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Das Fünfersystem 10:02 min

Textversion des Videos

Transkript Das Fünfersystem

Hallo. Herzlich willkommen zu diesem Rechenvideo. Das Thema ist: Das „Fünfersystem“. An Vorkenntnissen solltest du das Video mit dem „Zweiersystem“ gesehen haben. Im Video werden wir über den Aufbau des Fünfersystems sprechen. Wir werden Zahlen vom Fünfersystem in das Zehnersystem umwandeln, und umgekehrt. Am Ende werden wir eine Additionsaufgabe lösen. Der Film besteht aus fünf Abschnitten: Erstens: Stellenwertsysteme. Zweitens: Die Basis fünf. Drittens: Vom Fünfersystem zum Zehnersystem. Viertens: vom Zehnersystem zum Fünfersystem. Und fünftens: Addition. Erstens: Stellenwertsysteme sind Zahlensysteme. Das System mit der Basis 10 ist das, was wir benutzen. Man nennt es auch Zehnersystem. Wir schreiben 347 und meinen 3 * 10² + 4 * 101 + 7 * 100. Ist zwei die Basis, so sprechen wir vom Zweiersystem. 1101 bedeutet im Zehnersystem 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 21 + 1 * 20. Natürlich gibt es auch noch weitere Systeme. An der Hand und am Fuß haben wir jeweils fünf Finger bzw. Zehen. Vielleicht ist das der Grund, warum in Afrika in den Bantusprachen die Zahl fünf als Basis für ein Zahlensystem genommen wird. Das ist das Fünfersystem. Die Zahl 432 aus dem Fünfersystem lautet übersetzt in das Zehnersystem: 4 * 5² + 3 * 51 + 2 * 50. Zweitens: Die Basis fünf. Im Fünfersystem gibt es fünf Ziffern. 0, 1, 2, 3, 4. Um zu zeigen, dass eine Zahl zum Fünfersystem gehört, setzen wir sie in Klammern und schreiben rechts unten eine fünf hin. Diese Zahl bedeutet: 3 * 5² + 2 * 51 + 4 * 50. Achtung! Bei der Darstellung einer Zahl im Fünfersystem taucht die Zahl fünf niemals auf! Drittens: Vom Fünfersystem zum Zehnersystem. 43, das ist 4 * 51 + 3 * 50. Das ergibt 23 im Zehnersystem. 2301 = 2 * 5³ + 3 * 5² + 0 * 51 + 1 * 50 = 2 * 125 + 3 * 25 + 0 + 1. Im Zehnersystem ergibt das 326. 4444 = 4 * 5³ + 4 * 5² + 4 * 51 + 4 * 50. Wir müssen uns nun die Arbeit machen und das alles schön ausrechnen. Wir erhalten 624. Fünftens: Vom Zehnersystem zum Fünfersystem. Zum Lösen dieser Aufgabe ist es vorteilhaft, wenn wir die Potenzen der 5 von 54 abwärts bis 50 einmal aufschreiben. 308, die höchste Fünferpotenz in der 308 ist die 125, sie geht zweimal hinein, das ergibt 250. Wir ergänzen zu 308, also 58. Die höchste Fünferpotenz, die in die 58 hineinpasst ist die 25, sie passt zweimal hinein. 2 * 25 = 50, bis 58 bleiben 8 übrig. Die 8 schreiben wir nun als 1 * 5 + 3 * 1. Jetzt müssen wir nur noch die grünen Zahlen hintereinander aufschreiben. Wir setzen die Klammer und den Index 5, fertig. In die 1000 passt die 625 einmal hinein. Bis 1000 bleib 375. Und das ist ja gerade 3 * 125. Wichtig ist, dass wir die niedrigeren Potenzen nicht vergessen, sie sind alle 0, müssen aber im Ergebnis erscheinen. Wir notieren die grünen Ziffern hintereinander. 13000 im Fünfersystem. Fünftens: Wir addieren. 241, Fünfersystem, plus 423, Fünfersystem. Wir schreiben zunächst die Bedeutung dieser Zahlen in Fünferpotenzen auf. Jetzt fassen wir entsprechende Potenzen zusammen. 6 * 5² + 6 * 51 + 4 * 50. Für 6 * 5² schreiben wir nun (5 + 1) * 5². Genauso schreiben wir für 6 * 51 : (5 + 1) * 51. Zum besseren Verständnis schreiben wir in den Klammern fünf hoch eins. In der ersten Klammer ist (51 + 1) * 5² = 1 * 5³. Außerdem erhalten wir aus der Klammer: 1 * 5². Aus der zweiten Klammer erhalten wir 1 * 5² + 1 * 51. Der Rest bleibt. Wir sind fast fertig. Wir müssen nur die grünen Ziffern richtig aufschreiben. Eine 1 von 5³, 5² macht zusammen 2, 51 ergibt die 1 und 50 die 4. Das war sehr schwer. Wenn ihr dazu üben wollt, müsst ihr mir das mitteilen. Dann mache ich noch Übungsvideos zu dem Thema. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.

9 Kommentare
  1. Das hast du Super gemacht aber wir haben es in Der Schule anders gemacht

    Von Ss Alsalihi, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Alissa!

    Das kann gut sein, dass ihr das in der Schule ein bisschen anders macht, wir versuchen hier bei Sofatutor meist die für alle am besten zu verstehenden Methoden zu verwenden. "Hoch" sind in diesem Fall die "Hochzahlen", also die Exponenten für die Potenzen. Wenn ihr das in der Schule noch nicht hattet, solltest du deine Lehrerin nochmal fragen, wie ihr das Thema auf eurem Niveau bearbeiten sollt.

    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Luca Richter, vor etwa einem Jahr
  3. Was ist hoch

    Von Alissa L., vor etwa einem Jahr
  4. Wir machen das anders ????

    Von Alissa L., vor etwa einem Jahr
  5. Sprecher = Autor = Darsteller =Produzent =Tutor

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  1. Cool schön super ein lob für den Sprecher :-)

    Von Angela Y., vor mehr als 3 Jahren
  2. эscut co

    Von Irina Drobinska, vor fast 4 Jahren
  3. Am Ende der Addition hättest du noch erwähnen können, dass du das Distributivgesetz anwendest. Denn es verwirrt wenn man nicht weiß wie man auf den nächsten Schritt kommt. Aber sonst wars gut.
    Übungsaufgaben wären gut.

    Von Andreradloff1983, vor fast 5 Jahren
  4. Ja ich will dazu üben

    Von Abdel O., vor mehr als 6 Jahren
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Das Fünfersystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Fünfersystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du vom Fünfer- zum Zehnersystem kommst.

    Tipps

    Die Hochzahlen geben an, an welcher Stelle wir in der Zahl sind.

    Die Hochzahl 0 steht für die Einerstelle, die 1 für die Zehnerstelle, die 2 für die Hunderterstelle und die 3 für die Stelle der Tausender.

    Ordne die Ziffern den Hochzahlen von rechts nach links zu.

    Die Potenzen der 5 lauten:

    • $5^0=1$
    • $5^1=5$
    • $5^2=25$
    • $5^3=125$

    Lösung

    Um in das Zehnersystem zu kommen, ordnen wir zuerst die Ziffern ihren entsprechenden Stellen zu und rechnen dann das Ergebnis aus.

    • Die Zahl lautet $(43)_5$. Wenn wir sie in das Zehnersystem übertragen wollen, müssen wir erst mal ihre Ziffern den Hochzahlen zuordnen. Die Hochzahlen geben an, an welcher Stelle der Zahl wir uns befinden. Wir ordnen von rechts nach links. Wir schreiben wie folgt: $(43)_5= \textbf{4} \cdot 5^{1}+\textbf{3}\cdot 5^{0}$. Nun schreiben wir die Potenzen aus und errechnen dann das Ergebnis im Zehnersystem: $(43)_5= \textbf{4} \cdot 5^{1}+ \textbf{3}\cdot 5^{0}= \textbf{4}\cdot5+ \textbf{3}\cdot1= 20 + 3 =(\textbf{23})_{10} $.
    • Die Zahl im Fünfersystem lautet $(2301)_5$. Auch hier ordnen wir wieder von rechts nach links. Die Zahl rechts kommt dabei zu der niedrigsten Hochzahl. Wir schreiben also $(2301)_5= \textbf{2}\cdot 5^{3}+ \textbf{3}\cdot 5^{2} + \textbf{0}\cdot 5^{1}+ \textbf{1}\cdot 5^{0}$. Auch hier rechnen wir wieder die Potenzen der 5 aus und bestimmen dann das Ergebnis: $(2301)_5 = \textbf{2}\cdot 125 + \textbf{3}\cdot25 + \textbf{0}\cdot 5 + \textbf{1}\cdot1= 250 + 75 + 0 +1= (\textbf{326})_{10}$.
    • Die letzte Zahl lautet: $(4444)_5$. Wir ordnen wieder die Ziffern den Hochzahlen zu und achten dabei darauf, an welcher Stelle der Zahl wir uns befinden. Wir schreiben: $(4444)_5= \textbf{4}\cdot5^{3}+\textbf{4}\cdot5^{2}+\textbf{4}\cdot5^{1}+\textbf{4}\cdot5^{0}$. Nachdem wir wieder die Potenzen der 5 ausgerechnet haben, können wir das Ergebnis ausrechnen: $(4444)_5= \textbf{4}\cdot 125+\textbf{4}\cdot25+\textbf{4}\cdot5+\textbf{4}\cdot1= 500 + 100 + 20 +4 = (\textbf{624})_{10} $.
  • Stelle dar, aus welchen Fünferpotenzen sich die dargestellten Zahlen zusammensetzen.

    Tipps

    Die Hochzahlen geben an, an welcher Stelle wir uns in der Zahl befinden. Die 0 für die Einerstelle, die 1 für die Zehnerstelle und die 2 für die Hunderterstelle.

    Bei $(213)_{5}$ steht an der Hunderterstelle eine 2. Zu $(213)_{5}$ gehört also $2\cdot 5^2$.

    Lösung

    Die einzelnen Ziffern werden immer von rechts nach links zugeordnet. Dabei wird der Zahl ganz rechts die kleinste Hochzahl zugeordnet. Die Hochzahlen geben an, an welcher Stelle wir uns in der Zahl befinden. Die 0 für die Einerstelle, die 1 für die Zehnerstelle und die 2 für die Hunderterstelle.

    1. Die Zahl lautet: $(324)_5$. Wir ordnen von rechts nach links. Die 4 steht ganz rechts, also kommt sie zu der Hochzahl 0. Die Hochzahl 0 steht für die Einerstelle. Die 2 steht in der Mitte. Ihr wird also die Hochzahl 1 zugeordnet. Und die 3 steht ganz links. Zu Ihr kommt die Hochzahl 2. Also steht hier: $(324)_5=3\cdot5^2+2\cdot5^1+4\cdot5^0$.
    2. Die Zahl lautet: $(432)_5$. Wir ordnen wieder von rechts nach links. Die 2 steht ganz rechts, also an der Einerstelle. Sie wird also der Hochzahl 0 zugeordnet. Die Ziffer 3 steht in der Mitte. Sie ordnen wir also der Hochzahl 1 zu. Es bleibt noch die Ziffer 4, welche hier ganz links steht, also an der Hunderterstelle. Die fertige Formal lautet also: $(432)_5=4\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0$.
  • Gib an, aus welchen Fünferpotenzen sich die Dezimalzahlen zusammensetzen.

    Tipps

    Was waren nochmal die Potenzen der 5?

    Wir suchen für die Zahl immer die höchste Potenz der 5.

    Als Beispiel sehen wir uns die Zahl $(123)_{10}$ an.

    Die höchste Potenz, die in diese Zahl hineingeht, ist die $5^{2} = 25$. Die nächstgrößere Potenz, die $5^{3}=125$, können wir schon nicht mehr nehmen, da die 125 schon größer ist als die 123.

    Haben wir die höchste Potenz gefunden, schauen wir, wie oft die Potenz in die Zahl hineingeht.

    Bei dem Beispiel $(123)_{10}$ geht die höchste Potenz viermal hinein. Also $4\cdot5^{2}$.

    Sobald klar ist, wie oft die höchste Potenz in die Zahl geht, schauen wir, wie groß der Rest ist und welche Potenz der 5 in diesen Rest passt.

    An unserem Beispiel sehen wir: $(123)_{10}= 4\cdot 5^2 + 23$. Der Rest ist also 23. Nun suchen wir für diesen Rest die höchste Potenz und schauen wieder, wie oft sie in den Rest hineinpasst. In diesem Fall ist es $4\cdot 5^1=20$.

    Also gilt $(123)_{10} = 4\cdot 5^2 + 4\cdot 5^1 +3$. Hier ist der Rest also 3. Bei der Suche nach der nächstgrößeren Potenz kommt nur noch die $5^0=1$ in Frage. Diese Potenz müssen wir dann dreimal nehmen.

    Setzen wir alles zusammen, erhalten wir: $(123)_{10}= 4\cdot 5^2 + 4\cdot 5^1 + 3\cdot 5^0$.

    Lösung

    Wir suchen für jede der beiden Zahlen die höchste Potenz und schauen, wie oft diese Potenz in die Zahl geht. Der übriggebliebene Rest wird dann wieder auf seine höchste Potenz überprüft. Am Ende addieren wir alle Potenzen zusammen:

    • Für die Zahl $(308)_{10}$ ist die höchste Potenz die $5^3=125$, da die nächstgrößere Potenz, die $5^4=625$, schon zu groß für die Zahl ist. Nun schauen wir, wie oft die $5^3=125$ in unsere Zahl hineinpasst. Die Antwort ist zweimal. Denn $3\cdot 5^3= 357$ ist größer als $(308)_{10}$. Wir schauen, was als Rest übrig bleibt: $308- 2\cdot 5^3= 308-250= 58$. Der Rest ist also 58. Also können wir schon mal schreiben $(308)_{10}= 2\cdot5^3+58$. Jetzt suchen wir die höchste Potenz für diesen Rest. Es ist die $5^2=25$ und sie passt zweimal hinein. Der neue Rest ist somit $58-2\cdot5^2=58-2\cdot25=58-50=8$. Dafür ist die höchste Potenz die $5^1=5$. Die 5 passt einmal in die 8 und hier bleibt als Rest die 3. Die Potenz hierfür ist die $5^0=1$ und sie passt dreimal hinein. Also schreiben wir unsere Zahl komplett auf: $(308)_{10}= 2\cdot5^3 + 2\cdot5^2+1\cdot5^1+3\cdot5^0$. Also gehören die Terme $ 2\cdot5^3$, $2\cdot5^2$, $1\cdot5^1$ und $3\cdot5^0$ alle zu der Zahl $(308)_{10}$.
    • Für die Zahl $(1~000)_{10}$ ist die höchste Potenz die $5^4=625$ und sie passt einmal in die $(1~000)_{10}$. Wir rechnen wieder den Rest aus: $1000-625=375$. Also können wir schon mal schreiben: $(1~000)_{10}= 1\cdot 5^4+375$. Die höchste Potenz für den Rest ist die $5^3=125$. Sie geht genau dreimal in den Rest. Nun sehen wir, dass bereits $3\cdot5^3=375$ gilt. Zieht man das von dem Rest ab, bleibt nichts mehr übrig $375-3\cdot5^3=375-375=0$. Das bedeutet, dass alle übrigen Potenzen keinmal in der Zahl vorhanden sind. Wenn wir die Zahl komplett aufschreiben, dürfen wir nur die Potenzen nicht vergessen, welche nach der $5^3$ noch kommen. Diese treten keinmal auf. Wir schreiben also $(1~000)_{10}=1\cdot5^4+ 3\cdot5^3 + 0\cdot5^2 + 0\cdot5^1 + 0\cdot5^0$. Also gehören die Terme $1\cdot5^4$, $3\cdot5^3$, $0\cdot5^2$, $ 0\cdot5^1$ und $0\cdot5^0$ zu $(1~000)_{10}$.
  • Bestimme die richtige Reihenfolge der Zahlen.

    Tipps

    Forme alles in Zahlen einer Basis um und rechne alle Summen aus, sonst kannst du nur schlecht sortieren.

    Vergiss die Potenzen der 5 nicht.

    • $5^0=1$
    • $5^1=5$
    • $5^2=25$

    Wenn du vom Zehnersystem in das Fünfersystem umwandeln willst, musst du zunächst die höchstmögliche Potenz der 5 finden, welche in die Zahl passt.

    Wenn du die Summe von zwei Zahlen aus dem Fünfersystem bilden willst, musst du zunächst die beiden Zahlen ausschreiben, sodass sie mit ihren Potenzen dastehen.

    Alternativ kannst du auch alle Zahlen ins Zehnersystem umwandeln und im Anschluss sortieren.

    Lösung

    Wir formen alle Zahlen so um, dass wir nur noch einfache Zahlen aus dem Fünfersystem haben. Dazu rechnen wir die beiden Summen aus und wandeln die beiden Zahlen des Zehnersystems in Zahlen des Fünfersystems um. Die folgenden Rechnungen sind bereits in der richtigen Reihenfolge.

    Die kleinste Zahl ist die $(42)_{10}$:

    • Um die $(42)_{10}$ umzuwandeln, suchen wir zunächst die höchstmögliche Potenz der 5. Hier ist es die $5^2=25$; sie geht einmal in die $(42)_{10}$. Wenn man die 25 von der 42 abzieht, bleibt ein Rest von 17.
    • Die höchste Potenz der 17 ist die $5^1$; sie geht dreimal hinein. Wir berechnen den Rest: $17-3\cdot5^1= 17-15=2$.
    • Die höchste Potenz für die 2 ist die $5^0$; sie geht zweimal hinein. Nun ist $2\cdot5^0=2$, sodass nun kein Rest übrig bleibt.
    • Wenn wir diese Rechnung nun komplett ausschreiben, können wir die Zahl im Fünfersystem direkt ablesen: $(42)_{10}= 1\cdot5^2+3\cdot5^1+2\cdot5^0=(132)_5$.
    Die nächste Zahl ist die $(231)_5$:
    • Sie ist bereits eine einfache Zahl im Fünfersystem. Wir müssen sie nicht ausrechnen oder umwandeln.
    Die dritte Zahl ist die Summe $(142)_5+(43)_5$:
    • Um die Summe zu berechnen, schreiben wir zunächst wieder die beiden Zahlen komplett aus: $(142)_5+(43)_5= 1\cdot5^2+4\cdot5^1+2\cdot5^0 + 4\cdot5^1+3\cdot5^0$.
    • Wir sortieren die Zahlen nach den Hochzahlen und fassen zusammen: $(142)_5+(43)_5= 1\cdot5^1+(4+4)\cdot5^1+(2+3)\cdot5^0 = 1\cdot5^2+8\cdot5^1+5\cdot5^0$.
    • Nun müssen wir die Ziffern aufspalten, welche größer oder gleich 5 sind. Dabei machen wir uns zunutze, dass $5=5^1$ gilt. Anschließend fassen wir mit den Rechengesetzen von Potenzen zusammen: $1\cdot5^2+8\cdot5^1+5\cdot5^0= 1\cdot5^2 + (5+3)\cdot5^1 + (5+0)\cdot5^0=$ $1\cdot5^2 + (5^1+3)\cdot5^1+ (5^1+0)\cdot5^0 = 1\cdot5^2 + 1\cdot5^2 +3\cdot5^1 +1\cdot5^1 + 0\cdot5^0= $ $2\cdot5^2+4\cdot5^1+0\cdot5^0$.
    • Wir können nun die Summe ablesen: $(142)_5+(43)_5=2\cdot5^2+4\cdot5^1+0\cdot5^0=(240)_5$.
    Die vierte Zahl ist die $(73)_{10}$:
    • Um diese Zahl in das Fünfersystem umzuwandeln, suchen wir wieder die höchste Potenz. Hier ist es $5^2=25$; sie geht zweimal hinein.
    • Wir rechnen wieder den Rest aus: $73-2\cdot5^2= 73-50=23$.
    • Die höchste Potenz für die 22 ist die $5^1=5$; sie geht viermal hinein, denn $4\cdot5^1=20$.
    • Der Rest ist wieder die Differenz: $23-4\cdot5^1=23-20=3$.
    • Die Potenz für die 3 ist die $5^0=1$; sie geht dreimal hinein. Wir sehen, dass hier kein Rest übrig bleibt, da $3-3\cdot5^0=3-3=0$.
    • Wir können also die fertige Zahl aufschreiben: $(73)_{10}=2\cdot5^2+4\cdot5^1+3\cdot5^0=(243)_5 $.
    Die letzte und höchste Zahl ist die Summe $(201)_5+(103)_5$:
    • Um die Summe zu berechnen, schreiben wir zunächst wieder beide Zahlen aus und fassen direkt zusammen: $(201)_5+(103)_5= 2\cdot5^2+0\cdot5^1+1\cdot5^0 + 1\cdot5^2+0\cdot5^1+3\cdot5^0=$ $(2+1)\cdot5^2+ (0+0)\cdot5^1 + (1+3)\cdot5^0=3\cdot5^2+0\cdot5^1+4\cdot5^0$.
    • Wir können hier die fertige Summe direkt ablesen: $(201)_5+(103)_5= 3\cdot5^2+0\cdot5^1+4\cdot5^0= (304)_5 $.
    Hinweis: Alternativ kannst du auch alle Zahlen ins Zehnersystem umwandeln und im Anschluss sortieren.

  • Bestimme die Zahlen im Fünfersystem aus der Dezimalzahldarstellung.

    Tipps

    Suche immer die höchstmögliche Potenz der 5, die in die Zahl passt:

    In $(58)_{10}$ ist $5^2=25$ die höchste 5-er Potenz, die in 58 passt.

    Schaue, wie oft die höchstmögliche Potenz in die Zahl passt, und berechne den Rest:

    Die höchste 5-er Potenz $5^2$ passt in 58 genau zweimal hinein. Der Rest ist dann $58-2\cdot 5^2=58-50=8$.

    Der Rest wird dann nach seiner höchstmöglichen Potenz untersucht:

    Beim Rest 8 ist $5^1=5$ die höchstmögliche 5-er Potenz, die in 8 hineinpasst. Letztendlich erhalten wir die Darstellung $(58)_{10}=2\cdot 5^2+1\cdot 5^1+3\cdot 5^0=(213)_5$.

    Lösung

    Wir suchen bei jeder Zahl nach der höchsten Potenz und schauen, wie oft sie in die Zahl passt. Anschließend suchen wir in dem übrig gebliebenen Rest wieder nach der höchstmöglichen Potenz. Nachdem alle Potenzen gefunden sind, bilden wir die Zahl im Zehnersystem.

    • Für die Zahl $(105)_{10}$ ist die höchste Potenz der 5 die $5^2=25$; sie geht viermal hinein. Es gilt $4\cdot5^2=100 $. Wir können also $(105)_{10}=4\cdot 5^2+5$ schreiben, da 5 der Rest ist, der noch übrig bleibt. Nun ist die nächstkleinere Potenz die $5^1$. Sie geht genau einmal in den Rest; nämlich $1\cdot 5^1=5$. Wir sehen, dass zwischen diesen beiden Zahlen kein Rest bleibt, somit kommt die letzte Potenz $5^0$ keinmal vor. Jetzt können wir die Formel zusammensetzen und die Zahl im Fünfersystem ablesen: $(105)_{10}=4\cdot5^2 + 1\cdot5^1+0\cdot5^0=(410)_5$. Somit sind $(105)_{10}$ und $(410)_5$ das erste Paar.
    • Für die Zahl $(120)_{10}$ ist die höchste Potenz wieder die $5^2$; sie geht viermal in die Zahl. Wir können also schon mal schreiben: $(120)_{10}=4\cdot5^2+20$. Die 20 sind in diesem Fall der Rest, der also noch übrig bleibt. Für den Rest ist die höchste Potenz die $5^1$, sie geht auch viermal hinein, denn $4\cdot5^1=20$. Wir sehen wieder, dass dieses Produkt genau dem Rest entspricht. Die Potenz $5^0$ kommt also keinmal in der Zahl vor. Wir können also wieder die Zahl vom Zehnersystem in das Fünfersystem umwandeln: $(120)_{10}= 4\cdot5^2+4\cdot5^1+0\cdot5^0=(440)_5$. Also sind $(120)_{10}$ und $(440)_5$ das zweite Paar.
    • Die höchste Potenz für die Zahl $(89)_{10}$ ist die $5^2$, welche dreimal hineingeht. Also rechnen wir den Rest aus: $89-3\cdot5^2=89-75=14$. Wir können also schon mal schreiben $(89)_{10}=3\cdot5^2+14$. Wir suchen nun die höchste Potenz für den Rest. Es ist die $5^1$; sie geht zweimal hinein. Wir bilden einen weiteren Rest $14-2\cdot5^1=14-10=4$ und suchen für die 4 eine Potenz. Es ist die $5^0$, welche mit $4\cdot5^0=4$ ohne Rest in die 4 geht. Wir schreiben also wieder: $(89)_{10}= 3\cdot5^2+2\cdot5^1+4\cdot5^0=(324)_5$. Somit wird das dritte Paar von $(89)_{10}$ und $(324)_5$ gebildet.
    • In die Zahl $(138)_{10}$ geht die Potenz $5^3$ als höchste Potenz einmal hinein. Der Rest errechnet sich wieder wie folgt: $138-1\cdot5^3=138-125= 13$. Für 13 ist die höchstmögliche Potenz die $5^1$, welche zweimal hineinpasst. Achtung: Die Potenz $5^2$ wird hier übersprungen, da $5^2=25$ gilt und 25 größer als 13 ist. Wir dürfen aber nicht vergessen, sie als $0\cdot5^2$ anzugeben, um die Zahl im Fünfersystem richtig bilden zu können. In den Rest 13 passt die nächstkleinere Potenz $5^1$ zweimal hinein und es bleibt $13-2\cdot 5^1=3$ übrig. In die 3 geht die $5^0$ dreimal hinein, da gilt $3\cdot5^0=3$. Wir schreiben also wieder: $(138)_{10}= 1\cdot5^3+0\cdot5^2+2\cdot5^1+3\cdot5^0=(1023)_5$. Das letzte Paar wird also von $(138)_{10}$ und $(1023)_5$ gebildet.
  • Ermittle die Summen im Fünfersystem.

    Tipps

    Schreibe die Zahlen links als Summe von 5-er Potenzen.

    Fasse als nächstes Potenzen mit gleicher Hochzahl zusammen.

    Beispiel: $(12)_5 + (34)_5= 1\cdot5^1+ 2\cdot5^0 + 3\cdot5^1 + 4\cdot5^0= 1\cdot5^1+3\cdot5^1 + 2\cdot5^0+ 4\cdot5^0$.

    Du kannst dann das Distributivgesetz nutzen, um die Hochzahlen auszuklammern.

    Beispiel: $1\cdot5^1+3\cdot5^1 + 2\cdot5^0+ 4\cdot5^0 = (1+3)\cdot5^1 + (2+4)\cdot5^0$.

    Du musst aber aufpassen, wenn die Ziffer vor den Hochzahlen die 5 überschreitet. Du musst dann weiter umformen.

    Beispiel: $(2+4)\cdot5^0= 6\cdot5^0 = (5+1)\cdot5^0=(5^1 +1)\cdot5^0= 5^1+5^0$.

    Beachte die Rechengesetze für Potenzen.

    Beispiel: $5^2\cdot5^3=5^{2+3}=5^5$.

    Lösung

    Wir berechnen jede Summe, indem wir die einzelnen Zahlen des Fünfersystems umformen und dann sortieren. Am Ende wird die neue Zahl des Fünfersystems gebildet.

    Für $(320)_5+(122)_5$:

    • Bei der Summe $(320)_5 + (122)_5$ schreiben wir zuerst die einzelnen Summanden aus. Wir notieren also $(320)_5 + (122)_5= 3\cdot5^2+2\cdot5^1+0\cdot5^0+1\cdot5^2+2\cdot5^1+2\cdot5^0$.
    • Nun sortieren wir einfach nach Hochzahlen und fassen mit Klammern zusammen: $(320)_5+(122)_5= 3\cdot5^2+1\cdot5^2 +2\cdot5^1+2\cdot5^1 + 0\cdot5^0+2\cdot5^0$ $=(3+1)\cdot5^2 + (2+2)\cdot5^1 + (0+2)\cdot5^0$.
    • Jetzt müssen wir die Zahlen in den Klammer ausrechnen und können dann die fertige Gesamtsumme bilden: $(320)_5+(122)_5= (3+1)\cdot5^2 + (2+2)\cdot5^1 + (0+2)\cdot5^0$ $=4\cdot5^2+4\cdot5^1+2\cdot5^0=(442)_5$.
    • Diese Gleichung ist also richtig.
    Für $(424)_5 + (311)_5$:
    • Auch bei der Summe $(424)_5 + (311)_5$ schreiben wir zuerst beide Zahlen komplett aus und fassen dann mit Klammern zusammen: $(424)_5 + (311)_5=4\cdot5^2+2\cdot5^1+4\cdot5^0 + 3\cdot5^2+1\cdot5^1+1\cdot5^0$ $=4\cdot5^2+3\cdot5^2+2\cdot5^1+1\cdot5^1+4\cdot5^0+1\cdot5^0$ $= (4+3)\cdot5^2+(2+1)\cdot5^1+(4+1)\cdot5^0$.
    • Wir rechnen die einzelnen Klammern aus: $(424)_5+(311)_5= 7\cdot5^2+3\cdot5^1+5\cdot5^0$.
    • Jetzt stehen aber vor den Potenzen Ziffern, die gleich oder größer 5 sind, was aber laut Definition nicht erlaubt ist. Wir schreiben also um und nutzen dabei, dass $5=5^1$ ist: $ 7\cdot5^2+3\cdot5^1+5\cdot5^0= (5+2)\cdot5^2+3\cdot5^1+(5+0)\cdot5^0$ $=(5^1+2)\cdot5^2+3\cdot5^1+(5^1+0)\cdot5^0$.
    • Nun können wir die Klammern auflösen mithilfe der Rechengesetze von Potenzen: $(5^1+2)\cdot5^2+3\cdot5^1+(5^1+0)\cdot5^0=5^{1+2}+2\cdot5^2 +3\cdot5^1 + 5^{1+0}+0\cdot5^0$ $=1\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5^1+1\cdot5^1+0\cdot5^0$.
    • Jetzt fassen wir zusammen und bilden die fertige Summe: $(424)_5+(311)_5= 1\cdot5^3+2\cdot5^2+(3+1)\cdot5^1+0\cdot5^0$ $=1\cdot5^3+2\cdot5^2+4\cdot5^1+0\cdot5^0=(1240)_5$.
    • Diese Gleichung ist also auch richtig.
    Für $(224)_5+(344)_5$:
    • Auch bei der Summe $(224)_5+(344)_5$ schreiben wir die Zahlen einzeln aus und fassen mit Klammern zusammen: $(224)_5+(344)_5=2\cdot5^2+2\cdot5^1+4\cdot5^0 + 3\cdot5^2+4\cdot5^1+4\cdot5^0$ $=(2+3)\cdot5^2 + (2+4)\cdot5^1 + (4+4)\cdot 5^0$.
    • Wir lösen wieder die Klammern auf und sehen, wo die Ziffer vor den Potenzen größer oder gleich 5 ist. Diese Ziffern werden wieder aufgeteilt: $(224)_5+(344)_5=5\cdot5^2+6\cdot5^1+8\cdot5^0=(5+0)\cdot5^2+(5+1)\cdot5^1+(5+3)\cdot5^0$ $=(5^1+0)\cdot5^2+ (5^1+1)\cdot5^1+(5^1+3)\cdot5^0$ gilt.
    • Mithilfe der Rechengesetze für Potenzen können wir die Klammern wieder auflösen: $(5^1+0)\cdot5^2+ (5^1+1)\cdot5^1+(5^1+3)\cdot5^0=5^{1+2}+0\cdot5^2 + 5^{1+1}+ 1\cdot5^1 + 5^{1+0}+ 3\cdot5^0$ $=1\cdot5^3+1\cdot5^2+1\cdot5^1+1\cdot5^1+3\cdot5^0= 1\cdot5^3+1\cdot5^2+2\cdot5^1+3\cdot5^0$.
    • Nun müssen wir die fertige Summe nur noch aufschreiben: $(224)_5+(344)_5=1\cdot5^3+1\cdot5^2+2\cdot5^1+3\cdot5^0=(1123)_5$.
    • Die Gleichung ist also falsch.
    Für $(420)_5+(331)_5$:
    • Auch bei der Summe $(420)_5+(331)_5$ lösen wir die Zahlen auf und fassen das Ergebnis zusammen: $(420)_5+(331)_5= 4\cdot5^2+2\cdot5^1+0\cdot5^0 + 3\cdot5^2+3\cdot5^1+1\cdot5^0$ $=(4+3)\cdot5^2 + (2+3)\cdot5^1 + (0+1)\cdot5^0=7\cdot5^2 + 5\cdot5^1+1\cdot5^0$.
    • Nun sind in dieser Gleichung wieder Ziffern vor den Potenzen, sodass wir wieder umformen: $7\cdot5^2 + 5\cdot5^1+1\cdot5^0= (5+2)\cdot5^2 + (5+0)\cdot5^1+1\cdot5^0$ $=(5^1+2)\cdot5^2+(5^1+0)\cdot5^1 +1\cdot5^0$
    • Wir wenden wieder die Rechengesetze für Potenzen an, um die Klammern aufzulösen und können so die fertige Summe bestimmen: $ 5^{1+2} + 2\cdot5^2 + 5^{1+1} + 0\cdot5^1+1\cdot5^0 =1\cdot5^3+2\cdot5^2+1\cdot5^2+0\cdot5^1+1\cdot5^0$ $=1\cdot5^3 + 3\cdot5^2 + 0\cdot5^1 + 1\cdot5^0=(1301)_5$
    • Diese Gleichung ist also richtig.