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Das Zweiersystem 10:45 min

Textversion des Videos

Transkript Das Zweiersystem

Hallo! Herzlich Willkommen zu diesem Rechen-Video! Es heißt: “Das Zweiersystem”. An Vorkenntnissen solltest Du die Grundrechenarten beherrschen und auch wissen, wie man eine Zahl in Zehnerpotenz zerlegt. Im Video erlernst Du die Darstellung natürlicher Zahlen im Zweiersystem. Erstens: das Zehnersystem. Zweitens: (fast) jedes System geht. Drittens: die Zwei als Basis. Viertens: von zwei nach zehn umrechnen. Fünftens: von zehn nach zwei umrechnen. Erstens: das Zehnersystem. Die Zahl 347 bedeutet im Zehnersystem: 3 * 102 + 4 * 101 + 7 * 100. Wichtig: 100 = 1. 10 ist die Basis. 2, 1 und 0 zeigen an, um welche Dezimalstellen es sich handelt, nämlich Hunderter, Zehner und Einer. 3, 4 und 7 sind die Ziffern, durch die die Zahl dargestellt wird. Das Zehnersystem (Dezimalsystem) hat zehn Ziffern von Null bis Neun. Zweitens: (fast) jedes System geht. Es ist möglich ein Zahlensystem mit der Basis 2 zu verwenden. Die Zahl 101 schreibt man so. Sie hat drei Stellen. Wir schreiben jeweils die 2 als Basis auf. Wir haben die 2 in den Potenzen 2, 1, 0. Wir schauen nach links und sehen, dass die erste Stelle einmal vorhanden ist, die zweite Stelle nicht. Deswegen steht vor 21 0 mal. Die dritte Stelle ist wieder einmal vorhanden. Das Zahlensystem mit Basis Zwei hat zwei Zeichen (Ziffern): 0 und 1. Oder das System mit Basis Fünf. Als Beispiel 423. Wir haben drei Stellen und schreiben jeweils die 5 als Basis auf. Die Potenzen sind genau wie im ersten Beispiel 2, 1 und 0. Vor 52 haben wir 4, vor 51 haben wir 2 und vor 50 haben wir 3. Das erste Beispiel lautet in Dezimalschreibweise 5. Das zweite Beispiel 113. Das Zahlensystem mit Basis Fünf besitzt fünf Zeichen (Ziffern). Man verwendet dafür die Ziffern von Null bis Vier. Es stellt sich die Frage: Welche Basis ist möglich? Auch die Zahl 16 ist als Basis geeignet. Als Beispiel nehmen wir 796. Wir schreiben drei Stellen auf. Die Basis ist 16. 162 kommt sieben Mal vor. 161 neun Mal und 160 haben wir sechs Mal. Das 16er System besitzt 16 Zeichen (Ziffern). Man verwendet dafür heute die Ziffern von Null bis Neun. Zusätzlich werden die Zahlen von A bis F benutzt. Im alten Babylon wurde das 16er System erfunden. Auch heute noch wird es in der Rechentechnik verwendet. Drittens: die Zwei als Basis. Ist Zwei die Basis des Zahlensystems so hat dieses verschiedene Namen. Man sagt Zweiersystem, Dualsystem oder Binärsystem. Das Zweiersystem wurde bereits im Altertum benutzt, und zwar im alten Indien und im alten China. Der große Mathematiker Leibniz hat das Zweiersystem wiederentdeckt. Hier ist sein Manuskript von 1697. Die Veröffentlichung über das Zweiersystem stammt aus dem Jahre 1703. Wofür braucht man das Zweiersystem? Das Zweiersystem verwendet man in der Rechentechnik. Man braucht nur einfache Schalter - entweder geschlossen oder geöffnet. Die Anordnung könnte bedeuten: Oben 1 * 22, in der Mitte 0 * 21 und unten 1 * 20. Das ist im Zweiersystem 101 und im Zehnersystem 5. Durch die Zeichen geschlossen (1) und offen (0) können wir alle Zahlen darstellen. So war es bereits beim ersten Rechner von Konrad Zuse. Die Zahl des Zweiersystems 1111 soll in eine Zahl des Zehnersystems überführt werden. Wir schreiben zunächst die einzelnen Stellen in Potenzen aus. Die Einsen können wir weglassen, da es im Zweiersystem ja nur zwei Zeichen gibt. Jetzt rechnen wir. 23 ist 3 * 2 als Faktor. 2 * 2 als Faktor, einmal und eine 1, nämlich keinmal. Wir berechnen die einzelnen Werte und addieren die Summanden: 15. Viertens: von Zwei nach Zehn. Diese Umwandlung haben wir gerade geübt. 11001. Ich zerlege die Zahl in ihre einzelnen Stellen. Ich berechne die Potenzen. Ich addiere: 25. Fünftens: von Zehn nach Zwei. Diese Veränderung der Basis ist etwas komplizierter. ich zeige es am Beispiel von 29. Man sucht zunächst die höchste Zweierpotenz, die in 29 enthalten ist. Das ist die 16. Es bleiben 13 übrig. Darin die höchste Zweierpotenz ist die 8. Es bleiben 5 übrig. Darin die höchste Zweierpotenz ist die 4. Es bleibt 1 übrig. Also 0 * 2 + 1 * 1. Die 16 ist die größtmögliche Potenz der Zwei, die in die 29 hineingeht. Wir teilen die 16 durch zwei und schauen, ob die 8 in den Rest hineingeht. Das gleiche machen wir mit der 4 und so weiter bis wir dann bei der 1 angekommen sind. Ich schreibe die Potenzen jetzt so auf, dass man sie als Potenzen erkennt. Nun kann man das Ergebnis formulieren. Wo eine Potenz vorhanden ist, schreibt man eine Eins, wo sie fehlt eine Null, fertig. 128 ist eine glatte Zweierpotenz. Daher verläuft die Umformung in das Dualsystem einfach. 128 = 27. Wichtig ist noch zu schauen, wie viele niedere Potenzen fehlen. Das ist nämlich wichtig für die Zahl der Nullen, fertig. Ein wichtiger Hinweis: will man genau angeben, um welche Basen es sich handelt, so setzt man die Zahlen in Klammern und schreibt die Basen unten rechts klein als Index. Das tut man, wenn man ganz genau sein will. Ihr habt wirklich sehr schön mitgearbeitet. Es war auch sehr schwer. Ich wünsche Euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

31 Kommentare
  1. Vielleicht hilft euch dieses Video weiter:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/das-dualsystem?topic=902
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 14 Tagen
  2. ICH VERSTEHE DAS AUCH NICHT

    Von Mume07, vor 18 Tagen
  3. Sehr kompliziert erklärt , Ich habe nicht mal als Eltern nicht verstanden :(
    Ich musste leider von YouTube Hilfe suchen.

    Von Mark Edgar, vor etwa einem Monat
  4. hat mir nicht geholfen

    Von Carolin Sube85, vor etwa 2 Monaten
  5. Zu schwer für die 5 Klasse .Zu verstehen

    Von Con Ct, vor 2 Monaten
  1. Es ist okay aber ich habe es nicht so gut verstanden.Danke

    Von Con Ct, vor 2 Monaten
  2. Für die 5. Klasse leider zu kompliziert erklärt. Bitte das Video evtl. nochmal überdenken zumindest für diese Klassenstufe!

    Von Heiko Graupmann, vor 3 Monaten
  3. Hallo Nonye Com,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 4 Monaten
  4. Ich habs nicht so gut verstanden

    Von Nonye Com, vor 4 Monaten
  5. Dankeschön, das war sehr hilfreich. Jetzt habe ich es verstanden :)

    Von Tina P., vor 11 Monaten
  6. Hallo Dungnupham,
    wenn wir Zahlen vom Zehnersystem ins Zweiersystem umwandeln, schauen wir uns ja zuerst an, welche die größte Zweierpotenz ist, die in unsere Zahl, also die 29, passt. Das ist hier die 16. Dann gehen wir zur nächsten Zweierpotenz und überprüfen, ob die auch noch "mit rein passt". Wenn wir schon 16 haben, bleiben noch 13, wodurch die nächst kleinere Zweierpotenz, die 8, auch noch hineinpasst. Danach sind noch 5 übrig, wodurch wir auch noch die 4 dazunehmen können. Dadurch haben wir bis jetzt 1·16 + 1·8 + 1·4. Das ergibt zusammen 28. Die nächste Zweierpotenz wäre die 2, welche aber nicht mehr mit darf, da wir ja sonst schon bei 30 wären. Da aber alle Stellen besetzt sein müssen, sagen wir einfach, dass die 2 null mal mit hineingenommen wird. Wir bleiben also bei 28 und können dann als letzte Stelle einmal die 1 addieren, sodass wir bei 29 landen. Für die Dezimalzahl 29 ergibt sich dann die Binärzahl 11101.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Florian H., vor 12 Monaten
  7. Dieses Video ist wirklich sehr gut, aber wie rechnet man
    das bei 8:49 aus? Da kommt 29= 1*16+1*8+1*4+0*2+1*1. Aber wie kommt man auf die 0*2 ? Das man eine 0 und keine 1macht?

    Von Tina P., vor 12 Monaten
  8. sehrgut !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Lepa 1, vor mehr als einem Jahr
  9. War sehr Hilfreich. Aber ein paar Rechenwege waren etwas kompliziert und verwirrend. Aber das Video ist dennoch supi!!!! :)

    Von Maddie, vor fast 2 Jahren
  10. Dank des Videos habe ich das 2-System verstanden und kann besser lernen, da ich nun weiß wies geht.

    Von Tessa07, vor etwa 2 Jahren
  11. Alles suppi

    Von Florence, vor fast 3 Jahren
  12. Danke, es war sehr hilfreich, nur ich habe das mit den Potenzen berechnen nicht kapiert.

    Von Kevin Yuan2005, vor fast 3 Jahren
  13. In die 5. Klasse lernt mann das Zweiersystem, aber hat noch nicht die Potenz gelernt. Ist es möglich zu erklären ohne Potenz?

    Von Pmccabe2002, vor etwa 3 Jahren
  14. @Sonia Nunes Schwarz: Am besten du notierst dir die ersten Zweierpotenzen: 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64 usw. Daran kannst du erkennen, dass 2^5 die größtmögliche 2er-Potenz von 59 ist. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor etwa 3 Jahren
  15. Hallo Herr Otto! Wie rechne ich von 59 die größtmögliche 2 Potenz und so weiter aus??? Vielen Dank!

    Von Sonia Nunes Schwarz, vor etwa 3 Jahren
  16. Auf präzise formulierte Fragen antworte ich umgehend.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa 3 Jahren
  17. Ich verstehe die Rechnung von der größtmögliche Potenz von 2 nicht???!

    Von Sonia Nunes Schwarz, vor etwa 3 Jahren
  18. An Benjaminseidler man schreibt sehr so und cool mit eine c

    Von Angela Y., vor mehr als 3 Jahren
  19. @Doremi: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  20. Keine erklärung

    Von Doremi, vor fast 4 Jahren
  21. Nichts verstanden

    Von Doremi, vor fast 4 Jahren
  22. @Hukla: Hier findest du alles rund um Zehnerpotenzen: http://www.sofatutor.com/mathematik/zahlen-rechnen-und-groessen/potenzen-und-potenzgesetze/zehnerpotenzen

    Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Sarah Kriz, vor etwa 4 Jahren
  23. Wo finde ich noch mehr Beispiele von großen Zahlen die in Zehnerpotenzen zerlegt werden?

    Von Hukla, vor etwa 4 Jahren
  24. lol ist ser schön und kool

    Von Benjaminseidler, vor fast 5 Jahren
  25. Gut erklärt

    Von Lpf 137, vor fast 5 Jahren
  26. sehr gut!

    Von Miniraakaslan, vor fast 5 Jahren
Mehr Kommentare

Das Zweiersystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Zweiersystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Bedeutungen der Zahlen im Zehnersystem.

    Tipps

    Die Dezimalstellen geben im Zehnersystem die „Hochzahlen“ der 10 an.

    In diesem Fall sind damit die Einer ($10^0$), Zehner ($10^1$) und Hunderter ($10^2$) gemeint.

    Die Ziffern stehen im Zehnersystem in einer bestimmten Reihenfolge. Die Ziffern der Zahl 123 im Zehnersystem lauten 1,2 und 3.

    Die Basis gibt an, um welches Zahlensystem es sich handelt.

    Lösung
    • Die 10 ist die Basis der Zahl aus dem Beispiel. Sie gibt an, welche Zahl unter der „Hochzahl“ steht. Wir befinden uns hier also im Zehnersystem.
    • Die Zahlen 0,1 und 2 sind die Dezimalstellen. Sie geben an, an welcher Stelle wir uns befinden. Hier sind das die Einer, Zehner und Hunderter.
    • $3 \cdot 10^{2}=3 \cdot 100=300$, da $10^{2}=100$. Die Dezimalstelle 2 gibt also an, dass wir uns bei den Hundertern befinden.
    • Für die nächste Stelle gilt $4 \cdot 10^{1}=4 \cdot 10 =40$. Also gibt die Dezimalstelle 1 an, dass wir uns bei den Zehnern befinden.
    • Und $7 \cdot 10^{0}= 7 \cdot 1 = 7$. Hier gibt die Dezimalstelle 0 an, dass wir uns bei den Einern befinden.
    • Die Zahlen 3,4 und 7 sind die Ziffern. Aus ihnen setzt sich die Zahl 347 im Zehnersystem zusammen.
  • Bestimme die richtigen Zweierpotenzen.

    Tipps

    Die Ziffern werden immer von rechts nach links den entsprechenden Zweierpotenzen zugeordnet.

    Die Zweierpotenzen bzw. die „Hochzahlen“ bei der Basis 2 geben immer an, an welcher Stelle in der Zahl wir uns befinden.

    Hier ist ein Beispiel $(10)_2=1 \cdot 2^1+0\cdot 2^0=2$.

    Lösung

    Die Zahl im Zweiersystem entspricht folgender Zahl im Zehnersystem: $(11001)_2= 1\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 25 $.

    • Die Stelle $(\underline{\textbf{1}}10 01)_2$ gehört zu $ 1 \cdot 2^4$. Die Ziffern in $(11001)_2$ werden den Zweierpotenzen immer von rechts nach links zugeordnet. Die 1 ganz links aus $(11001)_2$ gehört also zur größten Zweierpotenz in dieser Gleichung.
    Also gilt: $(\underline{\textbf{1}}10 01)_2 \to 1 \cdot 2^4$.
    • $(1\underline{\textbf{1}}0 01)_2$ gehört zu $1 \cdot 2^3$. Sie kommt also an die zweitgrößte Zweierpotenz.
    Also gilt: $(1\underline{\textbf{1}}0 01)_2 \to 1 \cdot 2^3$.
    • $(11\underline{\textbf{0}}01)_2$ gehört zu $0 \cdot 2^2$. Die erste 0 in der Zahl steht an dritter Stelle. Sie gehört zu $2^2$.
    Also gilt: $(11\underline{\textbf{0}}01)_2 \to 0 \cdot 2^2$.
    • $(110\underline{\textbf{0}}1)_2$ gehört zu $0 \cdot 2^1$. Die 0 steht an der zweiten Stelle. Also gehört sie $2^1$.
    Es gilt: $(110\underline{\textbf{0}}1)_22 \to 0 \cdot 2^1$.
    • $(1100\underline{\textbf{1}})_2$ gehört zu $1 \cdot 2^0$. Die zweite 1 steht ganz rechts in $(11001)_2$ und gehört damit zu der kleinsten Zweierpotenz, da wir die Zweierpotenzen immer von rechts nach links auffüllen.
    Also gilt: $(1100\underline{\textbf{1}})_2 \to 1 \cdot 2^0$.
  • Ergänze die Gleichungen aus dem Zweiersystem.

    Tipps

    Es gelten: $2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$ ...

    $(100)_{2}= 1\cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$

    Achte darauf, dass du die Ziffern im Zweiersystem immer von rechts nach links zuordnest. Beginne mit $2^0$.

    Lösung

    Zunächst setzen wir die Ziffern in die Gleichungen ein und rechnen dann das Ergebnis aus.

    1. Die Ziffern, die wir einsetzen müssen, sind die 1,0 und noch mal die 1. Wir gehen dabei von rechts nach links vor. Die erste 1 wird bei $2^{0}$ eingesetzt, da sie auf der ersten Stelle steht. Die 0 kommt zu $2^{1}$, denn sie steht an der zweiten Stelle. Und die andere 1, die bei der Zahl $(101)_{2}$ ganz links steht, kommt zu $2^{2}$. Nun können wir die Gleichung ausrechnen. $(101)_{2}=1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5$.

    2. Auch hier setzen wir als erstes die Ziffern in die Gleichung ein. Wir füllen einfach wieder von rechts nach links auf. Zu $2^{0}$ kommt eine 1, genau wie bei $2^{1}$. Auch zu $2^{2}$ und $2^{3}$ kommt eine 1, da die Zahl im Zweiersystem nur Einsen als Ziffern enthält. Wir können nun wieder rechnen $ (1111)_{2}= 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 1\cdot 8 + 1\cdot4 +1 \cdot2 + 1\cdot1 = 8+4+2+1 =15 $.

    3. Wenn wir hier die Ziffern in die Gleichung eingeben, ergibt sich folgendes Bild. Die 1 von ganz rechts kommt zu $2^{0}$. Die 0 kommt zu $2^{1}$ und die zweite 1 kommt zu $2^{2}$. Nun müssen wir noch zwei Einsen zuordnen. Die rechte der beiden kommt zu $2^{3}$. Die letzte 1 kommt zu $2^{4}$. Jetzt können wir die Gleichung wieder ausrechnen.

    $\begin{align} (11101)_{2}=&1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} \\ = &1 \cdot 16 + 1\cdot8 + 1 \cdot 4 + 0\cdot2 + 1\cdot 1 \\ = &16+8+4+0+1= 29 \end{align}$

  • Stelle gleiche Zahlen in den entsprechenden Zahlensystemen gegenüber.

    Tipps

    Achte darauf, dass hier auch die 5 und die 16 als Basis genutzt werden.

    Die ersten Potenzen von 5 lauten: $5^0=1$, $5^1=5$, $5^2=25$.

    Die ersten Potenzen von 2 lauten: $2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^25=32$.

    Die ersten Potenzen von 16 lauten: $16^0=1$, $16^1=16$, $16^2=256$.

    Die Ziffern einer Zahl mit der Basis 16 lauten: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. A bis F stehen dabei für die Faktoren 10, 11, 12, 13, 14 und 15 vor den Potenzen von 16.

    Hier ist ein Beispiel: $(1F)_{16}=1 \cdot 16^1 + F \cdot 16^0 = 16 + 15 \cdot 1 =16 +15 =(31)_{10}$.

    Lösung

    Die Zahlen mit der Basis 5 und 16 wandeln wir genau so um, wie wir es auch für die Zahlen mit der Basis 2 gelernt haben.

    • $(131)_{5}= 1 \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5^{1}+ 1 \cdot 5^{0}= 25 + 3 \cdot 5 + 1 =(41)_{10}$. Das Ergebnis müssen wir noch in das Zweiersystem umformen: $(41)_{10}=32+8+1=2^5+2^3+2^0=(101001)_{2}$.
    • $(101000)_{2} = 1 \cdot 2^{5}+ 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}= 32+8=(40)_{10}$
    • Hier hat die Zahl wieder die Basis 5. Um auf die Basis 10 zu kommen, rechnen wir: $(121)_{5} = 1 \cdot 5^{2} +2 \cdot 5^{1} +1 \cdot 5^{0} = 25+ 10 + 1 = (36)_{10}$.
    • Bei der letzten Aufgabe handelt es sich um eine Zahl im Hexadezimalsystem, also um eine Zahl mit der Basis 16. Die Ziffern in diesem System enthalten die Buchstaben A, B, C, D, E und F. Diese stehen für die Faktoren 10, 11, 12, 13, 14 und 15 vor den Potenzen der Basis 16. Der Buchstabe B steht also für den Faktor 11. Wir rechnen also: $(1B)_{16}=1 \cdot 16^1 + B \cdot 16^0=16 + 11 \cdot 1=16+11=(27)_{10} $.
  • Bestimme, welche Zahlen im Zweiersystem richtig umgeformt wurden.

    Tipps

    Schaue zuerst, ob die Zweierpotenzen richtig übertragen worden sind.

    Die Ziffern werden den Zweierpotenzen von rechts nach links zugeordnet.

    Hier ist ein Beispiel: $(100\textbf{0})_{2}= 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1}+ \textbf{0} \cdot 2^{0}$.

    Es gibt nur zwei Ziffern für eine Zahl mit der Basis 2: $0$ und $1$.

    Lösung

    Wir rechnen die einzelnen Aufgaben nacheinander durch.

    • $(110)_2 = 1 \cdot2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}= 1\cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4+2= 6 $. Diese Aufgabe ist also richtig gewesen.
    • $(100)_2= 1 \cdot 2^{2} +0 \cdot 2^{1}+0 \cdot 2^{0}= 1 \cdot 4 +0\cdot2 + 0 \cdot 1 = 4$. Diese Aufgabe war also falsch. Der Fehler bestand hier in der falschen Zuordnung der Ziffern zur entsprechenden „Hochzahl“ .
    • $(1101)_2 = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1}+1 \cdot 2^{0}= 8+4+1=13 \neq 12$ Diese Aufgabe war falsch. Der Fehler war ein Rechenfehler ganz am Schluss.
    • $(1010)_2 = 1 \cdot 2^{3} +0 \cdot 2^{2} +1 \cdot 2^{1} +0 \cdot 2^{0} = 8 + 2=10$. Diese Aufgabe war also richtig.
    • $(1100)_2 = 1 \cdot 2^{3} +1 \cdot 2^{2} +0 \cdot 2^{1} +0 \cdot 2^{0} = 8 + 4 = 12 \neq 13$ Diese Aufgabe war also falsch.
    • $(10111)_2 = 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}=16+4+2+1=23 $ Diese Aufgabe ist also richtig gewesen.
    • Die letzte Aufgabe ist falsch gewesen. $(10211)_2 $ ist keine Zahl im Zweiersystem, da eine Zahl mit der Basis 2 immer nur aus den Ziffern $1$ und $0$ besteht.
  • Ermittle die entsprechenden Zahlen im Zweiersystem.

    Tipps

    Merke dir: $2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$.

    Suche bei jeder Zahl zunächst die höchste Zweierpotenz, die in ihr enthalten ist.

    Hier ein Beispiel: Bei der 69 ist die 64 die größte Zahl mit einer Zweierpotenz, nämlich $2^6$.

    Wenn du die erste Zweierpotenz gefunden hast, ziehe sie von der Ausgangszahl ab. Suche dann für dieses Ergebnis die nächste Zweierpotenz.

    Hier ein Beispiel: Bei der 69 ist die höchste Zweierpotenz die 64. Zieht man die beiden voneinander ab, so bleiben 5 übrig. Davon ist die höchste Zweierpotenz die 4.

    Schreibe dir die so gefundenen Zweierpotenzen nacheinander auf, um nicht den Überblick zu verlieren. So übersiehst du auch keine 0 in der Rechnung.

    Hier ist ein Beispiel: $(69)_{10}= 1\cdot 2^6 + 0\cdot 2^5+0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+ 0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=(1000101)_2$.

    Lösung

    Wir suchen für die Zahl im Zweiersystem die höchstmögliche Zweierpotenz, die noch in die Zahl hinein geht. Dann ziehen wir die beiden voneinander ab und sehen, wie viel übrig bleibt. Dieses Ergebnis überprüfen wir dann wieder auf die darin enthaltene höchstmögliche Zweierpotenz. Nur dürfen wir die möglichen Zweierpotenzen, die dazwischen liegen, nicht aus den Augen verlieren. Dieses Verfahren wird an den Aufgaben deutlich.

    • Die höchste Zweierpotenz, die in die 26 geht, ist die 16. Wenn man diese beiden wieder voneinander abzieht, bleibt 10 übrig. Subtrahiert man 8 von der 10 bleibt 2 übrig. Nach der 8 wäre die nächst kleinere Zweierpotenz die 4. Jedoch geht die 4 nicht in die 2. Die 2 ist eine Zweierpotenz, womit die 1 nicht gebraucht wird. Nun können wir die 26 komplett umwandeln: $(26)_{10}= 16 + 8+2= 1 \cdot 2^{4} +1 \cdot 2^{3} +0 \cdot 2^{2} +1 \cdot 2^{1} +0 \cdot 2^{0}= (11010)_{2} $.
    • In die 9 passt die 8. Nachdem wir diese beiden Zahlen voneinander abgezogen haben, bleibt 1 übrig, die selbst wieder eine Zweierpotenz ist. Die beiden Zweierpotenzen dazwischen, die 4 und die 2, brauchen wir nicht. So ergibt sich folgende Rechnung: $(9)_{10}=8+1= 1 \cdot 2^{3} +0 \cdot 2^{2} +0 \cdot 2^{1} +1 \cdot 2^{0}= (1001)_2 $.
    • Die 32 ist selbst schon eine Zweierpotenz. Wir brauchen die kleineren Zweierpotenzen 16, 8, 4, 2 und die 1, also nicht. 32 im Zweiersystem sieht folgendermaßen aus: $(32)_{10}= 1 \cdot 2^{5} +0 \cdot 2^{4} +0 \cdot 2^{3} +0 \cdot 2^{2} +0 \cdot 2^{1} +0 \cdot 2^{0} =(100000)_2$.
    • Die höchstmögliche Zweierpotenz in der 59 ist die 32. Die Differenz zwischen den beiden ist 27. Die höchste Zweierpotenz darin ist die 16. Von den übrig gebliebenen 11 ist die höchste Zweierpotenz die 8. Hier bleibt nach Subtraktion 3. Also brauchen wir noch die Zweierpotenzen 2 und 1, um die Zahl darstellen zu können. Der Basiswechsel sieht ausgeschrieben so aus: $(59)_{10}= 1 \cdot 2^{5} +1 \cdot 2^{4} +1 \cdot 2^{3} +0 \cdot 2^{2} +1 \cdot 2^{1} +1 \cdot 2^{0} = (111011)_2$.