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Binomische Formeln – Übung (5)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Binomische Formeln – Übung (5)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Binomische Formeln – Übung (5)

Im Video wenden wir jeweils eine binomische Formel auf den Term

(1/2 * a + 1/2 * b)²

und auf den Term

1/9 u² - 7/3 uv + 49/4 v²

an.

Die Schwierigkeit beim ersten Term besteht darin, dass in der ersten binomischen Formel das a ersetzt wird durch etwas, was a enthält, nämlich 1/2 * a. Ebenso wird b durch 1/2 * b ersetzt. Bei solchen Ersetzungen muss man immer "doppelt" genau vorgehen. Ein häufiger Fehler tritt beim Quadrieren des Terms 1/2 * a auf. Damit du diesen Fehler nicht machst, wird im Video ausführlich darauf eingegangen (ab 1:34).

Die Schwierigkeit beim zweiten Term ist die fehlende 2 im mittleren Summanden. Wenn du dir aber genau überlegst, was eigentlich quadriert wurde, siehst du, dass die 2 gekürzt wurde. So kannst du also die zweite binomische Formel anwenden.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Gutes Video!!!
    Außerdem sind sie sehr sympatisch und erklären in den Videos alles sehr gut und gründlich.

    Von Joachim Allgeier, vor fast 2 Jahren
  2. sehr gut . hat mir voll geholfen

    Von Gourammargot 1, vor fast 2 Jahren
  3. echt gut und ich bin erster xd

    Von Judith H., vor etwa 5 Jahren

Binomische Formeln – Übung (5) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Übung (5) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den gleichwertigen Term an.

    Tipps

    Welche binomische Formel kannst du anwenden?

    Lösung

    Du kannst die 1. binomische Formel anwenden, da in dieser Aufgabe eine Summe aus zwei Summanden quadriert wird.

    Das $a$ aus der binomischen Formel wird nun zu $\frac{1}{2} a$ und für das $b$ aus der Formel setzen wir $\frac{1}{2} b$ ein. Durch einsetzen und zusammenfassen erhalten wir:

    $ (\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b) ^2 = (\frac{1}{2} a) ^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2} b + (\frac{1}{2} b) ^2 = \frac{1}{4} a^2 + \frac{1}{2} ab+ \frac{1}{4} b^2 $.

  • Beschreibe, wie du den Term mithilfe einer binomischen Formel umformen kannst.

    Tipps

    Welche binomische Formel kannst du anwenden? Prüfe deine Vermutung!

    Was ist $ a $ ? Was ist $ b $?

    Lösung

    Da wir als Operationszeichen ein Minus- und ein Pluszeichen haben, kommt nur die 2. binomische Formel mit $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ für eine Umformung des Terms in Frage.

    Wir überprüfen unsere Vermutung, indem wir $a$, $b$ und anschließend $2ab$ bestimmen und unsere Werte mit dem gegebenen Term vergleichen.

    Wir sehen an der äußeren Form, dass

    $a^2 = \frac{1}{9} u^2 $ und $b^2 = \frac{49}{4} v^2$

    entspricht, somit erhalten wir

    $a= \frac{1}{3} u$ und $b=\frac{7}{2} v$,

    wenn wir die Quadratwurzel ziehen.

    Nun setzen wir ein und berechnen:

    $ 2 \cdot a \cdot b = 2 \cdot \frac{1}{3} u \cdot \frac{7}{2} v = \frac{7}{3} uv$.

    Dies stimmt mit dem gegebenen Term überein und wir können nun die zweite binomische Formel anwenden:

    $\frac{1}{9} u^2 - \frac{7}{3} uv + \frac{49}{4} v^2= (\frac{1}{3} u - \frac{7}{2} v)^2 $.

  • Erläutere die Vorgehensweise beim Anwenden der binomischen Formel.

    Tipps

    Schau dir den Bruch $ \frac{2}{4} $ nochmal genau an. Was kann man machen?

    Welche binomische Formel kannst du anwenden?

    Denk daran soweit wie möglich zusammenzufassen oder zu kürzen!

    Lösung

    Es ist vorteilhaft, wenn du erstmal soweit wie möglich kürzt. Das macht dir das Rechnen leichter. Also kürzen wir den zweiten Summanden durch $2$ und erhalten: $ (\frac{5}{7} x + \frac{1}{2}y)^2 $

    Nun wenden wir die 1. binomische Formel an: $\frac{25}{49} x^2 + 2 \cdot \frac{5}{7} x \cdot \frac{1}{2} y + \frac{1}{4}y^2 $

    Der mittlere Summand kann noch gekürzt und zusammengefasst werden. Als Ergebnis erhalten wir dann:

    $\frac{25}{49} x^2 + \frac{5}{7} xy + \frac{1}{4} y^2 $.

  • Wende die binomischen Formeln an.

    Tipps

    Welche binomische Formel kannst du anwenden?

    Vergiss nicht zu kürzen.

    Lösung

    Du musst dir zunächst überlegen, ob du in der Klammer die Brüche kürzen kannst. Kürzen macht die Zahlen kleiner und vereinfacht dir somit das Rechnen.

    Als Beispiel diese Aufgabe:

    $ (\frac {4}{8} a - \frac{1}{3} )^2 $

    Hier kannst du den ersten Summanden mit $ 4 $ kürzen:

    $ (\frac {1}{2} a - \frac{1}{3} )^2 $

    Nun wende die 2. binomische Formel an:

    $ \frac {1}{4} a^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac {1}{3} a + \frac{1}{9} $

    Kürze nun noch im mittleren Summanden. Dein Ergebnis ist dann:

    $ \frac {1}{4} a^2 - \frac {1}{3} a + \frac{1}{9} $

    Gehe bei allen anderen Aufgaben genau so vor!

  • Gib die binomischen Formeln an.

    Tipps

    Wie viele binomische Formeln gibt es?

    Es gilt zum Beispiel auch $ (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2 $

    Lösung

    Es gibt drei binomische Formeln:

    1. $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
    2. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
    3. $ (a + b) (a - b) = a^2 - b^2 $
    Falls dir eine Formel mal entfallen sollte, kannst du einfach durch das Ausmultiplizieren der Klammern und das Zusammenfassen der Terme die Formeln berechnen.

    Beispielsweise ist $ (a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

  • Wende die dir bekannten Formeln und Regeln zum Auflösen der Klammern an.

    Tipps

    Wenn ein Faktor vor einer Klammer steht, dann multipliziert man jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor. Beispielsweise ist $ 5 \cdot (2x + 3) = 5 \cdot 2x + 5 \cdot 3 $.

    Wenn du geschickt umformst, kannst du auch eine binomische Formel anwenden, denn $(x-3)^3 = (x-3)\cdot (x-3)\cdot (x-3) = (x-3)\cdot (x-3)^2$

    Lösung

    Wenn ein Faktor vor einer Klammer steht, dann multipliziert man jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor.

    • $ 6 \cdot (4x - 9) = 6 \cdot 4x - 6 \cdot 9 =24x - 54 $.
    Selbiges gilt auch für die nächste Aufgabe:
    • $ (2x - 1) ( 9x + 10) = 18x^2 + 20x - 9x -10 = 18x^2 + 11x - 10$.
    Wenn ein Klammerausdruck mit zwei Summanden quadriert wird, können wir die 1. binomische Formel anwenden:
    • $ (2x + 7)^2 = 4x^2 + 28x + 49 $.
    Auch bei der nächsten Aufgabe können wir eine binomische Formel anwenden, wenn wir zuvor einen Faktor aus der Potenz entfernen und separat notieren:
    • $(x - 3)^3 = (x - 3) \cdot (x - 3)^2 = (x - 3) \cdot ( x^2 - 6x + 9 )$
    Nun können wir die Klammern miteinander multiplizieren und zusammenfassen:

    $= x\cdot x^2 - x \cdot 6x + x \cdot 9 - 3 \cdot x^2 +3\cdot 6x -3\cdot 9$ $= x^3 - 6x^2 + 9x -3x^2 +18x -27 = x^3 -9x^2 + 27x -27$.

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