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Gauß-Algorithmus – Erklärung

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Martin Wabnik
Gauß-Algorithmus – Erklärung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Gauß-Algorithmus – Erklärung

Der Gauß-Algorithmus in Mathe

Bevor du dir dieses Video anschaust, solltest du schon das Einsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen kennen gelernt haben. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie man Gleichungssysteme mit drei Variablen mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann.

Gauß-Algorithmus – Erklärung

Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dessen Hilfe man lineare Gleichungssysteme lösen kann. Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen sieht in allgemeiner Form folgendermaßen aus:

$a_1x + a_2y + a_3z = A$

$b_1x + b_2y + b_3z = B$

$c_1x + c_2y + c_3z = C$

Die Variablen in diesem Gleichungssystem sind $x,y$ und $z$ und $a_1, a_2, a_3, b_1$ und so weiter sind konstante Koeffizienten, also Zahlen. Um das System zu lösen, müssen wir Schritt für Schritt Werte für die Variablen finden. Die Idee des Gauß-Verfahrens ist, zuerst Variablen durch das Additionsverfahren zu eliminieren. Und zwar so, dass wir eine Gleichung mit drei Variablen, eine Gleichung mit zwei Variablen und eine Gleichung mit nur einer Variablen erhalten. Man nennt diese Form des Gleichungssystems auch Stufenform.

$a_1^{\prime}x + a_2^{\prime}y + a_3^{\prime}z = A^{\prime}$

$b_2^{\prime}y + b_3^{\prime}z = B^{\prime}$

$c_3^{\prime}z = C^{\prime}$

Im Anschluss können wir die Gleichung mit nur einer Variablen nach dieser auflösen und dann rückwärts das Einsetzungsverfahren anwenden. Wir schreiben die einzelnen Schritte noch einmal stichpunktartig auf:

Gauß-Algorithmus – Regeln:

  1. Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens
  2. Rückwärtseinsetzen durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens

Um das Verfahren noch etwas anschaulicher zu machen, rechnen wir ein konkretes Beispiel.

Gauß-Algorithmus – Beispiel

Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem mit den drei Variablen $x,y$ und $z$:

$I: ~ ~ ~ 3x+2y+z = 7 $

$II: ~ ~ ~4x + 3y -z = 2$

$III: ~ ~ ~ -x-2y + 2z = 6$

1: Vorwärtselimination durch Anwendung des Additionsverfahrens

Im ersten Schritt wenden wir das Additionsverfahren an, um so Schritt für Schritt Variablen zu eliminieren. Wir beginnen damit, eine neue Gleichung $IIa$ zu bestimmen, in der wir die Variable $x$ eliminieren. Dazu rechnen wir Folgendes:

$IIa = 4\cdot I - 3\cdot II$

Das bedeutet: Wir subtrahieren von dem Vierfachen der Gleichung $I$ das Dreifache der Gleichung $II$.

Zunächst berechnen wir die Vielfachen der Gleichungen $I$ und $II$:

$4\cdot I: ~ ~ ~ 4\cdot (3x+2y+z) = 4\cdot 7 \Leftrightarrow 12x + 8y +4z = 28 $

$3 \cdot II: ~ ~ ~12x +9y -3z = 6$

Dann berechnen wir die Differenz und erhalten:

$IIa: ~ ~ ~ (12x + 8y +4z) -12x-9y+3z = 28 -6 $

$IIa: ~ ~ ~ -y + 7z = 22$

Um die Variable $x$ auch in der Gleichung $III$ zu eliminieren, rechnen wir das Folgende:

$IIIa = -1\cdot I - 3\cdot III $

Damit erhalten wir:

$IIIa: ~ ~ ~ 4y - 7z = -25 $

Jetzt müssen wir in der Gleichung $IIIa$ noch die Variable $y$ eliminieren, um die Stufenform zu erhalten. Dazu rechnen wir Folgendes:

$IIIb = 4\cdot IIa + IIIa$

Damit erhalten wir:

$IIIb: ~ ~ ~ 21z=63$

Insgesamt haben wir jetzt also das Gleichungssystem auf Stufenform gebracht:

$I: ~ ~ ~ 3x + 2y +z = 7$

$IIa: ~ ~ ~ -y + 7z = 22$

$IIIb: ~ ~ ~ 21z = 63$

Damit haben wir den ersten Schritt des Gauß-Algorithmus durchgeführt.

2: Rückwärtseinsetzen durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens

Wir beginnen mit der Gleichung $IIIb$. Hier können wir $z$ bestimmen, indem wir durch den Koeffizienten $21$ teilen:

$21z = 63 ~ ~ |:21$

$\Rightarrow z = 3$

Diesen Wert setzen wir für $z$ in Gleichung $IIa$ ein und bestimmen durch Umformung den Wert für $y$:

$-y + 7 \cdot 3 = -y +21 = 22 ~ ~ |-21$

$\Rightarrow -y = 1 ~ ~ |\cdot(-1)$

$\Rightarrow y = -1$

Zuletzt setzen wir die Werte für $z$ und $y$ in die Gleichung $I$ ein, um den Wert für die Variable $x$ zu bestimmen:

$3x + 2\cdot(-1) + 3 = 7 ~ ~ |-1$

$3x = 6 ~ ~ |:3$

$x = 2$

Damit erhalten wir als Lösung des Gleichungssystems: $x=2$, $y=-1$, $z=3$. Du kannst das Ergebnis selbst auf Richtigkeit überprüfen, indem du eine Probe durch Einsetzen durchführst.

Dieses Video

In diesem Video wird dir der Gauß-Algorithmus einfach erklärt. Anhand eines Beispiels werden die einzelnen Rechenschritte erläutert. So kannst du in Zukunft selbst den Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme anwenden. Neben Text und Video findest du Aufgaben und Übungen, mit denen du dein Wissen gleicht überprüfen kannst.

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Gauß-Algorithmus – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gauß-Algorithmus – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen beim Gauß-Algorithmus für ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen $x$, $y$ und $z$.

    Tipps

    Zunächst muss das Gleichungssystem in die hier abgebildete Form überführt werden.

    Wenn das Gleichungssystem in die jeweilige Form überführt wurde, kann „rückwärts“ eingesetzt werden. Hierzu beginnst du mit der untersten Gleichung und arbeitest dich nach oben.

    Lösung

    Das Ziel beim Gauß-Algorithmus besteht darin, ein Gleichungssystem zu erzeugen, bei dem in der ersten Gleichung alle Variablen enthalten sind und in jeder weiteren Gleichung darunter je eine Variable eliminiert wurde. Für ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten $x$, $y$ und $z$ gehst du wie folgt vor:

    1. Es wird zunächst die Variable $x$ in der zweiten und dritten Gleichung eliminiert.
    2. Anschließend wird in der dritten Gleichung $y$ eliminiert, sodass diese nur noch die Variable $z$ enthält.
    3. Um den Wert für $z$ zu bestimmen, wird in der dritten Gleichung $z$ isoliert und bestimmt.
    4. Der Wert für $z$ wird in die zweite Gleichung eingesetzt und $y$ berechnet.
    5. Die Werte für $y$ und $z$ werden in die erste Gleichung eingesetzt und $x$ berechnet.
  • Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems mittels Gauß-Algorithmus.

    Tipps

    Forme die Gleichungen so um, dass die erste Gleichung drei Variablen, die zweite zwei Variablen und die dritte eine Variable enthält.

    Nutze das Additionsverfahren, um Variablen zu eliminieren.

    Lösung

    Wir lösen das folgende Gleichungssystem mittels Gauß-Algorithmus:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{II}: & 4x+3y-z &=& 2 \\ \text{III}: & -x-2y+2z &=& 6 \end{array}$

    Hierzu wird zunächst $~4\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}=\text{IIa}~$ bestimmt.

    Für die Gleichung $\text{IIa}$ folgt:

    $\begin{array}{rll} 4\cdot (3x+2y+z)-3\cdot (4x+3y-z) &=& 4\cdot 7-3\cdot 2 \\ 12x+8y+4z-12x-9y+3z &=& 28-6 \\ -y+7z &=& 22 \\ \end{array}$

    Dann bestimmen wir $~-1\cdot \text{I}-3\cdot \text{III}=\text{IIIa}~$.

    Wir erhalten die Gleichung $\text{IIIa}$:

    $\begin{array}{rll} -1\cdot (3x+2y+z)-3\cdot (-x-2y+2z) &=& -1\cdot 7-3\cdot 6 \\ -3x-2y-z+3x+6y-6z &=& -7-18 \\ 4y-7z &=& -25 \\ \end{array}$

    Das neue Gleichungssystem lautet:

    $\begin{array}{lrcc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{IIa}: & -y+7z &=& 22 \\ \text{IIIa}: & 4y-7z &=& -25 \end{array}$

    Nun wird noch die Variable $y$ aus der dritten Gleichung eliminiert.

    Wir rechnen $4\cdot \text{IIa}-(-\text{IIIa})=\text{IIIb}$:

    $\begin{array}{rcl} 4\cdot ( -y+7z)+4y-7z &=& 4\cdot 22-25 \\ -4y+28z+4y-7z &=& 88-25 \\ 21z &=& 63\\ \end{array}$

    Nun haben wir die angestrebte Form für das LGS erreicht:

    $\begin{array}{lrcc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{IIa}: & -y+7z &=& 22 \\ \text{IIIa}: & 21z &=& 63 \end{array}$

    Damit kann man nun alle Variablen berechnen:

    $\begin{array}{rcll} 21z &=& 63 & \vert :21 \\ z &=& 3 & \end{array}$

    $z=3$ eingesetzt in $\text{IIa}$ liefert:

    $\begin{array}{rcll} -y+7\cdot 3 &=& 22 & \\ -y+21 &=& 22 & \vert -21 \\ -y &=& 1 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& -1 & \end{array}$

    $z=3$ und $y=-1$ eingesetzt in $\text{I}$ folgt:

    $\begin{array}{rcll} 3x+2\cdot (-1)+3 &=& 7 & \\ 3x+1 &=& 7 & \vert -1\\ 3x &=& 6 & \vert :3 \\ x &=& 2 & \end{array}$

  • Ermittle mittels Gauß-Algorithmus die Lösungen der linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Eliminiere zunächst aus der 2. und 3. Gleichung jeweils die Variable $x$. Eliminiere dann aus der 3. Gleichung die Variable $y$.

    Für das erste Gleichungssystem kannst du folgende Gleichungen bestimmen:

    • $2\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-(-3)\cdot \text{III}=\text{IIIa}$
    • $4\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Lösung

    Beispiel 1

    Wir lösen das erste Gleichungssystem Schritt für Schritt mittels Gauß-Algorithmus. Das zweite Gleichungssystem kannst du auf die gleiche Weise lösen.

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x-2y+3z &=& 11 \\ \text{II}: & 2x-3y-z &=& 3 \\ \text{III}: & -x+2y+2z &=& 1 \end{array}$

    Zunächst wird $~2\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}=\text{IIa}~$ bestimmt.

    Für die Gleichung $\text{IIa}$ folgt:

    $\begin{array}{rcl} 2\cdot (3x-2y+3z)-3\cdot (2x-3y-z) &=& 2\cdot 11-3\cdot 3 \\ 6x-4y+6z-6x+9y+3z &=& 22-9 \\ 5y+9z &=& 13 \\ \end{array}$

    Dann bestimmen wir $~\text{I}-(-3)\cdot \text{III}=\text{IIIa}~$.

    Wir erhalten die Gleichung $\text{IIIa}$:

    $\begin{array}{rcl} 3x-2y+3z- (-3)\cdot (-x+2y+2z) &=& 11+3\cdot 1 \\ 3x-2y+3z-3x+6y+6z &=& 14 \\ 4y+9z &=& 14 \\ \end{array}$

    Das neue Gleichungssystem lautet:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x-2y+3z &=& 11 \\ \text{IIa}: & 5y+9z &=& 13 \\ \text{IIIa}: & 4y+9z &=& 14 \end{array}$

    Nun wird noch die Variable $y$ aus der dritten Gleichung eliminiert.

    Wir rechnen $4\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$:

    $\begin{array}{rcl} 4\cdot (5y+9z)-5\cdot (4y+9z) &=& 4\cdot 13-5\cdot 14 \\ 20y+36z-20y-45z &=& 52-70 \\ -9z &=& -18 \\ \end{array}$

    Nun haben wir die angestrebte Form für das LGS erreicht:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x-2y+3z &=& 11 \\ \text{IIa}: & 5y+9z &=& 13 \\ \text{IIIb}: & -9z &=& -18 \end{array}$

    Damit kann man nun alle Variablen berechnen:

    $\begin{array}{rcll} -9z &=& -18 & \vert :(-9) \\ z &=& 2 & \end{array}$

    $z=2$ eingesetzt in $\text{IIa}$ liefert:

    $\begin{array}{rcll} 5y+9\cdot 2 &=& 13 & \\ 5y+18 &=& 13 & \vert -18 \\ 5y&=& -5 & \vert :5 \\ y &=& -1 & \end{array}$

    $z=2$ und $y=-1$ eingesetzt in $\text{I}$ folgt:

    $\begin{array}{rcll} 3x-2\cdot (-1)+3\cdot 2 &=& 11 & \\ 3x+8 &=& 11 & \vert -8\\ 3x &=& 3 & \vert :3 \\ x &=& 1 & \end{array}$

    Beispiel 2

    Hier bestimmst du folgende Gleichungen:

    • $5\cdot \text{I}-\text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-(-1)\cdot \text{III}=\text{IIIa}$
    • $5\cdot \text{IIa}-11\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & x+2y-3z &=& -1 \\ \text{IIa}: & 11y-17z &=& -16 \\ \text{IIIb}: & -8z &=& 8 \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=2$
    • $y=-3$
    • $z=-1$
  • Erschließe die Lösungen der Gleichungssysteme.

    Tipps

    Bestimme im ersten Beispiel folgende Gleichungen:

    • $-2\cdot \text{I}-\text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-\text{III}=\text{IIIa}$
    • $-3\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$

    Beginne bei der letzten Gleichung mit der Bestimmung der Variablen:

    • Erst $z$ mit der dritten Gleichung.
    • Dann $y$, indem du den Wert für $z$ in die zweite Gleichung einsetzt.
    • Dann $x$, indem du die Werte für $x$ und $y$ in die erste Gleichung einsetzt.

    Lösung

    Beispiel 1

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & x-2y-4z &=& -9 \\ \text{II}: & -2x-y-z &=& -4 \\ \text{III}: & x+y+5z &=& 15 \\ \\ \end{array}$

    Hier bestimmst du folgende Gleichungen:

    • $-2\cdot \text{I}-\text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-\text{III}=\text{IIIa}$
    • $-3\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & x-2y-4z &=& -9 \\ \text{IIa}: & 5y+9z &=& 22 \\ \text{IIIb}: & 18z &=& 54 \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=1$
    • $y=-1$
    • $z=3$
    Beispiel 2

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & -3x+2y-3z &=& -7 \\ \text{II}: & -2x+2y-7z &=& -1 \\ \text{III}: & -3x-6y+4z &=& 2 \\ \\ \end{array}$

    Hier bestimmst du folgende Gleichungen:

    • $-2\cdot \text{I}-(-3)\cdot \text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-\text{III}=\text{IIIa}$
    • $8\cdot \text{IIa}-2\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & -3x+2y-3z &=& -7 \\ \text{IIa}: & 2y-15z &=& 11 \\ \text{IIIb}: & -106z &=& 106 \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=2$
    • $y=-2$
    • $z=-1$
  • Bestimme, wie du in der zweiten und dritten Gleichung die Variable $x$ eliminieren kannst.

    Tipps

    Es ist wichtig, dass beim Subtrahieren vor dem $x$ jeweils der gleiche Koeffizient steht. Andernfalls hebt sich $x$ bei der Subtraktion nicht auf.

    Betrachte das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x+2y &=& 7 \\ \text{II}: & 4x+3y-z &=& 10 \end{array}$

    Wenn sich $x$ bei der Subtraktion der Gleichungen aufheben soll, so musst du die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ multiplizieren.

    Lösung

    Wir betrachten das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{II}: & 4x+3y-z &=& 2 \\ \text{III}: & -x-2y+2z &=& 6 \end{array}$

    Wir möchten, dass sich in der zweiten und dritten Gleichung jeweils die Variable $x$ aufhebt. Hierzu nutzen wir das Additionsverfahren. Hierbei kannst du

    • entweder die Gleichungen mit dem Koeffizienten des $x$ aus der jeweils anderen Gleichung multiplizieren und sie dann subtrahieren
    • oder gemäß dem Additionsverfahren die Gleichungen mit minus mal dem Koeffizienten des $x$ aus der jeweils anderen Gleichung multiplizieren und dann addieren.
    Beide Wege liefern das gleiche Ergebnis.

    Wir möchten nun von der ersten Gleichung die zweite Gleichung so subtrahieren, dass die resultierende Gleichung kein $x$ mehr enthält. Hierzu muss die Variable $x$ in beiden Gleichungen jeweils den gleichen Koeffizienten besitzen. Also können wir die erste Gleichung zum Beispiel mit $4$ und die zweite mit $3$ multiplizieren. Dann steht in beiden Gleichungen nämlich $12$ vor dem $x$. Wir rechnen also:

    • $4\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}$
    Möchten wir von der ersten Gleichung die dritte Gleichung subtrahieren, um $x$ zu eliminieren, müssen wir wieder so umformen, dass wir den gleichen Koeffizienten erhalten. Wir multiplizieren hierzu die erste Gleichung mit $-1$ und die zweite mit $3$:

    • $-1\cdot \text{I}-3\cdot \text{III}$
  • Ermittle die Lösung des Gleichungssystems.

    Tipps

    Vereinfache zunächst die Gleichungen. Überführe sie in die folgende Form:

    $ax+by+cz=d$

    Lösung

    Wir vereinfachen zunächst die Gleichungen:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 2x-4y-\frac 12z &=& -11 \\ \text{II}: & -4x+3y-z &=& 9 \\ \text{III}: & x+y+z &=& 2 \end{array}$

    Nun bestimmen wir folgende Gleichungen:

    • $-4\cdot \text{I}-2\cdot \text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-2\cdot \text{III}=\text{IIIa}$
    • $-6\cdot \text{IIa}-10\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 2x-4y-\frac 12z &=& -11 \\ \text{IIa}: & 10y+4z &=& 26 \\ \text{IIIb}: & z &=& -6 \end{array}$

    Die Lösungen sind also:

    • $x=3$
    • $y=5$
    • $z=-6$
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