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Binomische Formeln – Übung (3)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Binomische Formeln – Übung (3)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Binomische Formeln – Übung (3)

In diesem Video sehen wir uns die Terme

(a + x²)²

und

x4 - y4

an und verändern sie mit den binomischen Formeln.

Anders als bei den bisherigen Termen werden nun Quadrate quadriert. Aus z.B. (x²)² wird dann x4. Umgekehrt kannst eine vierte Potenz, z.B. y4 auch als Quadrat verstehen, nämlich als Quadrat von y².

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Super erklärt!!!👍

    Von Joachim Allgeier, vor fast 2 Jahren
  2. Gut erklärt

    Von Roland H., vor fast 2 Jahren
  3. Wegen ihnen habe ich eine 6 (Schweiz) geschrieben, danke! (Schweiz=6, Deutschland=1)

    Von Chris M., vor fast 4 Jahren

Binomische Formeln – Übung (3) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Übung (3) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie du die binomische Formel auf den Term $(a + x^2)^2$ anwendest.

    Tipps

    In der Klammer deines Terms steht ein Plus als Rechenzeichen. Du wendest daher die 1. binomische Formel an.

    Wenn dort $ (a + y^2) $ stünde, wäre $b$ mit $ y^2 $ ersetzt worden.

    Es gilt $ (y^2)^2 = y ^4 $.

    Lösung

    Überlege dir zunächst, welche binomische Formel du hier nutzen kannst.

    Es ist die 1. binomische Formel, da in deiner Klammer als Rechenzeichen ein Pluszeichen steht.

    Der Unterschied zur allgemeinen 1. binomischen Formel ist das $ x^2 $.

    Wenn du anstelle von $b$ ein $ x^2 $ in den Term der 1. binomischen Formel schreibst, erhältst du:

    $(a+x^2)^2= a^2 + 2ax^2 + (x^2)^2 $

    Nun kannst du dich an das Potenzgesetz erinnern: $ (x^2)^2 = x^2 \cdot x^2 = x^{(2+2)} = x^4 $

    Und so erhältst du dann das Ergebnis für deinen Term: $ (a+x^2)^2=a^2 + 2ax^2 + x^4 $

  • Bestimme, wie du den Term $ x^4 - y^4 $ in Faktoren zerlegst.

    Tipps

    Bei $ m^4 - n^4 $ würdest du $ a = m^2 $ und $ b = n^2 $ wählen.

    Die 3. binomische Formel lautet $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

    Du kannst die Variablen $a$ und $b$ der allgemeinen binomischen Formel durch alle möglichen Terme ersetzen.

    Lösung

    Der Term $ x^4 - y^4 $ hat die Exponenten $4$. Bei der 3. binomischen Formel gibt es aber immer nur den Exponenten $2$. Daher musst du bei diesem Term $a$ und $b$ mit $ x^2 $ und $ y^2 $ ersetzen.

    Das ergibt dann zunächst $ (x^2)^2 - (y^2)2 $

    Wenn du die 3. binomische Formel mit $ (a - b) (a + b) $ angewendet hast, ergibt dies:

    $ (x^2 + y^2) (x^2 - y^2) $.

    Auf den hinteren Term kannst du nochmal das 3. Binom anwenden, da hier als Rechenzeichen Minus steht. Bei der ersten Klammer steht allerdings ein Pluszeichen und sie ist somit nicht weiter mit den Binomen zerlegbar.

    Da $ (x^2 - y^2) $ das Ergebnis der 3. binomischen Formel ist, kannst du es schreiben als $ (x + y) (x - y) $.

    Wenn du dies einsetzt, ergibt sich $ (x^2 + y^2) (x+y) (x-y) $.

    Du hast den Term so mithilfe der 3. binomischen Formel in Faktoren zerlegt, wobei Faktoren – wie du hier gelernt hast – auch Variablen beinhalten können.

  • Arbeite heraus, wie du die binomische Formel auf den Term anwendest.

    Tipps

    Der Ausgangsterm steht am Anfang einer Überlegung oder Aufgabe.

    Überlege dir, welche binomische Formel anwendbar ist.

    Im Vergleich zu der allgemeinen binomischen Formel wurde hier eine Variable umbenannt.

    Denke an das Potenzgesetz.

    Lösung

    Dein Ausgangsterm heißt $ (y^2 - b) ^2 $.

    Du kannst hier die 2. binomische Formel anwenden, da du in der Klammer ein Minuszeichen als Rechenzeichen hast.

    Ersetzen wir im 1. Schritt $ a$ mit $y^2 $.

    Dann lässt sich im 2. Schritt $ y^2 $ in $ a^2 - 2ab + b^2 $ einsetzen. Das ergibt $ (y^2)^2 - 2y^2b + b^2 $.

    Lösen wir als 3. Schritt die Klammer auf, indem wir das Potenzgesetz $ (x^2)^2 = x^2 \cdot x^2 $ anwenden.

    Es ergibt sich als Lösung $ y^4 - 2y^2b + b^2 $.

  • Entscheide, wie du in Faktoren des Terms $m^6 -n^6$ zerlegen kannst.

    Tipps

    Überlege dir, welches Binom du anwenden kannst.

    Überlege dir, wie du die Hochzahl aufteilen kannst. Denk dabei an das Potenzgesetz: $ x^n \cdot x^m = x^{n+m} $.

    So gilt zum Beispiel $x^2 \cdot x^5 = x^{2+5} = x^7$.

    Es gibt mehr als eine richtige Lösung.

    Lösung

    Du wendest die 3. binomische Formel an, da du $ m^6 - n^6 $ als Term vorgegeben hast. Diese lautet in der dir bekannten Form ja $a^2-b^2=(a +b) \cdot (a-b) $. Dabei wurde $a=m^3$ und $b=n^3$ ersetzt.

    Die richtige Umformung von $ m^6 - n^6 $ lautet somit $(m^3+n^3) \cdot (m^3-n^3)$. Wie bei jedem Produkt kannst du auch hier die Faktoren tauschen, da das Kommutativgesetz gilt. Somit kann eine Umformung auch durch $(m^3-n^3) \cdot (m^3+n^3)$ gegeben sein.

  • Bestimme die binomischen Formeln.

    Tipps

    Wie viele binomische Formeln gibt es?

    Die ersten beiden binomischen Formeln unterscheiden sich nur hinsichtlich des Rechenzeichens in der Klammer.

    Die ersten beiden Binome unterscheiden sich in ihren Ergebnissen auch nur um ein Rechenzeichen.

    Die binomischen Formeln dienen dazu, Terme zu vereinfachen.

    Lösung

    Es gibt drei binomische Formeln, wobei sich die ersten beiden sehr ähnlich sehen.

    Die erste binomische Formel hat ein Pluszeichen als Rechenzeichen und sieht wie folgt aus:

    • $ (a+b)^2 $
    Die zweite binomische Formel hat ein Minuszeichen als Rechenzeichen, folgendermaßen:

    • $ (a-b)^2 $
    Im Ergebnis unterscheiden sie sich auch nur in einem Rechenzeichen:

    Das 1. Binom $ (a+b)^2 $ hat, wenn man die Klammer auflöst, als Lösung $ a^2 + 2ab + b^2 $. Das 2. Binom $ (a-b)^2 $ hat die Lösung $ a^2 - 2ab + b^2 $. Anstelle des ersten Pluszeichens steht hier ein Minuszeichen. Bei beiden steht als zweites Rechenzeichen aber dasselbe, nämlich ein Pluszeichen.

    Das 3. Binom sieht etwas anders aus: $ (a+b) (a-b) = a^{2} - b^{2} $. Es hat keine Klammer mit einer Hochzahl, sondern zwei Klammern ohne Hochzahl und in der Lösung nur zwei anstatt drei Elemente. Das liegt daran, dass $(a+b)(a-b) = a^2 + ab - ab -b^2 = a^2-b^2$ ergibt.

  • Arbeite heraus, wie du die binomische Formel anwendest.

    Tipps

    Schreibe dir die Zwischenschritte auf!

    Überlege dir, was du für $a$ bzw. $b$ ersetzen musst.

    Welches Binom kannst du anwenden?

    1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    3. Binomische Formel: $a^2-b^2= (a+b) \cdot (a-b)$

    Bei $ 9 x^2 - y^2 $ würdest du $ a = 9 x $ ersetzen.

    Lösung
    • Bei $ (2x^2 + y^2) (2x^2 - y^2) $ ersetzt du $ a = 2x^2 $ und $ b = y^2 $. Wende die 3. binomische Formel an. Deine Lösung ist $ 4x^4 - y^4 $.
    • Bei $ (a + y^2)^2 $ ersetzt du $ b = y^2 $ und wendest die 1. binomische Formel an: $ a^2 + 2ay^2 + (y^2)^2 $. Löse die Klammer und du bekommst als Lösung $ a^2 + 2ay^2 + y^4 $.
    • Bei $ (4x^2 - b)^2 $ ersetzt du $ a = 4x^2 $ und wendest die 2. binomische Formel an: $ (4x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2b + b^2 $. Als Lösung bekommst du $ 16x^4 - 8x^2b + b^2 $.
    • Bei $ (a + 9y^2)^2 $ ersetzt du $ b = 9y^2 $ und wendest die 1. binomische Formel an: $ a^2 + 18ay^2 + (9y^2)^2 $. Auflösen der Klammer ergibt $ a^2 + 18ay^2 + 81y^4 $.
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