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Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anwendungsaufgabe Ziege

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Martin Wabnik
Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anwendungsaufgabe Ziege
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anwendungsaufgabe Ziege

Herzlich willkommen zu einer kleinen Anwendungsaufgabe zum Thema Parabeln und deren Scheitelpunkt. In dieser Aufgabe sollen wir ein Gehege für eine Ziege an ihren Stall bauen. Zur Verfügung haben wir 100 Meter Maschendrahtzaun. Der Zaun soll in einem Rechteck angelegt werden und an einer Seite durch den Stall begrenzt werden. Wie Welche Länge und Welche Breite wählt man nun für das Gehege, so dass die Ziege möglichst viel Fläche hat. Im Video werde ich dir nun erklären, wie man an diese Aufgabe rangeht – vor allem aber, was sie mit dem Thema Parabeln zu tun hat. Viel Spaß!

Transkript Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Anwendungsaufgabe Ziege

Hallo! Eine beliebte Anwendungsaufgabe zu quadratischen Funktionen ist die hier, mit der Ziege. Hier soll eine Ziege sein, die zeichne ich jetzt nicht ein und die Aufgabe geht so: Wir haben hier einen Stall, wir gucken da so von oben drauf, und sehen hier nur die Wand eines Stalls, wir haben 100 Meter Maschendrahtzaun oder was auch immer für einen Zaun und der Zaun soll jetzt hier so in diesem Rechteck angelegt werden, hier, wo die Wand ist, brauchen wir keinen Zaun, das heißt, wir verlegen 100 Meter Zaun hier so entsprechend dieser Figur und da kommen 2 Pflöcke rein und dann ist das freie Gehege hier für die Ziege hier fertig und die Frage ist nun, wie muss man hier die Maße veranschlagen, damit die Ziege möglichst viel Fläche hat, damit sie möglichst viel Auslauf haben kann, also diese Fläche soll hier maximal groß werden. Wie geht man da ran, wir wissen ja wir befinden uns bei den quadratischen Funktionen, und wenn da nach einem größten Wert gesucht ist, dann wissen wir, es handelt sich um eine Parabel, die nach unten geöffnet ist und wir suchen den Scheitelpunkt dieser Parabel, das ist dann der größte Wert dieser Funktion, das heißt, wir müssen jetzt hier die ganze Sache irgendwie in eine Funktion bringen und um das machen zu können, um eine Funktion zu bekommen, brauchen wir eine Unbekannte, ein x. Viele Möglichkeiten haben wir hier nicht das x hinzusetzen. Ich entscheide mich für diese Seitenlänge, die soll x sein, und diese ist dann nicht x, sondern die ist was anderes. Was könnte das sein? Ja, natürlich nicht y, sonst hätte ich ja 2 Variablen, das ist ja Käse, ich kann mir überlegen, wenn die gesamte Zaunlänge hier langgeht, so, und die ist also 100m lang, dann ist diese Länge hier 100m minus diese Seite und minus diese Seite. Also 100m - 2×x, ja passt gerade noch hin: 100-2x. Das ist also diese Seitenlänge, ja und dann haben wir auch quasi schon die Funktion da stehen, jetzt muss uns nur noch einfallen, dass die Fläche eines Rechtecks berechnet wird, indem man eine Seite × die andere Seite rechnet, also haben wir hier f(x)=x×100-2x. Die eine Seite ist ja x die andere 100-2x. Die beiden werden multipliziert, und wir erhalten eine quadratische Funktion, vor allem dann sieht man das, wenn man das noch aus multipliziert, nämlich x×-2x ist 2x2, x×100 ist 100x und das ist jetzt wunderbar hier eine quadratische Funktion, ein Funktionsterm einer quadratischen Funktion. Wenn wir den Scheitelpunkt rausfinden möchten, brauchen wir erst die Scheitelpunktform. Dazu wird zunächst mal -2 ausgeklammert, dann steht hier nur noch x2, also -2×(x2) und wenn man hier -2 ausklammert aus 100x dann stehen da noch -50x, denn -50x×-2 das ist wieder +100x. Ja soweit so gut, jetzt kommt die quadratische Ergänzung hier innerhalb der Klammer. Und dazu nehmen wir die Hälfte der Vorzahl von x, also 50, die Vorzahl von x ist -50 besser gesagt und davon die Hälfte ist 25, diese Hälfte nehmen wir zum ^2, addieren dieses ^2 und ziehen es auch wieder ab, das ist diese quadratische Ergänzung, immer das gleiche Prozedere, 252 kann ich gleich ausrechnen, das ist 625. Dann kann ich jetzt hier drauf die binomische Formel anwenden, es ist die Zweite in dem Fall, weil hier ein Minus-Zeichen steht, dann haben wir hier also -2 × das ist die Klammer, also hier geht diese große Klammer auf und für die binomische Formel brauch ich jetzt noch eine Klammer und da steht hier (x-25)2. Diese 3 Summanden hab ich jetzt hier in dieser binomischen Formel zusammengefasst, übrig bleibt noch -625 und dann geht hier die große Klammer zu, die äußere Klammer kann man auch sagen, die ist ja nicht groß, die ist ja nur außen. So und jetzt muss man nur noch -2 wieder multiplizieren mit den einzelnen Summanden, das Distributivgesetz anwenden, also -2×x-25, ja die äußere Klammer x-252 natürlich, die äußere Klammer ist jetzt nicht mehr da, denn die wird ja gerade hier durch das Distributivgesetz aufgelöst und dann muss ich noch rechnen -2×-625 und das ist +1250. So und dann haben wir den Scheitelpunkt, den möchte ich jetzt hier einfach mal eintragen. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten 25 und 1250, das bedeutet, die Ziege hat jetzt 1250m² Platz, wenn die eine Seite gleich 25m ist. Es ist noch zu klären wie lang ist dann die andere Seite, naja 100-2×25, das ist gleich 50, also die Seite 25m, die andere Seite 50m und dann kann sich die Ziege freuen. Viel Spaß damit, tschüss.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. anwendung: Ziege klingt irgendwie pervers aber gut erklärt

    Von J Rosewich, vor fast 3 Jahren
  2. @Petra Oldenburg2: In der 4. Minute wird die quadratische Ergänzung durchgeführt: Dazu nimmt man die Zahl vor dem x, halbiert diese, quadratiert dieses Ergebnis und zieht das Quadrat dann gleich wieder ab. Im Anschluss kann man mittels der zweiten binomischen Formel x²-50x+25²=(x-25)² schreiben. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 5 Jahren
  3. was hat es mit den -25 auf sich ?

    Von Petra Oldenburg2, vor mehr als 5 Jahren
  4. Verstehe den Schritt mit der 25 bei 4:00 nicht, bitte um Hilfe.

    Von Petra Oldenburg2, vor mehr als 5 Jahren
  5. @Qumarc2000: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor fast 6 Jahren
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