Erlösmaximum 02:15 min

Hallo. Hier ist eine Erlösfunktion mit der Gleichung E(x)=-0,2x2+2,4x. Das Erlösmaximum wie auch die erlösmaximale Ausbringungsmenge können berechnet werden, wenn die Erlösfunktion gegeben ist. Es ist eine quadratische Funktion, und deshalb kann in diesem Fall das Erlösmaximum auch mithilfe der Scheitelpunktform berechnet werden. Ich möchte es aber mit den Methoden der Analysis vorrechnen, damit der gezeigte Vorgang auch auf kompliziertere Funktionen angewendet werden kann. Das Erlösmaximum ist ein Extremum, und es gilt die notwendige Bedingung, die besagt: Ein Extremum kann sich nur dort befinden, wo die 1. Ableitung =0 ist. Also brauchen wir die 1. Ableitung der Funktion E(x). Diese ist E'(x)=-0,4x+2,4. Die Ableitung setzen wir =0, und es entsteht die Gleichung 0=-0,4x+2,4. Die Gleichung ist richtig, wenn man für x 6 einsetzt. Die hinreichende Bedingung sagt: Wenn die 2. Ableitung einer Nullstelle der 1. Ableitung ≠0 ist, dann ist diese Nullstelle eine Extremstelle, also die x-Koordinate eines Extremums. Die 2. Ableitung der Funktion E(x) ist E''(x)=-0,4. Diese Funktion ist überall =-0,4, also ≠0, deshalb ist x=6 eine Extremstelle. Weil die 2. Ableitung kleiner als 0 ist, wissen wir sogar, dass E(x) bei x=6 ein Maximum hat. Jetzt brauchen wir nur noch den Wert der Funktion an dieser Stelle. Also setzen wir 6 in den Funktionsterm ein und erhalten -0,2×62+2,4×6=7,2. Das ist der Wert des Erlösmaximums. Wenn man also 6 Mengeneinheiten verkauft, dann bekommt man den maximalen Erlös, nämlich 7,2 Geldeinheiten.