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Bestimmte Integrale – Beispiel

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Martin Wabnik
Bestimmte Integrale – Beispiel
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Bestimmte Integrale – Beispiel

Nachdem du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kennen gelernt hast. Geht es darum, von der Theorie in die Praxis überzugehen. Das ist gar nicht so schwer. Deshalb habe ich vier Videos. Sie beinhalten jeweils ein Beispiel, bei dem du das bestimmte Integral einer Funktion auf einem festgelegten Intervall berechnen sollst. Zur Bildung der Stammfunktionen werden nur die Potenzregel, Faktorregel, Summenregel und lineare Substitution verwendet. Mit einem einfachen Beispiel wollen wir nun gleich einmal beginnen. Berechne also das Integral der Funktion f(x) = x² auf dem Intervall [0; 2].

Transkript Bestimmte Integrale – Beispiel

Hallo! Wir machen bestimmte Integrale. Es gibt ja viele Möglichkeiten, bestimmte Integrale zu definieren. Egal, wie man es definiert, der Hauptsatz gilt immer und mit dem kann man bestimmte Integrale berechnen. Ich habe ihn Mal in der Form aufgeschrieben, wie wir ihn jetzt praktisch verwenden können. Wir haben hier das bestimmte Integral der Funktion f(x) in den Grenzen von a bis b stehen. Wir brauchen jetzt eine Stammfunktion von f(x), nämlich F(x). Die schreiben wir hier in die eckige Klammer und die Grenzen werden hier drangeschrieben. Das ist einfach so eine Vereinbarung, so eine Konvention, wie man sowas aufschreibt. Und dann setzen wir die obere Grenze in die Stammfunktion F(x) ein, die untere Grenze setzen wir hier ein und ziehen den Wert der Stammfunktion an der unteren Grenze von dem Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze ab. Ja, das ist die Methode, die der Hauptsatz hier so vorgibt und die funktioniert konkret so: Wir möchten das bestimmte Integral berechnen, und zwar der Funktion x2 in den Grenzen von 0 bis 2 und brauchen erst mal diese eckige Klammer. Da soll eine Stammfunktion von x2 stehen. Das ist 1/3(x3). Man könnte natürlich auch 1/3(x3) + 15 nehmen oder 1/3(x3) - 29,6, aber meistens lässt man dann das konstante Glied weg oder gleich 0 sein. Dann ist es natürlich am einfachsten und auch in der Mathematik gilt: Wenn man sich das Leben einfach machen kann, dann macht man das auch. Also, hier steht eine Stammfunktion, hier stehen die beiden Grenzen und dann kann man einsetzen. Erst die obere Grenze für x einsetzen, das steht hier 1/3(23), dann die untere Grenze einsetzen, also dann -1/3(03), das ist 0, klar; 23 = 8, darf man auch ohne Taschenrechner wissen. Und dann haben wir als Wert des Integrals 8/3. Ja, so schnell kann das kann. Ich hab auch gleich noch ein Beispiel vorbereitet, und zwar, ja wir steigern uns: x3 ist jetzt gegeben, und zwar in den Grenzen von 1 bis 2. Also, kurz gesagt: Wir suchen das bestimmte Integral in den Grenzen von 1 bis 2 der Funktion x3. Und dazu brauchen wir eine Stammfunktion von x3. Die ist zum Beispiel ¼(x4). Die kommt in die eckige Klammer und die Grenzen kommen wieder hierhin, die obere Grenze immer nach oben, die untere Grenze nach unten. Dann kann man einsetzen ¼, obere Grenze einsetzen, 24 - ¼ 14 ist dann also: (ja hier kann man ja kürzen, nicht wahr, auch das braucht man nicht mit dem Taschenrechner ausrechnen) das ist ja 4 - ¼ = 3 ¾. Und auch dann haben wir den Wert des bestimmten Integrals ausgerechnet. Eine kleine Sache möchte ich noch zeigen mit der Funktion x3, und zwar, um Mal das Gefühl dafür so zu verstärken, was passiert, wenn man die Grenzen ändert. Bestimmen wir also das bestimmte Integral von -2 bis 2 der Funktion x3. Dann kann man eine Stammfunktion bilden. Die ist wieder ¼(x4).  Die Grenzen haben sich jetzt aber geändert, im Vergleich zu dieser Tafel. Sie sind 2 und -2. Und wir können einsetzen, nämlich ¼(24) - ¼ ×(-24). Nun -24 = 16, 24 ist auch 16 und dann sieht man beide Summanden hier sind dann gleich groß. Sie addieren sich zu 0 und 0 ist also der Wert des bestimmten Integrals. Und je nachdem wie das bei dir so definiert wurde in der Schule oder mit welchem Vorwissen du jetzt den Film guckst, könnten sich da Schwierigkeiten breitmachen. Also, ich zeige jetzt noch was zu den Flächen. Das mit den bestimmten Integralen ist hier erst mal abgeschlossen. Wenn du gelernt hast, dass bestimmte Integrale mit Flächen zu tun haben, dann könntest du dich wundern, weil jetzt hier eine 0 steht und die Gesamtfläche hier ist natürlich nicht 0. Also, wir haben den Funktionsgraphen der Funktion f(x) = x3. Der verläuft ungefähr so, hier ist -2 und da ist +2. Und die gesamte Fläche zwischen Graph und x-Achse habe ich jetzt hier Mal schraffiert dargestellt. Das Integral ist 0, weil, ganz vereinfacht gesagt, die Fläche, die sich unterhalb der x-Achse befindet, also zwischen Graph und x-Achse unterhalb der x-Achse, ist genau so groß wie die Fläche, die sich oberhalb der x-Achse befindet. Ich zeig das noch genauer bei den Filmen, die sich mit der Bestimmung der Fläche zwischen Graph und x-Achse befassen. Hier nur eben als Erläuterung, falls dir das komisch vorkommt, dass hier ein Integral 0 wird, obwohl sich ja tatsächlich Fläche zwischen Graph und x-Achse befindet. Das war es, viel Spaß damit! Tschüss!

Bestimmte Integrale – Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bestimmte Integrale – Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne das bestimmte Integral.

    Tipps

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Verwende die Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}$, für $n\neq -1$.

    Beachte beim Einsetzen der Integrationsgrenzen die Reihenfolge.

    Lösung

    Um das bestimmte Integral $\int\limits_0^2~x^2~dx$ zu berechnen, verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Das bedeutet, dass man zunächst eine Stammfunktion von $x^2$ finden muss. Diese erhält man mithilfe der Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}$, für $n\neq -1$.

    Eine Stammfunktion von $x^2$ ist zum Beispiel durch $\frac13x^3$ gegeben, wie man durch Differentiation nachweisen kann.

    Somit ist

    $\int\limits_0^2~x^2~dx=\frac13 2^3-\frac13 0^3=\frac83-0=\frac83$.

  • Beschreibe die Bedeutung des bestimmten Integrals.

    Tipps

    Verwende jeweils den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $(F(x))'=f(x)$.

    Du benötigst eine Stammfunktion zu $x^3$.

    Verwende hierzu die Potenzregel der Integration

    $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+C$, wobei $n\neq -1$ ist.

    Beachte, dass das bestimmte Integral im Allgemeinen keinen Flächeninhalt angibt.

    Lösung

    Es soll das bestimmte Integral

    $\int\limits_1^2~x^3~dx$

    berechnet werden. Hierfür benötigt man eine Stammfunktion von $x^3$. Diese ist zum Beispiel $\frac14x^4$.

    Nun kann man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden:

    $\int\limits_1^2~x^3~dx=\left[\frac14x^4\right]_1^2$.

    Nun können in der Stammfunktion die obere und untere Integrationsgrenze eingesetzt werden:

    $\int\limits_1^2~x^3~dx=\frac142^4-\frac141^4=4-\frac14=3\frac34$.

    Die kubische Funktion $x^3$ liegt im Bereich $x>0$ oberhalb der x-Achse. Der so berechnete Wert entspricht einem Flächeninhalt.

    Was passiert, wenn man die untere Integrationsgrenze verändert und die obere beibehält?

    $\int\limits_{-2}^2~x^3~dx=\left[\frac14x^4\right]_{-2}^2$.

    Das Vorgehen entspricht dem der obigen Rechnung:

    $\int\limits_{-2}^2~x^3~dx=\frac142^4-\frac14(-2)^4=4-4=0$.

    Dies kann kein Flächeninhalt sein, da sowohl links als auch rechts von $x=0$ Flächenstücke liegen, von denen eines unterhalb und das andere oberhalb der x-Achse liegen. Diesen Zusammenhang kann man in dem nebenstehenden Bild sehen.

  • Ermittle zu jeder der Funktionen eine Stammfunktion.

    Tipps

    Verwende die folgenden Integrationsregeln

    • die Summenregel $\int~(f(x)\pm g(x))~dx=F(x)\pm G(x)$,
    • die Faktorregel $\int~(k\cdot f(x))~dx=k\cdot F(x)$,
    • die Potenzregel $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}$ mit $n\neq -1$ sowie
    • die lineare Substitutionsregel $\int~f(ax+b)~dx=\frac1aF(ax+b)$.
    Dabei ist $(F(x))'=f(x)$, $(G(x))'=g(x)$ und $a,~b,~k\in\mathbb{R}$.

    Du kannst auch jeweils die gegebenen Stammfunktionen ableiten. Es muss die entsprechende Funktion $f(x)$ herauskommen.

    Beachte, dass die Integrationskonstante $C$ beim Differenzieren $0$ wird. Das bedeutet, dass bei der Stammfunktion für diese Konstante jeder beliebige Wert eingesetzt werden kann.

    Lösung

    Wenn man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$

    anwenden möchte, benötigt man zu $f(x)$ eine Stammfunktion.

    Das Bestimmen einer Stammfunktion folgt gewissen Regeln, welche ihre Analogien in der Differentiation haben. Man kann sich die Integration so vorstellen, dass man eine Funktion abgeleitet hat, zum Beispiel

    $(3x^2-2x)'=6x-2$.

    Aus irgendeinem Grund ist die Funktion, welche abgeleitet wurde, nicht mehr auffindbar:

    $(???)'=6x-2$.

    Wie gelangt man wieder zu dieser Funktion?

    Dafür werden die Ableitungsregeln umgekehrt:

    • $3x^2$ wird mit der Faktorregel und der Potenzregel abgeleitet,
    • ebenso bei $2x$.
    • Zur Ableitung der Differenz verwendet man die Differenzregel.
    Umgekehrt gibt es die folgenden Regeln in der Integration. Seien $(F(x))'=f(x)$, $(G(x))'=g(x)$ und $a,~b,~k\in\mathbb{R}$:
    • die Summenregel $\int~(f(x)\pm g(x))~dx=F(x)\pm G(x)$,
    • die Faktorregel $\int~(k\cdot f(x))~dx=k\cdot F(x)$,
    • die Potenzregel $\int~x^n~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}$ mit $n\neq -1$ sowie
    • die lineare Substitutionsregel $\int~f(ax+b)~dx=\frac1aF(ax+b)$.
    Somit können zu den folgenden Funktionen Stammfunktionen bestimmt werden:
    1. $f(x)=x^4-x^2$ $\Rightarrow$ $F(x)=\frac15x^5-\frac13x^3+C$
    2. $f(x)=x^4-x^3$ $\Rightarrow$ $F(x)=\frac15x^5-\frac14x^4+C$
    3. $f(x)=-x^4+x^2$ $\Rightarrow$ $F(x)=-\frac15x^5+\frac13x^3+C$
    4. $f(x)=x^3+x^2$ $\Rightarrow$ $F(x)=\frac14x^4+\frac13x^3+C$

  • Ermittle den Wert des bestimmten Integrals.

    Tipps

    Überlege dir, wie eine Stammfunktion der Funktion $x^2+1$ aussehen muss. Oder anders: Welche Funktion abgeleitet ergibt $x^2+1$?

    Die Stammfunktion benötigt man für den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Beachte die Reihenfolge der Differenz in dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

    Wenn du glaubst, eine Stammfunktion gefunden zu haben, kannst du diese zur Kontrolle ableiten.

    Lösung

    Es soll das bestimmte Integral

    $\int\limits_1^4~(x^2+1)~dx$

    berechnet werden. Zunächst benötigt man eine Stammfunktion, zum Beispiel

    $\frac13x^3+x$.

    Dies kann durch Ableiten nachgewiesen werden.

    Mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man

    $\int\limits_1^4~(x^2+1)~dx=\left[\frac13x^3+x\right]_1^4$.

    Durch Einsetzen der oberen und unteren Integrationsgrenze in der Stammfunktion sowie dem Bilden der Differenz in dieser Reihenfolge erhält man

    $\begin{align*} \int\limits_1^4~(x^2+1)~dx&=\frac134^3+4-\left(\frac131^3+1\right)\\ &=\frac{64}3+4-\frac13-1\\ &=\frac{63}3+3\\ &=24. \end{align*}$

    Da der Graph der Funktion $x^2+1$ komplett oberhalb der x-Achse liegt, handelt es sich bei dem Wert des bestimmten Integrals um einen Flächeninhalt. Die betreffende Fläche wird von dem Graphen der Funktion $x^2+1$ und der x-Achse über den Intervall $[1;4]$ eingeschlossen.

  • Gib den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.

    Tipps

    Merke dir: Die Integration kehrt die Differentiation um.

    Es gilt $(x^2)'=2x$.

    Umgekehrt ist $F(x)=x^2$ eine Stammfunktion von $f(x)=2x$.

    Präge dir die Reihenfolge der Differenz ein:

    Im Minuenden steht die obere Integrationsgrenze und im Subtrahenden die untere.

    Lösung

    Zwei sehr zentrale Begriffe der Integration sind

    • der des unbestimmten Integrals $\int~f(x)~dx$ sowie
    • der des bestimmten Integrals $\int\limits_a^b~f(x)~dx$.
    Um das unbestimmte Integral zu berechnen, verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$.

    Das heißt, dass man zu der Funktion $f(x)$ eine Stammfunktion $F(x)$ finden muss. Diese erfüllt

    $(F(x))'=f(x)$.

  • Berechne den Flächeninhalt des Logos.

    Tipps

    Du könntest die Achsensymmetrie dieser Funktion verwenden.

    Substituiere zur Bestimmung der Nullstellen $z=x^2$. Dann erhältst du eine quadratische Gleichung in $z$, welche du mit der p-q-Formel lösen kannst. Anschließend resubstituierst du $x=\pm\sqrt z$.

    Die Integrationsgrenzen sind

    • entweder die beiden Nullstellen
    • oder $0$ und zum Beispiel die positive Nullstelle, wenn du die Achsensymmetrie verwendest.

    Da das Logo durch Spiegelung an der x-Achse entsteht, genügt es, die Fläche oberhalb der x-Achse zu berechnen und diese mit $2$ zu multiplizieren.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um eine Flächenberechnung. Dafür

    • muss zu der Funktionsgleichung eine Stammfunktion bekannt sein,
    • und auch die Integrationsgrenzen muss man kennen.
    • Die Funktion muss auf dem betrachteten Intervall oberhalb der x-Achse liegen.
    Zu den Integrationsgrenzen: Diese sind die Nullstellen. Also muss man die Nullstellen berechnen.

    $f(x)=0$, also $\frac18x^4-x^2+2=0$. Dies ist eine biquadratische Gleichung. Man kann $z=x^2$ substituieren und erhält eine quadratische Gleichung in $z$, $\frac18z^2-z+2=0$, welche man nach Multiplikation mit $8$, $z^2-8z+16=0$, mithilfe der p-q-Formel lösen kann

    $\begin{align*} z_{1,2}&=-\frac{-8}2\pm\sqrt{\left(\frac{-8}2\right)^2-16}\\ &=4\pm\sqrt{4^2-16}\\ &=4\pm\sqrt 0. \end{align*}$

    Also existiert nur eine Nullstelle $z=4$. Nun kann man $x=\pm\sqrt 4=\pm2$ resubstituieren. Es gibt also die beiden Nullstellen $x_1=-2$ sowie $x_2=2$. Diese liegen natürlich symmetrisch zur y-Achse. Der Funktionsgraph liegt auf dem Intervall $[-2;2]$ komplett oberhalb der x-Achse. Das bedeutet, dass das bestimmte Integral einen Flächeninhalt angibt.

    Aufgrund der Achsensymmetrie ist der Flächeninhalt, welcher von dem Graphen von $f(x)$ und der x-Achse zwischen den beiden Nullstellen eingeschlossen wird, gerade das Doppelte des Flächeninhaltes von $0$ bis $2$.

    $A=2\cdot \int\limits_0^2~\left(\frac18x^4-x^2+2\right)~dx=\left[\frac1{40}x^5-\frac13x^3+2x\right]_0^2$.

    Nun können die obere und untere Grenze in der Stammfunktion eingesetzt werden und man erhält

    $\begin{align*} A&=2\cdot \left(\frac1{40}2^5-\frac132^3+2\cdot2-0\right)\\ &=2,1\bar3\\ &\approx 2,1. \end{align*}$

    Da das Logo durch Spiegelung der Funktion entsteht, befindet sich oberhalb und unterhalb der x-Achse der gleiche Flächeninhalt und somit ist der Flächeninhalt des Logos gegeben durch

    $2\cdot A=4,2$.

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