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Binomische Formeln – Übung (1)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Binomische Formeln – Übung (1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Binomische Formeln – Übung (1)

Im Video wird eine binomische Formel auf die Terme (5 + x)² und g² + 4g + 4 angewendet. Wenn du einen Terme gegeben hast und eine binomische Formel auf diesen Term anwenden möchtest, fragst du dich zunächst, ob überhaupt eine binomische Formel auf diesen Term anwendbar ist. Es gilt: Man kann eine binomische Formel auf einen bestimmten Term anwenden, wenn dieser Term dadurch entsteht, dass man in einer binomischen Formel a und b durch etwas anderes ersetzt. Wie du im Video sehen kannst, besteht die Anwendung einer binomischen Formel darin, diese Ersetzung auf der anderen Seite der Gleichung ebenfalls durchzuführen und den entstandenen Term hinzuschreiben. Oftmals kann man eine Formel nicht direkt auf einen Term anwenden. Dann kann man den Term erst so umformen, dass die Formel anwendbar ist.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Bei mir spinnt das Video und wird in doppelter Geschwindigkeit angespielt

    Von Silke Schaeffeler, vor 9 Monaten
  2. Super, vielen Dank !

    Von Timo H., vor fast 2 Jahren
  3. Super Erklärung

    Von Lotta Mutschler, vor fast 2 Jahren
  4. Alles verstanden Danke =D

    Von Soranosman, vor mehr als 2 Jahren
  5. Danke für das Video hat mir sehr geholfen

    Von Paulussonja, vor fast 3 Jahren
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Binomische Formeln – Übung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomische Formeln – Übung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche binomische Formel verwendet wird und was für a und b eingesetzt wird.

    Tipps

    Überlege zunächst, welche binomische Formel angewendet wird.

    In dem Term $(5+x)^2$ steht der linke Teil einer binomischen Formel. Schaue dir jeweils die linke Seite der drei binomischen Formeln an.

    Lösung

    Du erkennst bei dem Term $(5+x)^2$ das Pluszeichen und das Quadrat. Diese findest du in der 1. binomischen Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    wieder.

    Um diese anwenden zu können, musst du entscheiden, was für a und was für b eingesetzt werden kann. Schreibe zum Beispiel den Term $(5+x)^2$ über diese binomische Formel. Du kannst erkennen, dass $a=5$ und $b=x$ gilt. Jetzt kannst du die binomische Formel anwenden.

    $\begin{align*} (5+x)^2&=5^2+2\cdot5\cdot x+x^2\\ &=25+10x+x^2. \end{align*}$

  • Vereinfache den Term mit einer binomischen Formel.

    Tipps

    Hier steht die rechte Seite einer binomischen Formel. Woran kannst du erkennen, um welche es sich handelt?

    $\large{\begin{align*} \text{1. }&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \text{2. }&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \text{3. }&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}}$

    Der Term $g^2+4g+4$ hat drei Summanden.

    Bei welcher binomischen Formel kannst du dies wiedererkennen?

    Setze das, wodurch du $a$ und $b$ ersetzt, in der binomischen Formel ein.

    Lösung

    Um eine binomische Formel anwenden zu können, musst du zunächst entscheiden,

    • ob es sich überhaupt um eine binomische Formel handelt und
    • falls ja, um welche binomische Formel es sich handelt.
    Hier liegt die 1. binomische Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    vor, was du daran erkennen kannst, dass $g^2+4g+4$ eine Summe mit drei Summanden ist. Schreibe $4g=2\cdot2\cdot g$ und $4=2^2$, dann kannst du an $g^2+4g+4=g^2+2\cdot2\cdot g+2^2$ erkennen, dass $a=g$ und $b=2$ ist.

    Somit ist $g^2+4g+4=(g+2)^2$.

  • Entscheide, ob eine binomische Formel anwendbar ist.

    Tipps

    Die binomischen Formeln lauten:

    $\begin{align*} \text{1. }&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \text{2. }&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \text{3. }&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

    Du kannst die binomischen Formeln auch von rechts nach links anwenden. Dann muss der umzuformende Term eine entsprechende Form haben.

    Häufig kannst du Quadratzahlen wie $9=3^2$ oder $25=5^2$ als Potenz schreiben. Dies erleichtert es, die richtige binomische Formel zu finden.

    Lösung

    Woran kannst du erkennen, ob und, wenn ja, welche binomische Formel angewendet werden kann? Zunächst solltest du die binomischen Formeln gut kennen.

    $\begin{align*} \text{1. }&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \text{2. }&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \text{3. }&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

    Wenn du einen Term umformen möchtest, schau dir zunächst an, ob dieser so aussieht wie die linke oder die rechte Seite von einer dieser Formeln.

    • Bei $(3+u)\cdot (2-u)$ kann keine binomische Formel angewendet werden. Dafür müsste zum Beispiel in dem zweiten Faktor 3 statt 2 stehen.
    • $(3+u)^2$ ist die linke Seite der ersten binomischen Formel mit $a=3$ und $b=u$. Also gilt $(3+u)^2=3^2+2\cdot3\cdot u+u^2=9+6u+u^2$.
    • $u^2-6u+9$ ist die rechte Seite der 2. binomischen Formel mit $a=u$ und $b=3$, da $3^2=9$. Also gilt $u^2-6u+9=(u-3)^2$.
    • $(3-u)\cdot (3+u)$ ist die linke Seite der 3. binomischen Formel. Dabei ist $a=3$ und $b=u$. Die Umformung lautet dann $(3-u)\cdot (3+u)=3^2-u^2=9-u^2$.

  • Begründe die Umformung des Termes mit einer binomischen Formel.

    Tipps

    In jedem der Terme ist der Faktor 2 vorhanden, der ausgeklammert werden kann.

    Um zu überprüfen, ob du korrekt ausgeklammert hast, kannst du umgekehrt die Klammer ausmultiplizieren.

    Überlege dir, welche binomische Formel angewendet werden kann. Die binomischen Formeln lauten:

    1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    3. $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

    Lösung

    Der Term $2x^2-4x+2$ soll mit einer binomischen Formel umgewandelt werden. Wir fragen uns nun, welche binomische Formel vorliegen könnte. Es handelt sich um drei Terme und außerdem siehst du ein Minuszeichen. Dies ist, sofern eine binomische Formel vorliegt, die rechte Seite der 2. binomischen Formel

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Nur noch der Faktor 2 vor dem $x^2$ stört: du kannst diesen Faktor ausklammern und dann kannst du erkennen, dass $a=x$ und $b=1$ ist.

    $\begin{align*} 2x^2-4x+2&=2(x^2-2x+1)\\ &=2(x^2-2 \cdot x \cdot 1 +1^2)\\ &=2(x-1)^2. \end{align*}$

  • Nenne die binomischen Formeln.

    Tipps

    Um zu verstehen, wie eine Umformung zustande kommt, kannst du den Term $(a+b)^2$ ausmultiplizieren.

    Die binomischen Formeln werden oft verwendet.

    Lerne sie am besten auswendig.

    $(a+b)^2=?$: Hier stehen drei Summanden.

    $(a-b)^2=?$: Hier stehen auch drei Terme, die addiert oder subtrahiert werden.

    $(a+b)(a-b)=?$: Hier steht auf der rechten Seite eine Differenz.

    Lösung

    Die binomischen Formeln lauten:

    1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    3. $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$
    Wie kannst du dir diese merken?

    Du könntest sie jedes Mal aufs Neue durch Ausmultiplizieren ausrechnen:

    $\begin{align*} (a+b)^2&=(a+b)\cdot(a+b)\\ &=a^2+ab+ba+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{align*}$

    Das ist jedoch recht viel Aufwand. Deswegen gibt es in der Mathematik Formeln, um dir das Rechnen zu erleichtern.

    Die 1. und 2. binomische Formel sehen ähnlich aus. Der Unterschied besteht in dem Minus. Du könntest die 2. binomische Formel auch analog zu der 1. lernen, da $a-b=a+(-b)$ gilt.

    Die 3. binomische Formel lässt sich auch ausmultiplizieren:

    $\begin{align*} (a+b)\cdot(a-b)&=a^2-ab+ba+b(-b)\\ &=a^2-b^2. \end{align*}$

    Die binomischen Formeln sind sehr wichtig in der Mathematik. Oft werden sie verwendet zum Vereinfachen von Termen. Häufig wendest du dann die binomischen Formeln von rechts nach links an.

  • Vereinfache den Term so weit wie möglich.

    Tipps

    Du kannst in beiden Summanden jeweils einmal ausklammern. Versuche im Nenner des zweiten Bruches so auszuklammern, dass du effektiv kürzen kannst.

    Wende im Zähler des ersten Summanden die 2. binomische Formel und im Zähler des zweiten Summanden die 3. binomische Formel an.

    Du kannst in beiden Summanden kürzen.

    Lösung

    Dieses Beispiel soll dir zeigen, dass es wichtig ist, die binomischen Formeln gut zu kennen:

    $\begin{align*} \text{1. }&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \text{2. }&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \text{3. }&(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 \end{align*}$

    Wir schauen uns folgenden Term an.

    $\Large{\frac{4a^2-8a+4}{a-1}+\frac{16-a^2}{1+\frac a4}}$.

    Dieser Term sieht erst einmal nicht so aus, als ob er vereinfacht werden könnte. Du siehst hier die Summe zweier Brüche. Vielleicht lässt sich etwas kürzen. Schau dir jeweils die Zähler an.

    • $4a^2-8a+4=4(a^2-2a+1)=4(a^2-2\cdot a \cdot 1+1^2)=4(a-1)^2$. Hier kannst du die 2. binomische Formel mit $a=a$ und $b=1$ anwenden, nachdem du 4 ausgeklammert hast.
    • $16-a^2$ sieht aus wie die rechte Seite der 3. binomischen Formel. Also gilt $16-a^2=(4+a) \cdot (4-a)$.
    Nun kann der Ausgangssterm umgeformt werden.

    $\begin{align*} \frac{4a^2-8a+4}{a-1}+\frac{16-a^2}{1+\frac a4}&=\frac{4(a-1)^2}{a-1}+\frac{(4+a)\cdot(4-a)}{\frac{1}{4}(4+a)}\\ &=4(a-1)+4(4-a)\\ &=4a-4+16-4a=12. \end{align*}$

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