Binomische Formeln – Übung (6)

Binomische Formeln – Übung (6) Übung

• Beschreibe, wie du den Term mit Hilfe der binomischen Formeln vereinfachen kannst.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Es gilt zum Beispiel $ -3 \cdot (y - 2) = -3 \cdot y + (-3) \cdot (-2) $.

  Gehe so vor: Schau dir den Term genau an. Multipliziere die bekannten Klammern aus und wende dann die binomische Formel an. Fasse abschließend zusammen.

  Lösung

  Schaue dir zunächst immer genau an, wie dein Term aufgebaut ist. Wie lassen sich die Klammern lösen?

  Beginne am besten von links nach rechts. Mache ruhig mehrere Zwischenschritte, damit du den Überblick behältst und keine Rechenschritte vergisst. Hier kannst du zum Beispiel erst einmal die ersten beiden Klammern auflösen und den Rest des Terms so übernehmen:

  $ (y + 1) \cdot (2y + 3) - 2 \cdot (y + 1)^2 - 8 = 2y^2 + 3y + 2y + 3 - 2 \cdot (y +1)^2 - 8 $

  Dann wendest du im nächsten Schritt die erste binomische Formel an. Auch hier kannst du erst die Klammer lösen und dann dein Ergebnis mit $ -2 $ multiplizieren.

  $ 2y^2 + 3y + 2y + 3 - 2 \cdot (y^2 +2y + 1) - 8 = 2y^2 + 3y + 2y + 3 - 2y^2 - 4y - 2 - 8 $

  Fasse dann noch alles zusammen, was möglich ist. Hierbei gilt, dass du die Terme addierst bzw. subtrahierst, welche alle zum Beispiel ein $ y^2 $ als Variable enthalten oder eben alle, die als Variable ein $ y $ enthalten.

  Damit du genau siehst, was du schon verrechnet hast, kannst du die Zahlen auch leicht durchstreichen. So behältst du eine gute Übersicht und kommst sicher auf den vereinfachten Term $ y - 7 $ .

• Vereinfache den Term mithilfe der binomischen Formeln.

  Tipps

  Du sollst hier die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ anwenden.

  Ein Minus vor der Klammer dreht alle Rechenzeichen in der Klammer um.

  Man multipliziert zwei Klammern zum Beispiel so aus: $ (v - 2) (5 - v) = 5v - v^2 - 10 + 2v = -v^2 + 7v - 10 $

  Lösung

  Du musst bei

  $ (u + \frac{1}{3})^2 - (u - \frac{1}{3})(\frac{1}{2} + u) - \frac{5}{36} $

  zunächst die erste Klammer mithilfe der ersten binomischen Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ auflösen und das Produkt der beiden anderen Klammern bilden.

  Dabei gilt: Multipliziere jeden Summanden der einen Klammer mit jedem der anderen.

  Achte darauf, dass hier ein Minuszeichen vor der Klammer steht. Das Minus vor der Klammer bedeutet, dass sich alle Rechenzeichen in der Klammer umdrehen. Also aus Minus wird Plus und aus Plus wird Minus.

  Das ergibt dann: $ u^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} u + \frac{1}{9} - \frac{1}{2}u - u^2 + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} u - \frac{5}{36} $

  Fasse dann zusammen, was sich zusammenfassen lässt. Achte darauf, dass die Terme gleiche Variablen enthalten, damit du sie zusammenfassen kannst und dass die Brüche den gleichen Nenner haben. Erweitere hierzu:

  $ \frac{4}{6} u - \frac{3}{6} u + \frac{2}{6} u + \frac{4}{36} + \frac{6}{36} - \frac{5}{36} $

  Nun kannst du soweit zusammenfassen und erhältst:

  $ \frac{1}{2} u - \frac{5}{36} $

• Arbeite heraus, welche binomischen Formeln du anwenden kannst, um den Term zu vereinfachen.

  Tipps

  Schaue dir die Terme jeweils von links nach rechts genau an.

  Es gibt drei binomische Formeln:

  1. $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 $
  2. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2 $
  3. $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $

  Bei der 3. binomischen Formel kann man auch die Rechenzeichen in den Klammern tauschen: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $

  Lösung

  Schaue dir jeden Term von links nach rechts genau an. Überlege dir, ob du binomische Formeln anwenden kannst.

  Es gibt drei binomische Formeln:

  1. $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 $
  2. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2 $
  3. $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $

  Bei der 3. binomischen Formel kann man auch die Rechenzeichen in den Klammern tauschen: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $

  Wenn es Klammern gibt, achte genau darauf, welche Klammern zusammen gehören. Überlege dir, wo Punkt- vor Strichrechnung gilt. Denk daran, dass Zahlen vor einer Klammer bedeuten, dass du die Zahl mit allen Faktoren in der Klammer multiplizieren musst. Ein Minus vor der Klammer heißt, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen.

  Bei $ (2u - v) (2u + v) - (u - z)^2 $ gehören die ersten beiden Klammern zusammen. Du kannst hier die dritte binomische Formel anwenden.

  Bei $ - (u - z)^2 $ kannst du die zweite binomische Formel anwenden. Beachte hier das $ - $ vor der Klammer. Alle Vorzeichen deines Ergebnisses drehen sich um.

  Bei $ (u^2 - 2)^2 - 4(u^4 + 5) $ kannst du bei der ersten Klammer die zweite binomische Formel anwenden. Danach musst du die $ -4 $ mit jedem Faktor in der Klammer multiplizieren.

  Bei dem Term $ (2v + 3)^2 - (4u + 3)^2 $ kannst du die erste binomische Formel bei beiden Klammern anwenden. Bei der zweiten Klammer berücksichtige noch das Minuszeichen vor der Klammer.

  Bei $ (uv - v) (uv + v) - (3u - 2)^2 - 3(4u + 3) $ kannst du zunächst die dritte binomische Formel anwenden. Denk daran, dass $ uv \cdot uv = u^2 \cdot v^2 $ ist. Bei der zweiten Klammer kannst du die zweite binomische Formel anwenden. Beim Ergebnis musst du alle Vorzeichen umdrehen. Die dritte Klammer musst du wie gewohnt auflösen, indem du die $ - 3 $ mit jedem Faktor in der Klammer multiplizierst.

• Vereinfache den Term mit den binomischen Formeln.

  Tipps

  Du kannst den Bruch in der ersten Klammern auch kürzen.

  Es gibt drei binomische Formeln:

  1. $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 $
  2. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2 $
  3. $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $

  Bei der 3. binomischen Formel kann man auch die Rechenzeichen in den Klammern tauschen: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $

  Du musst die erste und dritte binomische Formel anwenden. Hier ein Zwischenergebnis:

  $v^2-v+\frac14-2 \cdot (v^2-\frac19)$

  Lösung

  Am besten kürzt du zuerst $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

  Es gibt drei binomische Formeln:

  1. $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 $
  2. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2 $
  3. $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $

  Bei der 3. binomischen Formel kann man auch die Rechenzeichen in den Klammern tauschen: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $.

  Wir wenden die zweite binomische Formel an.

  $ (v - \frac{1}{2} )^2 - 2 \cdot [ (v + \frac {1}{3} ) (v - \frac {1}{3} ) ]= v^2 -v + \frac{1}{4} - 2\cdot [ (v + \frac {1}{3} ) (v - \frac {1}{3} ) ]$.

  Wende hier die dritte binomische Formel an.

  $ v^2 -v + \frac{1}{4} - 2 [ (v + \frac {1}{3} ) (v - \frac {1}{3} ) ]= v^2 -v + \frac{1}{4} - 2 ( v^2 - \frac {1}{9} ) $

  Dann musst du die Klammer noch mit $ - 2 $ multiplizieren und alles zusammenfassen, was möglich ist. Wir erweitern hierbei die Brüche auf $36$.

  Der vereinfachte Term lautet dann:

  $ v^2 -v + \frac{1}{4} - 2 ( v^2 - \frac {1}{9} ) = v^2-v+\frac14 -2v^2 +\frac29 = - v^2 - v + \frac {17}{36} $

• Gib die binomischen Formeln wieder.

  Tipps

  Es gibt drei binomische Formeln und vier richtige Antwortmöglichkeiten.

  Achte auf die richtigen Rechenzeichen.

  Lösung

  Es gibt drei binomische Formeln:

  1. $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 $
  2. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2 $
  3. $ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $

  Bei der 3. binomischen Formel kann man auch die Rechenzeichen in den Klammern tauschen: $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $

• Vereinfache die Terme mit den binomischen Formeln.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

  Die zweite binomische Formel lautet $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

  Die dritte binomische Formel lautet $ (a + b)( a - b) = a^2 - b^2 $.

  Lösung

  Bei dem ersten Term $(u^2 + 3)^2 - (u^2 + 2)(u^2 - 2) - (2u^2 + 4) $ wenden wir die erste binomische Formel und die dritte binomische Formel an. Die letzte Klammern wird aufgelöst. Hier drehen sich die Vorzeichen um, da ein Minus vor der Klammer steht.

  $ \begin{align} &(u^2 + 3)^2 - (u^2 + 2)(u^2 - 2) - (2u^2 + 4) \\ &= (u^4+6u^2+9) - (u^4-4)-2u^2-4 \\ &=u^4+6u^2+9-u^4+4-2u^2-4 \\ &=4u^2+9 \end{align}$

  Bei $(v^2 - 4)^2 + (3v + 2)(3v - 4)$ kann man die zweite binomische Formel anwenden. Die zweite und dritte Klammer musst du lösen, indem du jeden Faktor der ersten Klammer mit jedem Faktor der zweiten Klammer multiplizierst.

  $ \begin{align} &(v^2 - 4)^2 + (3v + 2)(3v - 4) \\ &= v^4 - 8v^2 + 16 + 9v^2 - 12v + 6v - 8 \\ &= v^4 + v^2 - 6v + 8 \end{align}$

  Bei $ 4(2v + 3) - (2v + 4)(2v - 4) $ musst du die erste Klammer auflösen, indem du die $4$ mit jedem Faktor in der Klammer multiplizierst. Bei der zweiten und dritten Klammer wendest du die dritte binomische Formel an. Denk daran, dass ein Minus vor den Klammern steht. Du musst also im Ergebnis alle Vorzeichen umdrehen.

  $ \begin{align} &4(2v + 3) - (2v + 4)(2v - 4) \\ &=8v + 12 - (4v^2 - 16) \\ &= 8v + 12 - 4v^2 + 16 \\ &= -4v^2 + 8v + 28 \end{align}$

  Bei $ (uv - 2)(uw + 2) + (u + 2)^2 $ musst du die ersten beiden Klammern lösen, indem du jeden Faktor der ersten Klammer mit jedem Faktor der zweiten Klammer multiplizierst. Die dritte binomische Formel kannst du nicht anwenden, da nicht die gleichen Variablen in der ersten und in der zweiten Klammer stehen. Bei der dritten Klammer wendest du die erste binomische Formel an.

  $ \begin{align} &(uv - 2)(uw + 2) + (u + 2)^2 \\ &= u^2vw + 2uv - 2uw - 4 + u^2 + 4u + 4 \\ &= u^2vw + u^2 + 2uv - 2uw + 4u \\ \end{align}$