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Dreiecksscharen im Koordinatensystem (5) 10:43 min

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Transkript Dreiecksscharen im Koordinatensystem (5)

Hallo, es geht weiter mit dem 2.Teil unserer Aufgabe hier zu funktionalen Abhängigkeiten im Koordinatensystem. Wir haben schon A und B hier eingezeichnet hier in das Koordinatensystem, ebenso die Gerade G mit dieser Geradengleichung hier, mit dieser Funktionsgleichung. Und wir haben uns ein C1 ausgesucht, nämlich hier, das mit den Koordinaten -2 und 3 und haben das entsprechende Dreieck gezeichnet. Und wir haben hC1 bestimmt, indem wir einfach hier 1,5 + 2 Einheiten gerechnet haben und da ist dann 3,5 rausgekommen, das ist hC1. Jetzt geht es weiter mit diesen Aufgaben: Bestimme hCn, das heißt, wir sollen also für irgendwelche Punkte Cn einen Term angeben, sodass wir mit diesem Term hCn bestimmen können, das heißt die Länge von hCn suchen wir. Wenn wir also irgendeinen Punkt Cn nehmen, dann hat dieser Punkt 2 Koordinaten in unserem freundlichen Koordinatensystem, und diese Koordinaten müssen wir jetzt irgendwie in einen Term packen, sodass, wenn man dann die Koordinaten einsetzt in diesen Term, die Länge von hCn rauskommt. Das ist gefragt dabei. Wir können uns kurz überlegen, wie wir hier vorgegangen sind bei dieser Längenbestimmung. Wir haben erst mal 1,5 genommen, zumindest vom Denken her, ich habe es hier nicht als Erstes hingeschrieben, und haben dann diese 2 Einheiten dazugezählt, weil ja der Punkt C1 die y-Koordinate -2 hat. So weit, so gut, aber wenn wir das jetzt allgemein fassen wollen, müssen wir uns bisschen mehr Gedanken dazu  machen. Wir können uns erst mal überlegen, was muss in diesem Term überhaupt vorkommen. Es muss sicher die 1,5 irgendwie vorkommen, denn diese Höhe, um die es hier gehen wird oder auch die Höhe, die hier dann irgendwann sein wird, wenn die Punkte C irgendwann da ganz unten sind, diese Höhe hat ja sicher was mit der x-Koordinate von B und von A zu tun, die ja gleich ist. Also, das wird da sicher irgendwo vorkommen müssen und wir haben hier schon jetzt 1,5 stehen. Und wir könnten jetzt zum Beispiel, wenn Cn negative x-Werte hat, also negative Abszissenwerte, dann den Betrag von x einfach addieren. Das würde dann richtig sein für negative x-Werte von Cn. Hätten wir aber x-Werte, die zwischen 0 und 1,5 liegen, dann wäre das nicht richtig. Denn, wenn wir den x-Wert zum Beispiel 1 hätten, dann würden wir rechnen 1,5 + 1 und da käme dann 2,5 raus, die Höhe wäre aber nur 0,5. Das heißt, wir müssten also, wenn es diese positiven Werte hier sind, eigentlich x abziehen. Funktioniert es dann auch für die negativen Werte? Ja, es funktioniert für negative Werte, denn, wenn wir für x was Negatives einsetzen, dann rechnen wir ja Minus, Minus und das ist  zusammen Plus. Das heißt, wenn wir hier jetzt zum Beispiel -2 einsetzen, rechnen wir 1,5 - (-2) = 3,5 und das ist das, was wir hier auch ausgerechnet haben. Was ist jetzt, wenn die x-Koordinate von Cn größer als 1,5 ist? Dann müssten wir ja eigentlich die Differenz bilden von 1,5 und dem x-Wert. Das heißt, wenn jetzt x zum Beispiel 5 ist, dann müssten wir rechnen 5 - 1,5. Das können wir aber auch so stehen lassen. Wenn wir hier den Betrag drumsetzen, dann bilden wir die Differenz. Die Differenz ist auch immer positiv dann und das ist allgemein hCn. Manchmal, möchte ich nur drauf hinweisen, steht hier auch ein xn. Kann man halten, wie man will, aber ich habe es jetzt nicht hingeschrieben. Aber gemeint ist natürlich die x-Koordinate eines beliebigen Punktes C oder Cn. Wenn wir dann noch den Flächeninhalt des Dreiecks ABCn in Abhängigkeit von der Abszisse von Cn darstellen sollen, dann ist jetzt nicht mehr viel zu tun. Das ist zwar eine komplizierte Formulierung, aber letzten Endes sind wir ja fertig. Die Aufgabe ist auch ein bisschen dazu da, dass du dich an die Formulierungen gewöhnst, denn ich muss jetzt einfach nur die Flächenformel hinschreiben im Dreieck. Ja, würde ich sowieso als Erstes machen, wenn ich da irgendwie einen Flächeninhalt darstellen soll, überlege ich mir erst mal, was ist die Flächenformel. Wir haben ½ Ø Grundseite Ø Höhe. Grundseite, sage ich Mal, ist jetzt die Seite AB. Eine andere kommt hier jetzt auch nicht infrage, die anderen kennen wir ja alle gar nicht. Diese Grundseite hat die Länge 4. Ich glaube, das siehst du so. Das ist die Differenz der y-Werte, die ist 4. Dann müssen wir mit der Höhe multiplizieren. Die Höhe haben wir ja hier stehen. Also Ø Betrag von (1,5 - x). Aufgabe d ist fertig! Ja, so schnell kann das gehen, auch wenn da Mal was ganz Kompliziertes steht. Also, wenn man jetzt die Fläche des Dreiecks ABCn in Abhängigkeit von darstellen soll, dann bedeutet das immer, wir müssen eine Gleichung aufstellen. Hier soll dann die Fläche stehen und hier soll ein Term stehen, in dem eine Variable vorkommt, und z war nur die Variable, um die es hier geht, die hier angegeben ist. Das ist allgemein damit gemeint. Und hier wird gesagt, es soll die Abszisse von Cn sein, das ist also der x-Wert von Cn und der steht hier. Und hier haben wir eben einen Term, der als Variable hier nur das x enthält. Eine Sache fällt mir noch ein. Hier, das kann man natürlich auch so schreiben. Das Andere wäre zwar auch richtig, ist aber ein bisschen unanständig, das dann so stehen zu lassen. Also, ½ Ø 4 ist ja 2. Und dann geht es noch um den Definitionsbereich von Cn. Definitionsbereich bedeutet, welche x kann man hier einsetzen, sodass wir dann einen vernünftigen Punkt Cn bekommen. Das ist hier mit dem Definitionsbereich gemeint. Mann kann sich zum einen überlegen, alle Punkte, die jetzt hier auf der Geraden weitergehen, so nach oben, sind geeignet, um ein Dreieck zu konstruieren, das ist klar. Mir ist es klar, ich hoffe, dir ist es auch klar. Ich weiß auch gar nicht, wie ich es erklären soll. Dann hat man halt ein Dreieck. Wenn man jetzt weiter hier runtergeht und die Gerade immer weiter da rüber geht in diese Richtung, dann haben wir irgendwann Dreiecke, die sind dann ganz schmal. Die gehen da irgendwo hin. Dann haben wir auch Dreiecke. Aber es gibt eine Möglichkeit, da gibt es ein Problem, nämlich, wenn ich hier diese Gerade weiter verlängere, die Strecke verlängere von einer Geraden, so heißt es richtig, und da den Schnittpunkt mit dieser Geraden G erhalte, dann habe ich kein Dreieck. Wenn ich auf diesen Schnittpunkt C einzeichne, dann habe ich ja nur eine Strecke. Das heißt, man müsste in dem Fall also sagen, dass man für x alle möglichen Zahlen einsetzen kann außer die Zahl, die zu diesem Punkt C führt, der dann hier auf dieser Geraden liegt. Das ist die Zahl 1,5. Und das kann ich kurz so aufschreiben: Ich weiß nicht, ob du diese Symbole gehabt hast. Falls nicht ist auch egal, dann lernst du es jetzt. x ist Element der reellen Zahlen oder auch der rationalen Zahlen Q (manchmal wird das so, manchmal wird das so gemacht) außer die 1,5. Und genauer gesagt ist das hier die Menge R der reellen Zahlen oder die Menge Q der rationalen Zahlen ohne die Menge, die die Zahl 1,5 enthält. Also alle anderen Zahlen außer 1,5, die darf man für x einsetzen. So, damit ist die  Aufgabe dann endgültig erledigt. Viel Spaß! Tschüss!

Dreiecksscharen im Koordinatensystem (5) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecksscharen im Koordinatensystem (5) kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Höhe des Dreiecks.

    Tipps

    Schau dir das obige Bild an und mache dir die jeweilige Aussage an einem Beispiel klar.

    Wenn eine Aussage nicht richtig ist, reicht ein Gegenbeispiel aus, um die Aussage zu widerlegen.

    Eine der oben angegebenen Formel ist immer anwendbar.

    Lösung

    Hier ist die Situation exemplarisch zu sehen für einen Punkt der Geraden mit negativer x-Koordinate. Diese ist ungefähr $x=-1,3$. Wenn man den Betrag dieses Wertes zu $x=1,5$, der x-Koordinate von $A$ (oder $B$), addiert, erhält man die Höhe $h_c$.

    Das bedeutet, dass für alle negativen x-Koordinaten gilt $h_c=1,5+|x|$.

    Dies gilt jedoch nicht, für positive x-Koordinaten. Wenn zum Beispiel $x=1$ wäre, dann wäre $h_c=1,5+|1|=2,5$. Die tatsächliche Höhe ist jedoch $h_c=1,5-1=0,5$. Die Formel $h_c=1,5-x$ gilt auch für negative Koordinaten. Sei zum Beispiel wieder $x=-1,3$, dann ist $1,5-(-1,3)=3,3$ das gleiche Ergebnis, welches man bei $1,5+|x|$ erhält.

    Sei die x-Koordinate nun größer als $2$: zum Beispiel $x=3$, dann liefert die obige Formel $h_c=1,5-3=-1,5$. Ein negativer Wert kann keine Länge sein. Aber das Ergebnis ist „fast“ richtig. Wenn man die Betragsstriche wie folgt verwendet

    $h_c=|1,5-x|$,

    sind alle Fälle abgedeckt. Diese Formel gilt dann für alle beliebigen x-Koordinaten.

  • Gib den Definitionsbereich an.

    Tipps

    Wie müssen drei Punkte liegen, damit sie kein Dreieck bilden?

    Richtig: auf einer Geraden.

    Die Punkte $A$ und $B$ liegen auf einer zur y-Achse parallelen Geraden durch $x=1,5$.

    Die Formel für die Höhe des Dreiecks lautet allgemein:

    $h_c=|1,5-x|$.

    Wenn die Höhe positiv (also ungleich $0$) ist, ist ein Dreieck gegeben.

    Lösung

    Alle Punkte auf der Geraden $g$ bilden gemeinsam mit den beiden Punkten $A$ und $B$ ein Dreieck. Wirklich alle?

    Nein, einen einzigen Punkt gibt es, der kein Dreieck mit $A$ und $B$ bildet.

    Wie müssen drei Punkte liegen, damit sie kein Dreieck bilden? Richtig: auf einer gemeinsamen Geraden. Da $A$ und $B$ auf einer zur y-Achse parallelen Geraden liegen, muss auch der gesuchte Punkt auf dieser Geraden liegen. Das bedeutet, dass die x-Koordinate dieses einzigen Punktes $x=1,5$ ist. Deshalb muss diese x-Koordinate ausgeschlossen werden.

    Dies ergibt

    $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{1,5\}$.

    Übrigens: Wenn man dieses $x=1,5$ in der Formel für die Höhe

    $h_c=|1,5-x|$

    einsetzt, erhält man $h_c=|1,5-1,5|=0$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Tipps

    Beachte, dass die beiden Punkte $A$ und $B$ auf einer zur y-Achse parallelen Geraden liegen.

    Die Höhe $h_c$ ist zum Beispiel für negative $x$ gegeben durch

    $h_c=1,5-x$.

    Diese Formel gilt auch für positive $x\le 1,5$.

    Diese Formel lässt sich auch für positive $x\ge 1,5$ verallgemeinern.

    Vereinfache den Flächeninhalt so weit als möglich.

    Lösung

    Um die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks

    $A=\frac12\cdot c\cdot h_c$

    anwenden zu können, werden die beiden Größen $c$ sowie $h_c$ benötigt.

    $c$ lässt sich als Differenz der x-Koordinaten von $B$ und $A$ berechnen, da diese beiden Punkte auf einer zur y-Achse parallelen Geraden liegen: $c=2-(-2)=4$.

    Die Höhe $h_c$ ist für beliebige x-Koordinaten der Punkteschar $C_n$ gegeben durch $h_c=|1,5-x|$.

    Wenn man beide Größen in der obigen Formel einsetzt, erhält man

    $A=\frac12\cdot 4\cdot |1,5-x|=2\cdot |1,5-x|$.

  • Arbeite die beiden Punkte der Geraden $g$ heraus, die mit $A$ und $B$ gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck bilden und berechne jeweils deren Flächeninhalt.

    Tipps

    Beide x-Koordinaten sind negative Brüche. Beachte, dass das Minuszeichen bereits eingetragen ist. Du musst noch jeweils den dann positiven Zähler und positiven Nenner eintragen.

    Die Strecke $\overline{AB}$ verläuft parallel zur y-Achse. Damit verläuft eine Seite, welche senkrecht auf dieser Strecke steht, parallel zur x-Achse.

    Alle Punkte auf einer Parallelen zur x-Achse haben die gleiche y-Koordinate.

    Wenn du die y-Koordinate kennst, musst du eine Gleichung lösen.

    Die Gleichung für $y=9$ siehst du hier.

    Verwende die Formel $h_c=|1,5-x|$ für die Höhe und

    $A=\frac12\cdot h_c\cdot c$

    mit festem $c=4$ für den Flächeninhalt.

    Lösung

    Hier ist exemplarisch das Dreieck der Dreieckschar zu sehen, welches den rechten Winkel in $B$ hat. Da die Strecke $\overline{AB}$ parallel zur y-Achse steht, muss eine Senkrechte darauf parallel zur x-Achse sein. Das bedeutet, dass alle Punkte auf dieser Senkrechten die gleiche y-Koordinate wie $B$ haben, also $y=2$.

    Für die Höhe $h_c$ und schließlich für die Flächenberechnung wird noch die zugehörige x-Koordinate benötigt. Diese erhält man durch Lösen der Gleichung $2=-3x-3$

    $\begin{array}{rcllll} & 2& =&~-3x-3 &|& +3x \\ \Leftrightarrow& 3x+2 & =&~-3&|& -2 \\ \Leftrightarrow& 3x & =&~-5 &|& :3 \\ \Leftrightarrow& x& =&~-\frac53 \end{array}$

    Der Punkt lautet somit $\left(-\frac53|2\right)$.

    • Die Höhe ist $h_c=\left|1,5-\left(-\frac53\right)\right|=\frac{19}{6}$.
    • Damit kann die Fläche berechnet werden: $A=\frac12\cdot 4\cdot \frac{19}6=\frac{19}3$ [FE].
    Ebenso kann der Punkt der Geraden für das Dreieck mit dem rechten Winkel in $A$ berechnet werden:

    Es muss gelten $y=-2$. Dann muss die folgende Gleichung gelöst werden:

    $\begin{array}{rcllll} & -2& =&~-3x-3 &|& +3x \\ \Leftrightarrow& 3x-2 & =&~-3&|& +2 \\ \Leftrightarrow& 3x & =&~-1 &|& :3 \\ \Leftrightarrow& x& =&~-\frac13 \end{array}$

    Damit ist der gesuchte Punkt $\left(-\frac13|-2\right)$.

    • Die Höhe ist $h_c=\left|1,5-\left(-\frac13\right)\right|=\frac{11}{6}$.
    • Die Fläche kann somit berechnet werden: $A=\frac12\cdot 4\cdot \frac{11}6=\frac{11}3$ [FE].

  • Entscheide, ob eines der Dreiecke der Dreiecksschar gleichschenklig ist und berechne gegebenenfalls die Höhe sowie den Flächeninhalt.

    Tipps

    Wenn du einen Kreis mit dem Radius $4$ Einheiten um $B$ schlägst, schneidet dieser Kreis die Gerade $g$ in zwei Punkten.

    Wenn du die Mittelsenkrechte auf eine Strecke einzeichnest, hat jeder Punkt auf dieser Mittelsenkrechten zu den beiden Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand.

    Die Höhe ist für alle x-Koordinaten gegeben durch

    $h_c=|1,5-x|$.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Untersuchung auf Gleichschenkligkeit:

    • Es gibt zwei gleichschenklige Dreiecke der Dreiecksschar; wenn man einen Kreis mit dem Radius $4$ Einheiten um den Punkt $B$ schlägt, schneidet dieser Kreis die Gerade $g$ in zwei Punkten. Diese kann man natürlich berechnen. Darauf wird hier verzichtet.
    • Ebenso erhält man zwei gleichschenklige Dreiecke, wenn man ebenso einen Kreis mit dem Radius $4$ Einheiten um $A$ schlägt.
    • Ein weiteres gleichschenkliges Dreieck erhält man, wenn man den Punkt auf der Geraden bestimmt, der auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ liegt. Dieser Punkt hat die Koordinate $M(1,5|0)$, also $y=0$.
    Nun muss noch die Gleichung $0=-3x-3$ gelöst werden, um die entsprechende x-Koordinate zu bestimmen:

    $\begin{array}{rcllll} & 0& =&~-3x-3 &|& +3x \\ \Leftrightarrow& 3x & =&~-3 &|& :3 \\ \Leftrightarrow& x& =&~-1 \end{array}$

    Mit diesem $x=-1$ kann die Höhe $h_c=|1,5-(-1)|=|2,5|=2,5$ und damit der Flächeninhalt berechnet werden:

    $A=\frac12\cdot 4\cdot 2,5=5$ [FE].

  • Ermittle zu den gegebenen Punkten der Geraden $y=-3x-3$ die Höhe des Dreiecks.

    Tipps

    Verwende die Formel $h_c=|1,5-x|$, die für alle x-Koordinaten gilt.

    Beachte, dass die erste Koordinate eines Punktes die x-Koordinate ist.

    Schau dir das nebenstehende Beispiel für den Punkt $(-4|9)$ an.

    Übrigens: Der Betrag ist wie folgt definiert

    $|x|= \begin{cases} x& \text{wenn }x\ge 0 \\ -x& \text{wenn }x<0 \end{cases}$

    Lösung

    Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, benötigt man eine Grundseite $c$ und eine Höhe, die senkrecht auf diese Seite steht und durch den gegenüber liegenden Punkt verläuft. Bei der hier zu sehenden Dreiecksschar ist $c=4$ immer fest.

    Das heißt, dass man jeweils die Höhe bestimmen muss. Diese ist für alle x-Koordinaten gegeben durch die Formel $h_c=|1,5-x|$.

    • Zu dem Punkt $(-3|6)$ gehört die Höhe $h_c=|1,5-(-3)|=|4,5|=4,5$.
    • Zu dem Punkt $(-0,5|-1,5)$ gehört die Höhe $h_c=|1,5-(-0,5)|=|2|=2$.
    • Zu dem Punkt $(0,5|-4,5)$ gehört die Höhe $h_c=|1,5-0,5|=|1|=1$.
    • Zu dem Punkt $(4|-15)$ gehört die Höhe $h_c=|1,5-4|=|-2,5|=2,5$.