sofatutor 30 Tage kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Dezimalsystem 05:58 min

Textversion des Videos

Transkript Dezimalsystem

Thema dieses Films ist das Zehnersystem, das nach dem lateinischen „decem“ für „zehn“ auch Dezimalsystem heißt. Am Anfang stand das Zählen. Und weil wir zehn Finger haben, wurde in der Vorzeit gerne bis zehn gezählt. Andere machten es etwas komplizierter, wie die Mayas. Sie nahmen beim Zählen auch die Zehen zur Hilfe und zählten deswegen bis zwanzig. Die Babylonier zählten mit dem Daumen der einen Hand die Glieder der anderen vier Finger und kamen damit bis zwölf. Die fünf Finger der anderen Hand zählten, wie oft schon bis zwölf gezählt worden war. So konnten die Babylonier bis sechzig zählen. Darum hat noch heute eine Stunde sechzig Minuten und nicht etwa zehn oder hundert, was uns heute praktischer erschiene. Computer haben keine zehn Finger, sondern nur Stromleitungen, in denen Strom fließt. Oder eben nicht. Computer zählen nur diese beiden Zustände, und daher nur null und eins. Die ersten, die sich mit richtig großen Zahlen herum schlugen, waren vor 4500 Jahren die Ägypter. Denn wenn man zwei Millionen Steinblöcke zu einer Pyramide aufstapeln will, kommt man mit den Fingern nicht wirklich weit. Die ägyptischen Ziffern, also die Zahlzeichen, sind einfach. Eine eins ist ein Strich, eine zwei sind zwei Striche, und so weiter bis zur neun. Eine zehn sind, nein, keine zehn Striche, sondern ein Rindsgespann. Zwanzig sind darum zwei Rindsgespanne, und wieder so weiter bis neunzig. Hundert ist eine Seilschlinge. Weiter geht es mit der Wasserlilie für tausend, Finger für zehntausend und dem Frosch oder der Kaulquappe für hunderttausend. Der altägyptische Vorarbeiter, der die angelieferten Steinblöcke zählte, hatte irgendwann neun Frösche, neun Finger, neun Wasserlilien, neun Seilschlingen, neun Rindsgespanne und neun Striche auf seinem Papyrus. Er war daher heilfroh, auch den nächsten Steinblock zählen zu dürfen. Denn das machte aus dem Gewusel von 54 Zahlzeichen ein einziges, nämlich „Heh“, das ägyptische Symbol für den Gott der Unendlichkeit, und die Zahl eine Million. Das altägyptische Zahlsystem war also noch nicht ganz perfekt. Trotzdem dauerte es mehr als 3000 Jahre, bevor ein grundlegend neues Zahlensystem erfunden wurde. Dieses Mal hatten die Chinesen und vor allem die Inder die entscheidenden Ideen. Sie notierten die Zahl zwei nicht mit zwei Strichen, sondern mit einer eigenen Ziffer „zwei“. Für die drei notierten sie dann nicht drei Striche, sondern die Ziffer „drei“, und so weiter bis zur neun. Statt aber wie die Ägypter für die zehn ein neues Symbol zu verwenden, schrieben die Inder nun wieder eine eins, nur ein Stück nach links gerückt. Mathematisch gesprochen, eine Stelle weiter links. Hier stehen jetzt die Zehner. Noch eine Stelle weiter links, stehen die Hunderter. Dann folgen die Tausender, und so weiter. An die entsprechende Stelle wurde nun jeweils das benötigte Zahlsymbol geschrieben. Für die Zahl 234 also eine zwei an die Hunderter Position, eine drei bei den Zehnern und eine vier bei den Einern. Das klappt ganz hervorragend, solange an allen Stellen auch Ziffern stehen. Was aber sollte man mit leeren Stellen tun? Wie konnte man bestimmen, ob diese Darstellung 23, 203 oder gar 2003 bedeutet. Die Lösung war ebenso einfach wie genial. Man musste nur etwas an die leeren Stellen schreiben, das anzeigte, dass dort eben nichts steht. Die indischen Mathematiker nannten dies „Leere“ oder „Punkt“ oder „Himmel“ und malten einen kleinen Kreis an die passende Stelle. Das war der Vorläufer unserer null. Nun konnte man auf einen Blick erkennen, wie viele leere Stellen es gab und wusste sofort ob man es mit der Zahl 200, der 20, oder der zwei zu tun hatte. Allerdings hatten die Menschen Angst vor der null, die doch das nichts bedeutete. Daher dauerte es noch mehrere Jahrhunderte, bis sich diese Zahldarstellung durchsetzte. Das ist einem arabischen Mathematiker zu verdanken, der im Jahr 825 das Buch über das Rechnen mit indischen Ziffern verfasste. In seiner Folge breiteten sich das Dezimalsystem und die darauf basierenden schriftlichen Grundrechenarten schließlich auch nach Europa aus. Nicht zuletzt seinetwegen, nennen wir diese Zahldarstellung heute „Arabische Ziffern“.

5 Kommentare
  1. Zu kompliziert

    Von Deliakrespelka, vor 10 Monaten
  2. Ich finde man hat alles gut verstanden,es war jedoch etwas kompliziert.Ich bin 5 Klässler im Gymnasium,für mich ist das ja kein problem aber für erst oder zweitklässler komplitziert.VIEL ERFOLG BEIM NÄCHSTEN VIDEO

    Von Irina Goetz, vor fast 3 Jahren
  3. @Doremi: Das ist womöglich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  4. bei mir lakt es total ich can das video nicht sehen.

    Von Doremi, vor mehr als 4 Jahren
  5. Sehr sehr ultra mega gigantisch gut erklärt, werde ich jeden sagen also alle meine freunde Und geschwister ich habe eine frage hat eine Gruppe Von tutores das gemacht oder nur ein tutor seis ihr zu allen den ländern gegangen Und wieso habt ihr kein teamnamen

    Von Doremi, vor mehr als 4 Jahren

Dezimalsystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dezimalsystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen über das Dezimalsystem.

    Tipps

    Mit Kombinationen und Mehrfachverwendung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ kannst du jede beliebige natürliche Zahl darstellen.

    Das Zehnersystem ist ein Zahlensystem, das die $10$ als Basis hat.

    Lösung

    Heutzutage rechnet und zählt fast jeder auf der Welt mit dem Dezimalsystem oder auch Zehnersystem genannt. Hierbei handelt es sich um ein Zahlensystem, das die $10$ als Basis hat. Daher auch der Name, der sich vom lateinischen Wort „decem = zehn“ ableitet.

    Korrekt sind die folgenden Aussagen:

    • Zehnersystem und Dezimalsystem sind unterschiedliche Begriffe für das gleiche System.
    Zehn heißt auf Latein nämlich „decem “.

    • Das Dezimalsystem wurde nach dem lateinischen „decem “ für die Zahl „zehn“ benannt.
    Das Dezimalsystem wird auch Zehnersystem genannt. Es handelt sich hierbei um ein Zahlensystem, das die $10$ als Basis hat.

    • Im Dezimalsystem brauchst du genau $10$ Ziffern, um unendlich viele Zahlen darstellen zu können.
    Mit Kombinationen und Mehrfachverwendung der Ziffern $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ und $9$ kannst du jede beliebige natürliche Zahl darstellen.

    Falsch sind die folgenden Aussagen:

    • Der Name Dezimalsystem leitet sich von dem Wort „dezimieren “ ab, was verringern bedeutet.
    Das Dezimalsystem wurde nach dem lateinischen „decem “ für die Zahl „zehn“ benannt.

    • Die $10$ als Basis für das Dezimalsystem hat sich entwickelt, da die Menschen sich früher zu wichtigen Festen immer zu zehnt trafen.
    Früher zählten die Menschen gerne bis $10$, weil wir genau $10$ Finger haben. Die Mayas machten es sich etwas komplizierter und zählten zusätzlich mit den Zehen. Sie konnten also bis $20$ zählen.

  • Gib wieder, wie weit man in den unterschiedlichen Gesellschaften zählen konnte.

    Tipps

    An jeder Hand hast du $5$ Finger und an jedem Fuß hast du $5$ Zehen, damit könntest du maximal bis $2\cdot5+2\cdot5$ zählen.

    Der Computer arbeitet nur mit den Zahlen $0$ und $1$.

    Hier siehst du wie die Babylonier mit der einen Hand zählten. Die andere Hand nutzten sie so, dass, wenn sie einmal alle Glieder gezählt hatten, sie dort eine $1$ zeigten. Hatten sie nochmal alle Glieder der $4$ Finger gezählt, zeigten sie mit der zweiten Hand eine $2$ usw.

    Lösung

    Am Anfang der Mathematik stand schon immer das Zählen, je nachdem welche Hilfsmittel man benutzt, konnte man unterschiedlich weit zählen. Richtig sind die folgenden Zuordnungen.

    • In der Vorzeit wurde gerne mit den Fingern gezählt. Sie konnten also bis $10$ zählen.
    Du nutzt die erste Hand für die Zahlen $1$ bis $5$ und die zweite für $6$ bis $10$. So lernt noch heute fast jedes Kind im Kindergarten zählen.
    • Die Mayas nahmen beim Zählen Finger und Zehen zur Hilfe. Sie konnten also bis $20$ zählen.
    Nach deinen $10$ Fingern zählst du einfach deine $10$ Zehen dazu.
    • Die Babylonier zählten mit dem Daumen der einen Hand die Glieder der anderen vier Finger. Die Finger der anderen Hand zählten, wie oft schon bis $12$ gezählt worden ist. Sie konnten also bis $60$ zählen.
    Wenn du mit dem Daumen die Glieder der anderen Finger zählst, kommst du auf $12$. Die $5$ Finger der anderen Hand zählten, wie oft schon bis $12$ gezählt worden ist. Insgesamt konnten sie also bis $12\cdot 5=60$ zählen. Darum hat noch heute eine Stunde sechzig Minuten und nicht etwa zehn oder hundert, was uns heute praktischer erschiene.

    • Computer haben keine zehn Finger, sondern nur Stromleitungen, in denen Strom fließt oder eben nicht. Sie zählen nur zwei Zustände.
    Diese beiden Zustände sind eben $0$ oder $1$.

  • Trage die Ziffern korrekt in die Stellenwerttafel ein.

    Tipps

    Entscheide zuerst, welche der beiden Zahlen größer ist. Orientiere dich dabei an diesem Beispiel: $37~000$ ist größer als $9~876$.

    Die Zahl $1234$ können wir wie folgt in eine Stellenwerttafel eintragen:

    $\begin{array}{c|c|c|c} T&H&Z&E\\ \hline 1&2&3&4\\ \end{array}$

    Lösung

    Zuerst musst du entscheiden, welche der beiden Zahlen größer ist. Da bei der $213231$ die Hunderttausenderstelle besetzt ist und bei der $76753$ nicht, ist die erstgenannte eindeutig größer.

    Dann beginnen wir ganz rechts mit der Einerstelle und arbeiten uns nach links vor:

    1. Einerstelle (E): $1$
    2. Zehnerstelle (Z): $3$
    3. Hunderterstelle (H): $2$
    4. Tausenderstelle (T): $3$
    5. Zehntausenderstelle (ZT): $1$
    6. Hunderttausenderstelle (HT): $2$
    Wir erhalten:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} HT&ZT&T&H&Z&E\\ \hline 2&1&3&2&3&1\\ \hline &7&6&7&5&3\\ \end{array}$

  • Gib an, wie du ägyptische Ziffern in arabische Zahlen übertragen kannst.

    Tipps

    $\cap~\cap~\cap~|~|~|~|~|$: Diese Zahl entspricht der $35$.

    Taucht eine Ziffer mehrfach auf, wird sie addiert. So stehen $2$ Bogen für eine $20$ und $3$ Finger für $30000$.

    Lösung

    Bei den alten Ägyptern stand ein Strich $|$ für eine $1$, ein Bogen $\cap$ für die $10$, die Seilschlinge für die $100$, die Wasserlilie für die $1000$ und der Finger für die $10000$. Taucht eine Ziffer mehrfach auf, wird sie addiert. So stehen $2$ Bogen für eine $20$ und $3$ Finger für $30000$. Anstatt für die Ziffern unterschiedliche Symbole zu nutzen, schreiben wir sie in „unseren“ arabischen Zahlen an unterschiedliche Stellen.

    Wir erhalten:

    1. Bild: $2023$

    2. Bild: $123$

    3. Bild: $7$

    4. Bild: $10227$

    5. Bild: $21007$

  • Ordne die Zahlwörter der Größe nach.

    Tipps

    Die $111$ ist größer als die $11$.

    Im Dezimalsystem zählt man von $1$ bis $9$, danach wird eine $1$ auf der nächsten Stelle links hinzugefügt.

    Um die Zahlen ohne Leerzeichen voneinander unterscheiden zu können, wird an einer Stelle rechts von einer Ziffer, an der nichts steht, eine $0$ eingefügt.

    Lösung

    Im Dezimalsystem zählt man von $1$ bis $9$, danach wird eine $1$ auf der nächsten Stelle links hinzugefügt. Um die Zahlen unterscheiden zu können, wird an einer Stelle rechts von einer Ziffer, an der nichts steht, eine $0$ eingefügt.

    Damit ergibt sich die folgende Reihenfolge:

    1. Eins $1$
    2. Zehn $10$
    3. Hundert $100$
    4. Tausend $1~000$
    5. Zehntausend $10~000$
    6. Hunderttausend $100~000$

  • Gib an, wie du Zahlen im Dezimalsystem addieren kannst.

    Tipps

    So addierst du:

    $\begin{array}{ccccc} &2&1&3&\\ +&1&2&2\\ \hline &3&3&5\\ \end{array}$

    Lösung

    Bei der Addition im Dezimalsystem ist es besonders wichtig, dass du auf die jeweiligen Stellen achtest, also immer Einerstelle und Einerstelle, Zehnerstelle und Zehnerstelle ... addierst. Dazu schreibst du am besten:

    $\begin{array}{ccccc} &&1&2&3&\\ +&1&2&3&4\\ \hline &1&3&5&7\\ \end{array}$

    Damit sind folgende Aussagen korrekt:

    • Beachte, dass du jeweils die Einer, Zehner, Hunderter ... addierst.
    • $123+1234=1357$
    Folgende Aussagen sind falsch:
    • $123+1234=2464$
    Hier wurden die falschen Stellen addiert. Es müssen Einer- und Einerstellen, Zehner- und Zehnerstellen ... addiert werden.

    • Du kannst einfach von links nach rechts zuerst die ersten beiden, dann zweiten beiden usw. einzeln addieren.
    Es müssen Einer- und Einerstellen, Zehner- und Zehnerstellen ... addiert werden.

    • Am einfachsten ist es, wenn du die zu addierenden Zahlen wie folgt untereinander schreibst:
    $\begin{array}{ccccc} &1&2&3&\\ +&1&2&3&4\\ \end{array}$

    Es wird so gerechnet:

    $\begin{array}{ccccc} &&1&2&3&\\ +&1&2&3&4\\ \hline &1&3&5&7\\ \end{array}$