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Das Zehnersystem 10:47 min

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Transkript Das Zehnersystem

Hallo! Herzlich Willkommen zu diesem Rechenvideo! Es geht heute um das Zehnersystem. An Grundkenntnissen solltet ihr die Grundrechenarten, die Rechengesetze und das schriftliche Rechnen beherrschen. Ziel des Videos ist es, dass du den Aufbau des Zehnersystems erklären kannst. Außerdem kannst du Zahlenbeispiele nennen. Der Film besteht aus sieben Abschnitten. Erstens: Warum die Zehn? Zweitens: Die natürlichen Zahlen. Drittens: Sehr große Zahlen. Viertens: Der Aufbau des Zehnersystems. Fünftens: Hochzahlen. Sechstens: Darstellung großer Zahlen. Erstens: Warum die Zehn? Das Zehnersystem beruht offensichtlich darauf, dass wir zehn Finger haben. Wir können damit die Zahl von Dingen zeigen: Einen Apfel, zwei Äpfel, drei Äpfel, vier Äpfel, fünf Äpfel, sechs Äpfel, sieben Äpfel, acht Äpfel, neun Äpfel und zehn Äpfel. Bei 40 Äpfeln muss ich entsprechend vier Mal meine Finger zeigen. Bei 73 Äpfeln zeige ich entsprechend sieben Mal alle meine zehn Finger und dann noch einmal drei Finger. Ein bis zehn Äpfel kann ich ganz einfach anzeigen. Bei einer Zahl wie 1539 muss ich hart, hart mit meinen zehn Fingern arbeiten. Und das ist dann schon nicht mehr lustig. Zweitens: Die natürlichen Zahlen. Ihr wisst bereits, dass man im Zehnersystem die Ziffern, auch „Zahlzeichen‟ genannt, von eins bis neun und null benutzt. Es gilt: Die Null ist eine natürliche Zahl und jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Bei der Zwei ist es die Drei, bei der 37 ist es die 38 und bei der 108 die 109. Man sagt auch: N ist die Menge der natürlichen Zahlen. Das N wird so etwas seltsam mit einem zweiten Strich geschrieben. Schaut euch an, was ich schreibe: Fünf und so ein Zeichen und danach dieses N. Und das bedeutet: Fünf ist Element von N. Das heißt: Fünf ist eine natürliche Zahl. Drittens: Sehr große Zahlen. Das erste Beispiel ist die Entfernung des Fixsterns Alpha Centauri von der Erde. Als Zweites: Wie viel Atome enthält ein Gramm Kupfer? Und als Drittes: Wie schwer ist die Erde? Es handelt sich hier um sehr große Zahlen und wir müssen zwei Fragen beantworten: Wie schreiben wir diese Zahlen auf? Und: Wie nennen wir sie? Viertens: Der Aufbau des Zehnersystems. Das Zehnersystem nennt man auch „Dezimalsystem‟. Ich habe hier schon einmal eine Vorbereitung getroffen. Die Größe der Stellen, auch „Dezimalstellen‟ genannt, steigt von rechts nach links. Die kleinste Stelle rechts sind die Einer. Die Zahl der Unterrichtsstunden an einem Tag kann man durch Einer angeben. Die nächstgrößere Stelle sind die Zehner. Den Schulweg in Minuten, zum Beispiel zwanzig, kann man durch Zehner angeben. Dann kommen die Hunderter. Ein Beispiel für Hunderter ist zum Beispiel die Wohnungsmiete in Euro für eine nicht zu große Wohnung in Deutschland. Von den Einern kommt man zu den Zehnern, indem man mit zehn multipliziert. Zehner mal zehn ergeben die Hunderter. Im nächsten großen Dreierkästchen wird angegeben, wie viel Tausend durch die Zahl dargestellt werden. Es gibt Tausend als Einer, Tausend als Zehner und natürlich auch Hunderttausende. Von hundert zu eintausend kommt man, indem man mit zehn multipliziert. Zu Zehntausend wieder mal zehn. Und zu Hunderttausend wieder mal zehn. Ein Beispiel für Tausend ist ein Gehalt in Euro. Im nächsten Dreierkästchen folgen die Millionen. Einhunderttausend mal zehn ist eine Million. Eine Million mal zehn ist zehn Millionen. Zehn Millionen mal zehn ist hundert Millionen. Ein Beispiel für Millionen ist die Einwohnerzahl einer Großstadt. Die nächsten drei Stellen sind die Milliarden. Einhundert Millionen mal zehn ist eine Milliarde. Mal zehn ist zehn Milliarden. Mal zehn ist einhundert Milliarden. Die Bevölkerungszahl von Indien und China beträgt bereits Milliarden. Milliarden mit zehn multipliziert ergibt Billionen. Einhundert Milliarden mal zehn ist eine Billion. Mal zehn ist zehn Billionen. Mal zehn ist einhundert Billionen. Ein Beispiel für Billionen ist das Bruttosozialprodukt von Deutschland. Eins, null, null, die Zahl kennt ihr. Richtig, einhundert. Wie nennt man diese Zahl? Zehntausend. Das ist einhundert Millionen. Und das ist, wir schauen bei den Milliarden, ein Einer: eine Milliarde. Und das? Bei den Billionen steht einhundert. Einhundert Billionen. Diese Zahl hat drei plus zwölf Stellen. Fünftens: Die Hochzahlen. Die Zahl Zehn kann man auch als 101 schreiben. Es ist einmal die Zehn. Bei 100 kann man die Einhundert als 10•10 schreiben oder als 102. Die Eintausend ist 10•10•10, oder 103. Bei einer Million steht die Zahl sechs Mal als Faktor da, das bedeutet 106. Die Zahl eine Milliarde hat neun Nullen. Wir schreiben 109. Eine Billion, eine eins mit zwölf Nullen, 1012. Bei der Billiarde stehen hinter der Eins 15 Nullen, 1015. Die Trillion hat 18 Nullen hinter der Eins, 1018. Und die Trilliarde hat schließlich eine Eins und dahinter 21 Nullen, 1021. Sechstens: Die Darstellung großer Zahlen. Erinnern wir uns an unsere Beispiele. Der Abstand der Erde zum Fixstern Alpha Centauri. Er beträgt etwa 1013 Kilometer. Die Erde wiegt etwa 1025 Kilogramm. Ein Gramm Kupfer enthält etwa 1022 Teilchen, die Atome. Sehr schwerer Stoff, ich weiß. Aber ihr habt gut mitgearbeitet. Vielleicht hattet ihr etwas Spaß. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

12 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt

    Von Valensina , vor 15 Tagen
  2. supper

    Von Josef Steffens, vor 16 Tagen
  3. Seht toll erklärt

    Von Erdem M, vor etwa 2 Monaten
  4. jaaaa

    Von Junghee Chung Opel, vor fast 2 Jahren
  5. ECHT GUT FÜR KINDER

    Von Georg B., vor etwa 2 Jahren
  1. echt gut erzählt

    Von Angela Y., vor etwa 3 Jahren
  2. Stimmt

    Von Doremi, vor fast 4 Jahren
  3. Ich dachte das wer das zweiersystem

    Von Doremi, vor fast 4 Jahren
  4. Echt

    Von Doremi, vor fast 4 Jahren
  5. ganz ok

    Von Bogumilaalfter, vor etwa 4 Jahren
  6. Im Gegensatz zu den Videos zum zweier- und Fünfer-Video habe ich dieses Video verstanden.

    Von Andreradloff1983, vor fast 5 Jahren
  7. gut

    Von Lordik, vor mehr als 6 Jahren
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Das Zehnersystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Zehnersystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige den Text zum Symbol $\mathbb{N}$.

    Tipps

    Um die Aufgabe zu lösen, musst du überlegen für was $ \mathbb{N} $ genau steht.

    In $\mathbb{N} $ findet man alle ganzen Zahlen, die nichtnegativ sind.

    3 ist ein Vorgänger von 2.

    Lösung
    1. Das Symbol $\mathbb{N}$ steht für alle natürlichen Zahlen, also alle Zahlen ab der Zahl $0$ bis zu "unendlich". Man sagt zu dieser riesigen, ja sogar unendlichen Anzahl an Zahlen die Menge der natürlichen Zahlen.
    2. Wenn eine Zahl, wie zum Beispiel die $5$, ein Teil dieser Menge an natürlichen Zahlen ist, dann nennt man sie Element dieser Menge.
    3. Und da $5$ ein Teil dieser Menge $\mathbb{N}$ ist, ist auch sie eine natürliche Zahl.
    4. Nach jeder Zahl kommt eine weitere, zum Beispiel $0 \to 1 , 1 \to 2 , 2 \to 3 $ und so weiter. Jede natürliche Zahl hat also einen Nachfolger.
  • Bestimme die Hochzahlen.

    Tipps

    Überlege dir, wie Hochzahlen aufgeschrieben werden.

    Als Beispiel: Bei $10~000=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{4}$ ist die Hochzahl die $4$.

    Lösung

    Die Hochzahl ist immer die kleine Zahl, die man rechts über die $10$ schreibt. Sie gibt an wie oft man mal $10$ nehmen muss, um auf die große Zahl zu kommen, die man sucht.

    1. Hier ist es die kleine $3$, also $^3$, die ganz am Ende des Rechenwegs steht.
    2. Hier steht die gesuchte Hochzahl wieder ganz am Ende. Es ist die $2$, also die $^2$.
    3. Hier ist die Zahl etwas besser versteckt. Es ist die kleine $6$, bzw $^6$, die über der ersten $10$ nach $1~000~000$ in der Rechnung steht.
    4. Hier steht die gesuchte $8$, also $^8$, fast ganz am Anfang. Sie ist direkt hinter der ersten $10$.

  • Bestimme die Reihenfolge der Zahlen und Zahlwörter.

    Tipps

    Schreibe alle Zahlen komplett aus, so dass alle Nullen dastehen. So bekommst du einen guten Überblick.

    Benutze das Dezimalsystem und trage alle Zahlen dort ein.

    Man kann Zahlen auch mit den Hochzahlen darstellen, um sie einfacher zu sortieren.

    Tausend kann man auch so schreiben: $ 1~000=10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$.

    Lösung

    Wenn man alle Zahlen vollständig ausschreibt, werden Zahlen übersichtlicher. Alternativ kann man die Zahlen auch über die Hochzahlen darstellen.

    • Die Zehn wird so zur $10$ bzw. zu $10^{1}$.
    • $100$ und $10~000$, also Hundert und Zehntausend, stehen schon komplett ausgeschrieben da. Als Hochzahl werden sie als $10^{2}$ und $10^{4}$ geschrieben.
    • $10^{5}$ wird so zu $100~000$, hat also $5$ Nullen. Man sagt dazu auch Hunderttausend.
    • Zehn Millionen sind $10~000~000$, was $10^{7}$ ist.
    • $100~000~000$, auch Hundert Millionen genannt, sind $10^{8}$.
    • $10^{9}$ hat also neun Nullen, ist also $1~000~000~000$. Als Zahlwort steht hier eine Milliarde.
    • Zehn Milliarde sind $10~000~000~000=10^{10}$ .
    • $100~000~000~000$ sind hundert Milliarden. Mit den Hochzahlen kann man sie auch darstellen als $10^{11}$.
    • Und eine Billion ist eine Zahl mit zwölf Nullen, was auch so dargestellt werden kann $10^{12}$. Ausgeschrieben wird sie als $1~000~000~000~000$.
  • Bestimme Beispiele für die Stellen im Zehnersystem.

    Tipps

    Überlege, wie groß die Beispiele in der Regel sind.

    Wie viele Schulstunden hast du zum Beispiel an einem Tag?

    Oder wie viele Einwohner hat Berlin, die größte Stadt Deutschlands?

    Vergleiche die Größenordnungen miteinander, z.B. die Einwohnerzahl einer Großstadt mit der Bevölkerungszahl von China.

    Welche Zahlen gehören alle zu den Einern oder den Tausendern?

    Lösung

    Hier ist es am besten sich zu überlegen, wie groß die einzelnen Beispiele sein können. Gleichzeitig kann man aufschreiben, welche Zahlen zu welchen Zahlwörtern gehören.

    • Die Einer umfassen alle Zahlen von $0$ bis $9$.
    • Die Zehner sind alle Zahlen von $10$ bis $99$.
    • Die Hunderter sind alle Zahlen von $100$ bis $999$.
    • Die Tausender sind alle Zahlen von $1~000$ bis $999~999$.
    • Die Millionen gehen von $1~000~000$ bis $999~999~999$.
    • Die Milliarden gehen sogar von $1~000~000~000$ bis $999~999~999~999$.
    Nun kann man die Beispiele gut den Zahlwörtern zuordnen.

    • Man hat eigentlich nie mehr als 9 Schulstunden an einem Tag. Sie gehören also zu den Einern.
    • 99 Minuten braucht man nur sehr selten für den Weg in die Schule. Der Schulweg kann natürlich auch mal 5 min dauern, doch normalerweise ist er länger. Der Schulweg in Minuten ist ein Beispiel für die Zehner.
    • Eine mittelgroße Wohnung in Deutschland kostet pro Monat einige Hundert Euro. Die Miete ist also ein Beispiel für die Hunderter.
    • Das Gehalt vieler Menschen in Deutschland beträgt über Tausend Euro. Es ist also ein Beispiel für Tausender.
    • Eine große Stadt wie zum Beispiel Berlin hat Millionen von Einwohnern. Die Einwohnerzahl so einer Großstadt ist also ein Beispiel für Millionen.
    • China ist das Land mit den meisten Einwohnern auf dieser Erde. In China leben bereits mehr als eine Milliarde Menschen. Die Anzahl der Menschen in China ist also ein Beispiel für Milliarden.
  • Ermittle, welche Zahlwörter welche Schreibweise haben.

    Tipps

    Die Hochzahl hinter der 10 auf der rechten Seite gibt an, wie viele Nullen die Zahl auf der linken Seite hat.

    Überlege bei jedem Zahlwort, wie oft die 0 hinter der 1 steht.

    Schreibe dir alle Zahlen des Zehnersystems, auch Dezimalsystem genannt, untereinander.

    Lösung

    Die Hochzahl gibt immer an, wie viele Nullen hinter der $1$ stehen, also wie oft mal $10$ genommen werden muss.

    1. Die Zehn als Zahl $10$ hat eine Null und somit kann man sie auch als $10^{1}$ schreiben.
    2. Ein Tausend als Zahl $1~000$ hat $3$ Nullen und somit kann man sie auch als $10^{3}$ schreiben.
    3. Zehn Millionen als Zahl $10~000~000$ hat $7$ Nullen. In der Schreibweise mit den Hochzahlen kann sie also auch als $10^{7}$ notiert werden.
    4. Hundert Millionen als Zahl $100~000~000$ hat $8$ Nullen. Sie kann also auch als $10^{8}$ geschrieben werden.
    5. Eine Billion als Zahl $1~000~000~000~000$ hat $12$ Nullen und ist also $10^{12}$.
    6. Hundert Milliarden als Zahl $100~000~000~000$ hat $11$ Nullen und ist also $10^{11}$.
  • Bestimme, wie oft man mal 10 rechnen muss.

    Tipps

    Zeichne dir eine Tabelle auf, um die Zahlen in das Dezimalsystem einzutragen. Zähle dann ab, wie oft man die 10 mal nehmen muss, um von der einen zu der anderen Zahl zu kommen.

    Beachte, dass für jede Multiplikation mit 10 eine Null dazukommt.

    Zähle die Anzahl der Nullen der Zahlen und bilde die Differenz der beiden Anzahlen.

    Lösung

    Der einfachste Weg, um diese Aufgabe zu lösen, ist die Anzahl der Nullen bei beiden Zahlen zu zählen und dann zu subtrahieren, denn für jede Multiplikation mit 10 kommt eine Null dazu.

    1. 1 hat 0 Nullen und $10~000~000$ hat 7 Nullen. Also muss man $7-0=7$-mal die 10 nehmen.
    2. 100 hat 2 Nullen und $100~000$ hat 5 Nullen. Man muss also $5-2=3$-mal die 10 nehmen.
    3. Die 10 hat 1 Null und $10^9$ also $1~000~000~000$ hat 9. Man muss also $9-1=8$-mal die 10 nehmen.
    4. Die $1~000$ hat 3 Nullen und $10~000~000$ hat 8. Man muss also $8-3=5$-mal die 10 nehmen.
    5. Die $10^2$ also $100$ hat 2 Nullen und $1~000~000$ hat 6. Man muss also $6-2=4$-mal die 10 nehmen.
    Alternativ kann man auch Tabelle des Dezimalsystems zeichnen und die Zahlen dort eintragen. Dann muss man abzählen, wie viele 10-er Schritte zwischen den beiden Zahlen liegen.