$ und $x=2$.
  • Ermittle den quadratischen Faktor.

    Tipps

    Führe die Polynomdivision wie in diesem Beispiel durch: Dividiere den Term höchster Potenz in dem Polynom durch den Term der höchsten Potenz im Teiler. Multipliziere das Ergebnis der Division dann mit dem Teiler $(x-1)$ und subtrahiere dieses Ergebnis von dem zu teilenden Polynom.

    Beginne die Polynomdivision ähnlich wie die Division von Dezimalzahlen mit dem höchsten Term, d. h. mit dem Term höchster Potenz. Dividiere $x^3$ durch $x$ und notiere das Resultat hinter dem Gleichheitszeichen.

    Multipliziere das Ergebnis der Division mit dem Teiler $(x-1)$ und trage dies in die zweite Zeile ein. Subtrahiere die zweite Zeile von der ersten und beginne dann wieder mit der Division durch $x$.

    Lösung

    Bei der Polynomdivision gehst du folgendermaßen vor:

    Du dividierst zuerst den Term mit höchsten Potenz, also $x^3$, durch $x$ und schreibst das Ergebnis, also $x^2$, hinter das Gleichheitszeichen.
    Jetzt multiplizierst du dieses $x$ mit dem Teiler $(x-1)$ und erhältst $x^3-x^2$. Das schreibst du in die zweite Zeile unter die beiden ersten Terme des Polynoms $x^3 -2x^2 -5x +1$.
    Dann subtrahierst du $x^3-x^2$ von $x^3 -2x^2 -5x +1$. In die dritte Zeile schreibst du von dem Ergebnis der Subtraktion die beiden Terme höchster Potenz.
    Danach verfährst du wieder wie zuvor: Division durch $x$, Notieren des Ergebnisses, Multiplikation mit $(x-1)$ und Subtraktion. So verfährst du, bis kein Term mehr übrig ist, den du noch durch $x$ dividieren kannst.

    Die vollständige Polynomdivision sieht wie folgt aus:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& -2x^2& -5x& +1)&:&(x-1)&=&x^2 -x +6\\ -&(x^3 & -x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &-5x\\ &-&(-x^2 & +x)\\ & & &-6x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(-6x&+1) \\ \end{array}$

  • Erschließe die zugehörigen Faktoren.

    Tipps

    Führe die Polynomdivisionen mit dem Linearfaktor $(x-1)$ wie in diesem Beispiel durch. Zur Erinnerung wird hier in dem Bild der Anfang der Polynomdivision gezeigt.

    Das Absolutglied des kubischen Polynoms ist das Produkt aus den Absolutgliedern des quadratischen und des linearen Faktors. Damit kannst du prüfen, ob du die Polynomdivision richtig durchgeführt hast.

    Der Koeffizient des kubischen Terms ist das Produkt der Terme mit der jeweils höchsten Potenz in dem quadratischen und dem linearen Faktor. Hiermit kannst du ebenfalls die Polynomdivision überprüfen.

    Zum Beispiel ist $2x^3-x^2-2x+1$ nicht das Produkt aus dem quadratischen Faktor $x^2-x-6$ und dem Linearfaktor $x-1$, weil der Koeffizient von $x^3$ ja $2$ ist, das Produkt der Koeffizienten von $x^2$ aus dem quadratischen Faktor und $x$ aus dem Linearfaktor aber $1$.

    Lösung

    Wir führen die einzelnen Polynomdivisionen mit dem Linearfaktor $(x-1)$ durch:

    Zuerst dividieren wir den Term höchster Potenz, also den $x^3$-Term durch $x$, und notieren das Ergebnis hinter dem Gleichheitszeichen.
    Dieses Ergebnis multiplizieren wir mit dem Linearfaktor $(x-1)$, schreiben es in die zweite Zeile und subtrahieren von dem Polynom.
    Wir erhalten in der dritten Zeile ein neues Polynom, so dass wir wieder von vorn beginnen können mit Division durch $x$, Notieren des Ergebnisses, Multiplikation mit $(x-1)$ und Subtraktion.
    In dieser Weise verfahren wir, bis keine Terme mehr übrig sind, die wir durch $x$ dividieren können.

    Die Polynomdivisionen im Einzelnen sehen dann so aus:

    Für das Polynom $f(x)=x^3-2x^2-5x+6$ finden wir:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& -2x^2& -5x& +1)&:&(x-1)&=&x^2 -x -6\\ -&(x^3 & -x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &-5x\\ &-&(-x^2 & +x)\\ & & &-6x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(-6x&+1) \\ & & & & 0 \end{array}$

    Für das Polynom $g(x)= 2x^3-x^2-2x+1$ ist das die Rechnung:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(2x^3& -x^2& -2x& +1)&:&(x-1)&=&2x^2+x-1\\ -&(2x^3 & -2x^2) \\ &&\phantom{(} x^2 &-2x\\ &-&(x^2 & -x)\\ & & &-x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(-x&+1) \\ & & & & 0 \end{array}$

    Das Polynom $h(x)=x^3-4x^2+7x-4$ führt auf folgende Division:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& -4x^2& +7x& -4)&:&(x-1)&=&x^2-3x + 4\\ -&(x^3 & -x^2) \\ &&\phantom{(}-3x^2 &+7x\\ &-&(-3x^2 & +3x)\\ & & &4x &-4 \\ & & -&\phantom{(}(4x&-4) \\ & & & & 0 \end{array}$

    Schließlich erhalten wir für das Polynom $k(x)=2x^3-3x^2+2x-1$ diese Division:

    $\begin{array}{ccccc clcl} &(2x^3& -3x^2& +2x& -1)&:&(x-1)&=&2x^2 -x +1 \\ -&(2x^3 & -2x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &+2x\\ &-&(-x^2 & +x)\\ & & &x &-1 \\ & & -&\phantom{(}(x&-1) \\ & & & & 0 \end{array}$

  • Benenne die Glieder der Polynome.

    Tipps

    Quadratische Terme sind durch die zweite Potenz bestimmt.

    Lineare Terme sind nicht konstant.

    Konstant bedeutet „nicht veränderlich“ bzw. „ständig gleichbleibend“.

    Lösung

    Ein kubisches Polynom ist ein Polynom, bei dem $x^3$ die höchste Potenz der Variablen $x$ ist. Bei einem kubischen Polynom sortiert man die Glieder nach Potenzen der Variablen $x$.
    Das kubische Glied besteht aus allen kubischen Termen, d. h. Termen der Form $x^3$ multipliziert mit einem Koeffizienten.
    Das quadratische Glied enthält alle quadratischen Glieder, d. h. Terme der Form $x^2$ multipliziert mit Koeffizienten.
    Das lineare Glied besteht aus den linearen Termen. Diese sind Terme der Form $x$ multipliziert mit Koeffizienten.
    Das Absolutglied schließlich besteht aus allen konstanten Termen.

    Die Glieder der beiden angegebenen Polynome sind also:

    kubisches Glied:

    • $ax^3$
    • $x^3$
    quadratisches Glied:
    • $bx^2$
    • $-2x^2$
    lineares Glied:
    • $cx$
    • $-5x$
    Absolutglied:
    • $d$
    • $6$

  • Erschließe den quadratischen Faktor.

    Tipps

    Das Produkt der Absolutglieder des quadratischen und des linearen Faktors ist das Absolutglied des kubischen Polynoms.

    Dividiere $x^3$ durch $x$, um das quadratische Glied des quadratischen Faktors zu bestimmen.

    Lösung

    Für die Polynomdivision ergänzen wir zunächst das Polynom $x^3 + 1$ zu $x^3 + 0x^2 + 0x +1$. Dann führen wir die Polynomdivision durch: Division von $x^3$ durch $x$ liefert $x^2$. Multiplikation von $x^2$ mit $(x-1)$ ergibt $x^3-x^2$. Wir subtrahieren dann $x^3-x^2$ von $x^3-0x^2$ und erhalten $x^2 + 0x^1$. Damit verfahren wir wie am Anfang: Division durch $x$, Multiplikation des Ergebnisses mit $(x-1)$, Subtraktion von $x^2+0x^1$ usw.

    Die vollständige Polynomdivision sieht dann so aus:

    $ \begin{array}{ccccc clcl} &(x^3& 0x^2& 0x^1& +1)&:&(x+1)&=&x^2 -x +1\\ -&(x^3 & +x^2) \\ &&\phantom{(}-x^2 &\\ &-&(-x^2 & -x)\\ & & &x &+1 \\ & & -&\phantom{(}(x&+1) \\ & & & & 0 \end{array} $