Binomische Formeln – Übung (4)

Binomische Formeln – Übung (4) Übung

• Beschreibe die Anwendung der binomischen Formel.

  Tipps

  Welche binomische Formel kannst du anwenden? Achte auf die Operationszeichen.

  Quadrate kannst du berechnen, indem du die Zahl mit sich selbst multiplizierst, z.B.: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

  $ 18 = 2 \cdot 9 $

  Lösung

  Zunächst musst du dir überlegen, welche binomische Formel du anwenden kannst. Da es im Term sowohl ein Minuszeichen als auch ein Pluszeichen gibt, vermuten wir, dass wir die 2. binomische Formel anwenden können. Allgemein lautet die zweite binomische Formel: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

  Der Summand $81$ ist eine bekannte Quadratzahl, wir können daher $81$ umschreiben zu$ 81 = 9^2 $. Somit müsste das $b$ in der allgemeinen binomischen Formel der 9 entsprechen.

  Den Term können wir also insgesamt umschreiben zu: $y^2 -18y+81 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 $

  Die 2. binomische Formel angewendet, ergibt dann: $ y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = (y - 9)^2 $.

• Berechne das Produkt $10 \cdot 6$ mithilfe einer binomischen Formel.

  Tipps

  Welche binomische Formel wendest du an?

  Probiere einige Zahlen aus, um $a$ und $b$ zu bestimmen. Beispielweise ist $9 - 3 = 6$, aber $9 + 3 = 12$ und nicht $10$, also sind $a=9$ und $b=3$ falsch.

  Lösung

  $ 10 \cdot 6 $ ist zwar auch ohne binomische Formel nicht schwer zu berechnen, aber an dieser recht leichten Multiplikationsaufgabe kannst du gut üben, binomische Formeln anzuwenden.

  Du wendest die 3. binomische Formel an, weil nur bei dieser Formel ein Produkt aus zwei unterschiedlichen Zahlen, nämlich $(a+b)$ und $(a-b)$, berechnet wird.

  Wir suchen erstmal die Werte für $a$ und $b$, wobei wir wissen, dass $a+b = 10$ und $a-b =6$ ergeben muss.

  Durch Probieren erhalten wir dann für $ a = 8 $ und $ b = 2 $, denn $8 + 2 = 10$ und $8 - 2=6$. Diese Werte setzen wir in die dritte binomische Formel ein und erhalten:

  $10 \cdot 6 = (8 + 2) \cdot (8 - 2)=8^2-2^2 = 64 -4 =60$.

• Forme mithilfe einer binomischen Formel um.

  Tipps

  Welche binomische Formel wendest du an? Achte auf die Operationszeichen.

  Welche Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert $49$?

  Lösung

  Anhand der äußeren Form des Terms $ x^2 + 14x + 49 $ vermutet man, dass man die 1. binomische Formel anwenden kann.

  $49$ umschreibt man mit $ 49 = 7 \cdot 7 = 7^2 $ und anstelle von $14x$ kann man $2 \cdot 7 \cdot x$ schreiben. Nun sieht man eindeutig die Form der 1. binomischen Formel.

  $ x^2 + 14x + 49 = x^2 + 2 \cdot 7 \cdot x + 7^2 = (x + 7)^2$.

• Bestimme, falls möglich, welche binomische Formel du anwenden kannst.

  Tipps

  Achte auf die Operationszeichen.

  Bei welcher binomischen Formel multipliziert man zwei unterschiedliche Faktoren?

  Lösung

  Die drei binomischen Formeln lauten:

  1. $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
  2. $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.
  3. $ (a + b) (a - b) = a^2 - b^2 $

  Es reicht aber nicht aus, nur die Formeln auswendig zu lernen, man muss auch wissen, wann man welche anwenden kann.

  Man ermittelt die Werte für $a$ und $b$ und setzt sie in die Formel ein. Sollte dies nicht möglich sein, so kann man keine binomische Formel anwenden.

  Betrachten wir beispielsweise die erste Aufgabe: $ 121 \cdot 117 $. Es sind zwei unterschiedliche Faktoren gegeben, wie dies nur in der dritten binomischen Formel der Fall ist. Nun prüfen wir, ob es ein $a$ bzw. $b$ gibt, sodass $(a + b)=121$ und $(a - b)=117$. Durch Probieren erhalten wir $a=119$ und $b=2$, somit ist die dritte binomische Formel anwendbar.

• Gib die binomischen Formeln an.

  Tipps

  Es gibt drei binomische Formeln.

  Löse die Klammern jeweils auf. Was erhältst du als Ergebnis?

  Man multipliziert zwei Klammern miteinander, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert.

  Lösung

  Es gibt insgesamt drei binomische Formeln.

  Wenn wir mal eine Formel vergessen sollten, können wir einfach die Klammern auflösen, indem wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.

  Beispielsweise lautet die erste binomische Formel:

  $(a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a^2 + ab+ ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  Die zweite binomische Formel lautet:

  $(a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

  Auch die dritte binomische Formel erhalten wir durch das Ausmultiplizieren der Klammern:

  $(a+b)\cdot (a-b) = a^2 -ab + ba -b^2 = a^2 - b^2$.

• Wende die binomische Formel auf die Produkte an.

  Tipps

  Welche binomische Formel musst du anwenden?

  Überlege dir, wie du den ersten Faktor zerlegen kannst.

  Prüfe dann, ob du den zweiten Faktor mit den gleichen Zahlen zerlegen kannst.

  Denke daran, dass du einmal eine Summe und einmal eine Differenz bilden musst.

  Lösung

  Ein Beispiel, wie du bei solchen Aufgaben vorgehen kannst:

  • Die Aufgabe ist $ 50 \cdot 10 $.

  • Wichtig ist, dass du beide Faktoren mit den gleichen Zahlen zerlegst und dabei einmal eine Summe und einmal eine Differenz bildest.

  • Du musst dir nun überlegen, wie du die $ 50 $ zerlegen kannst. Versuche sie als eine Summe aus zwei Zahlen darzustellen. $ 50 = 30 + 20 $.

  • Nun musst du auch den zweiten Faktor $ 10 $ zerlegen, und zwar mit den gleichen Zahlen: $ 10 = 30 - 20 $.

  • $ 50 \cdot 10 = (30 + 20) \cdot (30 - 20) $

  • Wenn du die 3. binomische Formel anwendest, erhältst du: $ 50 \cdot 10 = (30 + 20) \cdot (30 - 20) = 30^2 - 20^2 $

  • Bei den anderen Aufgaben gehst du gleichermaßen vor.