30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Dritte binomische Formel

Bewertung

Ø 4.1 / 37 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Dritte binomische Formel
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel lautet: (a + b)*(a - b) = a² - b². Im Video besprechen wir kurz eine Begründung dieser binomischen Formel und sehen uns dann zwei Beispiele an - ein leichtes und ein eher kompliziertes. Wenn dir das letzte Beispiel zu kompliziert ist, ist das gar nicht schlimm, denn mit diesem Beispiel soll nur gezeigt werden, was du alles mit der dritten binomischen Formel machen können wirst, wenn du sie beherrscht. In diesem zweiten Beispiel geht es um folgendes: Ebenso wie mit den anderen beiden Formeln kannst du mit der dritten binomischen Formel Terme vereinfachen. Du kannst damit aber auch Summen in Produkte oder Produkte in Summen verwandeln, denn die linke Seite der Formel ist ein Produkt und die rechte Seite ist eine Summe. Ein Term ist ein Produkt, wenn die letzte Rechnung beim Ausrechnen des Terms eine Punktrechnung ist - also eine Multiplikation oder eine Division. Ein Term ist eine Summe, wenn die letzte Rechnung beim Ausrechnen des Terms eine Strichrechnung ist - also eine Addition oder eine Subtraktion. Das Umwandeln von Summen in Produkte ist wichtig z.B. bei Brüchen (dann kann man kürzen) oder bei Funktionen (dann sieht man die Nullstellen).

Transkript Dritte binomische Formel

Hallo. Die Dritte Binomische Formel lautet (a+b)²(a-b)=a2-b2. Ja also da denkst Du Dir jetzt vielleicht: Moment! Auf der rechten Seite, da fehlt doch ein bisschen was. Ja, können wir uns überlegen. Warum fehlt da nichts? Wie kommen wir auf diese rechte Seite? Wir müssen hier auf der linken Seite ausmultiplizieren, bedeutet jeden Summanden mit jedem multiplizieren. Wenn wir a×a rechnen, kriegen wir a2, wenn wir b×(-b) rechnen, kriegen wir -b2. Wenn wir a×(-b) rechnen, kriegen wir -ab und wenn wir b×a rechnen, kriegen wir a×b. Und jetzt siehst Du wahrscheinlich -ab+ab=0 und deshalb kann man das weglassen und deshalb steht auf dieser rechten Seite hier so wenig. Ich möchte zwei Beispiele zur Anwendung dieser Dritten Binomischen zeigen. Ein sehr einfaches Beispiel, da werden einfach Zahlen eingesetzt. Und ein etwas komplizierteres Beispiel, um zu zeigen, wo die Dritte Binomische Formel überall so eingesetzt werden kann. Wir haben folgenden Term gegeben: (4+2)×(4-2). Wir können auf diesen Term diese Binomische Formel anwenden, weil dieser Term entsteht, wenn wir in der Binomischen Formel a durch 4 und b durch 2 ersetzen. Dann erhalten wir hier gleich das hier. Das müssen wir abschreiben, nur mit dem Unterschied halt, dass wir für a 4 und für b 2 einsetzen. Dann haben wir also hier 42-22. So und jetzt können wir eben noch nachrechnen, ob das auch richtig ist. 4+2=6, 4-2=2, 6×2=12. 42=16, 22=4, 16-4=12. Also können wir hier sicher sein, dass die Dritte Binomische Formel richtig ist. Kommen wir jetzt zu dem etwas anspruchsvolleren Beispiel. Wir haben x-1/x. Ja also viel einfacher kann man diesen Term jetzt nicht machen. Und deswegen werden wir ihn komplizierter machen. Nein, Spaß. Es geht letzten Endes um Funktionen. Funktionen hast Du wahrscheinlich schon kennengelernt. Du wirst noch viele weiter Funktionen kennenlernen. Und bei den Funktionen sind oft die Nullstellen interessant. Wenn man einen Funktionsterm hat, der so aussieht, also eine Summe ist, kann man meistens die Nullstellen nicht direkt erkennen. Aber wenn der Funktionsterm ein Produkt ist, wie zum Beispiel hier diese Seite der Binomischen Formel, das ist ein Produkt, dann kann man die Nullstellen oft direkt ablesen. Und deshalb werden wir versuchen, mit Hilfe der Dritten Binomischen Formel aus dieser Summe ein Produkt zu machen. Wie können wir das machen? Zunächst mal können wir uns hier vorstellen, dass das ein Bruch ist, nämlich x/1. Den können wir jetzt mit x erweitern und erhalten: (x2/x)-1/x. Jetzt können wir 1/x ausklammern und dann erhalten wir: (1/x)×(x2-1). So, jetzt sieht dieser Term hier, dieser Teilterm sieht schon fast aus wie diese rechte Seite der Binomischen Formel, es fehlt hier aber noch das Quadrat. Aber 12 ist ja gleich 1. Deshalb können wir hier einfach ein Quadrat hinschreiben und wir können jetzt diese Dritte Binomische Formel auf diesen Teilterm hier anwenden, weil nämlich diese Seite der Binomischen Formel entsteht, wenn wir in der Binomischen Formel a durch x und b durch 1 ersetzen. Also können wir jetzt diese Seite der Binomischen Formel statt dieses Terms hinschreiben. Hier müssen wir dann natürlich auch a durch x und b durch 1 ersetzen. Also haben wir letzten Endes erreicht: 1/x×(x+1)×(x-1). So und jetzt kann man hier direkt die Nullstellen ablesen. Dieser Term wird nämlich 0, wenn man für x entweder -1 einsetzt, da ist dieser Faktor gleich 0 und damit der ganze Term. Oder wenn man für x +1 einsetzt, dann ist dieser Faktor 0 und damit auch der ganze Term. So und wenn Dir das noch nicht so geläufig ist mit den Nullstellen, ist nicht schlimm, dann kommt das später noch. Wir haben jetzt hier erstmal gesehen, dass man die Dritte Binomische Formel auch dafür verwenden kann, um aus einer Summe ein Produkt zu machen. Das ist uns hier erfolgreich gelungen. Damit ist der Fall erledigt. Viel Spaß damit. Tschüss.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Tolles Video

    Von Kaiser1073, vor mehr als 3 Jahren
  2. Dieser Moment, wenn er mir in 20 min mehr beibringt als mein Lehrer in 3 Wochen...

    Von Raik W., vor mehr als 3 Jahren
  3. Hab die 2. Aufgabe nicht verstanden

    Von Deleted User 171959, vor fast 4 Jahren
  4. Danke dafür XD
    nein scherz gutes video hat mir geholfen :D

    Von Fabian S., vor fast 4 Jahren
  5. Ja genau

    Von Luca W., vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare

Dritte binomische Formel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dritte binomische Formel kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du die binomische Formel beim Term $(4+2)(4-2)$ anwendest.

    Tipps

    Untersuche, ob die 3. Binomische Formel tatsächlich vorliegt, indem du $a=4$ und $b=2$ in beide Seiten einsetzt.

    Ein Quadrat $x^2$ lässt sich durch $x \cdot x$ berechnen. Also ist $3^2=3 \cdot 3 = 9$.

    Lösung

    Das dritte Binom besteht aus zwei Klammern, in denen jeweils die gleichen Zahlenpaare und als Rechenzeichen in der einen Klammer ein Pluszeichen, in der anderen Klammer ein Minuszeichen stehen.

    Da du hier in beiden Klammern eine $ 4 $ und eine $ 2 $ stehen hast und auch die Rechenzeichen verschieden sind, kannst du das 3. Binom anwenden.

    Ersetze dafür $ a = 4 $ und $ b = 2 $.

    Das 3. Binom besagt dann, dass du die $ 4 $ und die $ 2 $ jeweils potenzierst und dazwischen ein Minuszeichen schreibst: $ 4^2 - 2^2 $.

    $ 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 $ und $ 2^2 = 2 \cdot 2 = 4 $.

    Eingesetzt ergibt es dann $ 16 - 4 = 12 $.

    Diese Rechnung war nicht so schwer, da du hier nur Zahlen in den Klammern hast. Du könntest diese auch direkt ausrechnen und nachprüfen, ob du die binomische Formel richtig angewendet hast: $ (4 + 2) \cdot (4 - 2) = 6 \cdot 2 = 12 $.

  • Beschreibe, wie du den Term $x-\frac1x$ mittels einer Binomischen Formel umformen kannst.

    Tipps

    Wenn man Zahlen oder Terme erweitert, verändert sich dadurch nicht der Wert der Zahl oder des Terms.

    Es ist eine beliebte Methode, Terme nach seinem Bedarf zu verändern, indem man diese mit einer bestimmten Zahl erweitert. So ist $1=\large{\frac{x}{x}}=\Large{\frac{x^2}{x^2}}= ...$.

    Die dritte Binomische Formel heißt $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. In dieser Form triffst du natürlich selten auf die dritte Binomische Formel, jedoch kannst du viele Terme auf diese Weise vereinfachen.

    In dem folgenden Term wurde für $a=x$ und für $b=3$ eingesetzt. Erkennst du trotzdem die dritte Binomische Formel wieder?

    $x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

    Lösung

    Zunächst wollen wir mit $x$ erweitern, damit du überhaupt bei $ x $ ein Quadrat erhältst.

    Schreiben wir dazu $ x $ als Bruch $ \frac {x}{1} $ und multiplizieren dann sowohl den Zähler $ x $ als auch den Nenner $ 1 $ jeweils mit $ x $.

    Du erhältst dann insgesamt: $ x - \frac {1}{x} = \frac{x \cdot x}{1 \cdot x} - \frac1x = \frac {x^2}{x} - \frac {1}{x} $.

    Das sieht schon einmal gut aus. Allerdings müssen wir nun noch ausklammern, da bei beiden Brüchen im Nenner ein $ x $ steht und es kein Quadrat ist. Um die 3. binomische Formel aber anwenden zu können, dürfen nur noch Quadrate dort stehen.

    Klammern wir nun $ \frac {1}{x} $ aus. Du erhältst so $ \frac {1}{x} (x^2 - 1) $.

    Nun kann man bei $ (x^2 - 1) $ das Binom anwenden, da $ x^2 $ und auch $ 1 $ ein Quadrat sind.

    Als Lösung bekommst du dann:

    $ \frac {1}{x} (x^2 - 1) = \frac {1}{x} (x + 1) (x - 1) $.

    Vergiss nicht, dass du vorher ausgeklammert hast. Du musst $ \frac {1}{x} $ auf jeden Fall vor dein Binom schreiben.

  • Entscheide, welche Lösung zu dem Term gehört.

    Tipps

    Denke an das 3. Binom $ (a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 $.

    Im Ergebnis kann man auch die Zahlen miteinander tauschen. Berücksichtige dabei aber die Vorzeichen.

    $ \large{x^2 \cdot x^2 = x^{2+2}=x^4} $

    Lösung

    Bei allen Aufgaben kannst du das 3. Binom anwenden:

    • $ (11 - 3) \cdot (11 + 3) = 121 - 9 = 112 $
    • $ (7 + 2) \cdot (7 - 2) = 49 - 4 = 45 $
    Bei diesen beiden Aufgaben ist es sinnvoll, dass 3. Binom anzuwenden, da die Quadratzahlen bis $11^2$ leicht zu merken sind und du die Ergebnisse dann nur noch subtrahieren musst. Vor allem, wenn die Zahlen recht hoch sind, ergibt es Sinn, solche Aufgaben mit dem 3. Binom zu berechnen. Alternativ kannst du natürlich auch jede Klammer einzeln ausrechnen und die Ergebnisse dann multiplizieren, zum Beispiel $ (7 + 2) \cdot (7 - 2) = 9 \cdot 5 = 45 $.

    Bei den folgenden Aufgaben geht es nur mit dem 3. Binom, da du hier in der Klammer eine Variable stehen hast, die du mit der jeweiligen Zahl nicht verrechnen kannst:

    • $ (x - 7) \cdot (x + 7) = x^2 + x \cdot 7 - 7 \cdot x - 49 = x^2-49$. Du kannst die Zahlen hier natürlich auch tauschen. Du musst nur das jeweilige Vorzeichen beachten: $ - 49 + x^2 $
    • $ (x^2 - 7) \cdot (x^2 + 7) = x^4 - 49 $. Achte hier darauf, dass $ x^2 \cdot x^2 = x^4 $ ist.
  • Bestimme die Lösung des Terms $ ( \sqrt{x} - \frac {1}{2} ) ( \sqrt{x}+ \frac {1}{2} ) $ mithilfe des Binoms.

    Tipps

    Um sicher zu gehen, das richtige Ergebnis zu erhalten, kannst du die beiden Klammern auch ausmultiplizieren.

    Es gilt $ a^2 - b^2 $ = $ - b^2 + a^2 $.

    Für alle positiven Zahlen gilt $x= \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$.

    Lösung

    Du musst bei $ ( \sqrt{x} - \frac {1}{2} ) ( \sqrt{x} + \frac {1}{2} ) $ das 3. Binom anwenden. Das machst du, indem du das $ \sqrt{x} $ und $ \frac {1}{2} $ quadrierst. Dazwischen schreibt man ein Minuszeichen.

    Denke daran, dass du bei $ \frac {1}{2} $ sowohl Zähler als auch Nenner miteinander multiplizieren musst. $ \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{2} = \frac {1}{4} $.

    Als Lösung erhältst du dann $ x - \frac {1}{4} $, da $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ ist.

    Beachte, dass gilt: $ x - \frac {1}{4} $ = $ - \frac {1}{4} + x $. Du drehst hier ja nur die Vorzeichen um. Das Ergebnis bleibt das gleiche.

  • Bestimme die Nullstellen der Gleichung $\frac{1}{x} \cdot (x+1) \cdot (x-1)$.

    Tipps

    Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.

    Wenn die x-Achse an einer Stelle geschnitten wird, so besteht dort der Funktionswert $y=0$.

    Du kannst deine Gleichung also „gleich Null setzen“.

    Ein Produkt ist gleich $0$, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist.

    Lösung

    Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.

    Um die Nullstellen deiner Funktion zu bestimmen, musst du diese Funktion also gleich Null setzen:

    • $ \frac{1}{x} (x + 1) (x - 1) = 0 $.
    Da es sich hier um ein Produkt handelt, gilt, dass die ganze Gleichung Null wird, wenn ein Faktor Null wird.

    Es muss also gelten:

    • $ x + 1 = 0 $ oder $ x - 1 = 0 $.
    Wenn wir $ x + 1 = 0 $ umstellen, ergibt dies: $ x = - 1 $, und bei Umstellung von $ x - 1 = 0 $ ergibt sich $ x = 1 $.

    Deine Nullstellen sind damit $x_1= 1$ und $x_2=- 1 $.

  • Ermittle die Nullstellen der verschiedenen Terme.

    Tipps

    Nullstellen sind die Stellen eines Terms, an denen dieser den Wert $0$ annimmt. Das bedeutet für den Term $x^2-1$ beispielsweise, dass die Gleichung $x^2-1=0$ als Lösung die beiden Nullstellen besitzt, nämlich $1$ und $-1$.

    Um das 3. Binom anzuwenden, musst du manchmal noch erweitern.

    Lösung

    Nullstellen sind die Stellen, an denen der Term den Wert $0$ annimmt. Um diese zu ermitteln, musst du die Gleichung daher gleich $0$ setzen. Wenn du das 3. Binom anwendest, kannst du Nullstellen immer direkt ablesen. Es ist immer die Zahl mit dem gegenteiligen Vorzeichen. Bei $ x - 2 $ wäre die Nullstelle $2$. Denn du würdest $ x - 2 = 0 $ setzen. Die umgestellte Gleichung ergibt dann $2$.

    • Bei $ 2x^2 - \frac {1}{2} $ musst du zunächst erweitern, damit du das 3. Binom anwenden kannst. $ 2x^2 - \frac {1}{2} $ ist dann $ 2x^2 - \frac {2}{4} $. Wir können nun $2$ ausklammern und erhalten $2 \cdot (x^2-\frac14)$. Wende nun das 3. Binom an: $ 2 \cdot (x - \frac {1}{2} ) (x + \frac {1}{2} )$. Als Nullstellen bekommst du dann: $ \frac {1}{2} $ und $ -\frac {1}{2} $.
    • Bei $ (x^2 - 16) $ kannst du direkt das 3. Binom anwenden. $ (x^2 - 16) = (x - 4) (x + 4) $. Lies die Nullstellen ab. Hier sind es $ 4 $ und $ - 4 $.
    • $ (x^2 - 25) = (x - 5) (x + 5) $. Nullstellen sind also $ 5 $ und $ - 5 $.
    • $ (4x^2 - 16) = (2x - 4) (2x + 4) $. Hier musst du nun $ (2x + 4) $ und $ (2x - 4) $ gleich $0$ setzen und die Gleichung lösen. Du erhältst dann $ 2 $ und $ -2 $ als Nullstellen.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.841

Lernvideos

44.337

Übungen

38.957

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden