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Abstand zweier Punkte im Raum

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Abstand zweier Punkte im Raum
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Abstand zweier Punkte im Raum

Hier siehst du, wie du mit der Vektorrechnung den Abstand von zwei Punkten im dreidimensionalen Raum berechnen kannst. Als Text formuliert ist der Abstand zwei Punkte die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen, also die Abstandsformel. Wenn du die Koordinaten der Punkt in die Abstandsformel einsetzt, erhältst du den Abstand. Außerdem wird die Herleitung der Abstandformel anschaulich an einem Modell bzw dem Satz des Pythagoras gezeigt.

Transkript Abstand zweier Punkte im Raum

Abstand zweier Punkte ist das Thema. Da sind 2 Punkte, P und Q, und die haben jeweils 3 Koordinaten, wie im 3-dimensionalen Raum üblich. Dann gibt es eine Abstandsformel dazu. Also, wir zeigen erst die Abstandsformel, rechnen dann den Abstand dieser beiden Punkte aus, und dann kommt die Herleitung.  Die allgemeine Abstandsformel wäre: der Abstand vom VektorPQ=. Also, das ist hier der Betrag des Vektors, der von P zu Q führt. Dabei ist es übrigens egal, ob man nun den VektorQP oder den VektorPQ nimmt. VektorPQ=/sqrt((p1-q1)2+(p2-q2)2+(p3-q3)2). Also, hier haben wir jeweils die Koordinatendifferenzen, wir haben die Quadrate der Koordinatendifferenzen. E wird die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen gebildet, und die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen der Punkte, ist der Abstand der beiden Punkte. Und jetzt können wir das noch einsetzen. Plus wegen hier Minus, und hier auch. Genau, dieses Minuszeichen schreibt man quasi ab, und man setzt für q1, -3 ein. Und weil -(-3)=3, steht da 3. Jetzt haben wir (42)-(82)+(22), und das ist auf jeden Fall größer als 9. 84 ist das zusammen. Das ist ein bisschen größer als 9, man kann ja den Näherungswert noch angeben, wenn man es in den Taschenrechner eintippt, man kann es aber auch lassen. Wir lassen es jetzt. Man kann diese Punkte auch anders schreiben, und zwar als Ortsvektoren. Das habe ich schon einmal heimlich vorbereitet hier. Dann hat man den Vektor, der vom Nullpunkt des Koordinatensystems, oder vom Ursprung des Koordinatensystems, zum Punkt P führt, das ist dieser Ortsvektor dazu. Der hat diese Koordinaten. Das sind auch diese Koordinaten, die hier stehen, und da auch. Dann muss man eben, wenn das vorgegeben ist, auch diese drei Zahlen dann, jeweils hier für p1 bis p3, beziehungsweise für q1 bis q3, einsetzen. Dann ändert sich nichts. Dann kann man eben mal zeigen, wie man das herleiten kann. Und zwar geht es da um den Satz des Pythagoras. Also das ist ein Quader, beziehungsweise ein Kantenmodell eines Quaders. Man kann sich das so vorstellen, dass hier zum Beispiel P ist, und hier zum Beispiel Q. Dann kann man immer so einen Quader konstruieren. Und zwar kann man sich vorstellen, wie so ein Quader zustande kommt. Diese Strecke hier ist (p1-q1), die Länge. Diese Streckenlänge hier ist (p2-q2). Also die Differenz immer, beziehungsweise genauer gesagt, der Betrag der Differenz ist die Streckenlänge. Ich glaube man kann sich das ganz gut, intuitiv vorstellen. Und das ist dann die x3Differenz. Und dann, wie geht es weiter? Mach du. Man könnte hier mit dem Satz des Pythagoras anfangen, indem man diese Differenz, also von da bis da, ausrechnet, zum Quadrat nimmt, und mit dieser Differenz zum Quadrat addiert. Und das wäre dann die quadrierte Länge, dieses. Also, Satz des Pythagoras kennt man meistens unter (a2)+(b2)=(c2). a und b sind die beiden Katheten, das ist die Hypotenuse. Und wenn man also diese (x1Differenz)2+(x2Differenz)2 rechnet, dann erhält man diese Diagonale2. Jetzt kann man weiter machen, da man ja das gegeben hat. Dann kann man diese Differenz2 mit dieser Differenz2 addieren. Dann bekommt man diese Länge, diese Strecke2 raus. Warum bekommt man die raus? Weil das wieder ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ich halte das einmal so rum, dann kann man es vielleicht ein bisschen besser sehen. Da ist der rechte Winkel. Das sind jetzt hier die beiden Katheten. Das2+das2=das2. Das hatten wir schon. Dieses2 ist ja (x1Differenz)2+(x2Differenz)2+(x3Differenz2) ist diese Diagonale2. Und letzten Endes ist es das, was wir auch hier in der Formel haben. (Differenz(erste Koordinate))2+das2+(das hier)2=das2. Wenn man daraus die Wurzel zieht, bekommt man die Länge dieser Strecke hier. Hättest du eigentlich auch sagen können. Ja, egal, das war es.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Bei der Berechung von BC wieso muss man da noch die Wurzel 2 dazurechnen?

    Von Nikola B., vor etwa 5 Jahren
  2. Statt p1,p2,p3, etc. wäre wäre px, py, pz vielleicht verständlicher.

    Von Flateric Ch, vor etwa 6 Jahren
  3. Ich finde es Gut! Weiter so, vielen Dank!!!!

    Von Mirella C., vor mehr als 7 Jahren
  4. Danke, André!

    Von den Videos in diesem Stil habe ich in letzter Zeit einige hochgeladen und in paar kommen auch noch. Ich bin nicht sicher, ob dieses Konzept so gut ist und freue mich deshalb sehr über konstruktive Rückmeldungen.

    Gerade die Musik dürfte wohl eine Geschmacksfrage sein ...

    Entscheident für die Auswahl der Musik war, was von meinem Empfinden her zur Situation während des Drehens passt (natürlich unter der Voraussetzung, dass ich diese Musik auch verwenden darf). Ich möchte damit zeigen,
    dass Mathematik auch in Stimmungen stattfinden kann, die gemeinhin nicht mit einem Mathe-Unterricht verbunden werden.

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 9 Jahren
  5. Hübsche Idee. Nur der Lehreranteil ist hier etwas zu hoch. Die Schülerin kann es doch. Und du Martin, denkst und redest zu schnell.

    Trotzdem: Klasse!

    Gruß

    André

    Von André Otto, vor mehr als 9 Jahren

Abstand zweier Punkte im Raum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Abstand zweier Punkte im Raum kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Abstandsformel für den Abstand zweier Punkte zueinander an.

    Tipps

    Der Abstand zweier Punkte zueinander ist die Länge des Verbindungsvektors der beiden Punkte. Dabei ist egal, in welche Richtung dieser Vektor zeigt.

    Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate.

    Die Formel für die Länge eines Vektors kann mit dem Satz des Pythagoras hergeleitet werden.

    Lösung

    Die allgemeine Abstandsformel für den Abstand von $P$ zu $Q$ lautet:

    $|\vec{PQ}|=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}$.

    Dabei ist die Reihenfolge der beiden Punkte nicht von Bedeutung, da in der Formel die Differenzen quadriert werden.

  • Berechne den Abstand der beiden Punkte.

    Tipps

    Du kannst an Stelle der Abstandsformel auch die Formel zur Berechnung der Länge des Verbindungsvektors verwenden. Das Ergebnis ist gleich.

    Achte bei der Verwendung dieser Formel darauf, dass negative Zahlen beim Quadrieren geklammert werden müssen.

    Du kannst mit grundsätzlich immer das Grundgerüst der Abstandsformel aufschreiben.

    Lösung

    Wenn man den Abstand der beiden Punkte $P$ und $Q$ berechnen will, kann man zuerst den Verbindungsvektor der beiden Punkte bestimmen. Dieser ist die Differenz des Ortsvektors des Endpunkte und des Anfangspunktes.

    Bei der Berechnung des Abstandes ist egal, welcher Punkte Anfangs- und welcher Endpunkt ist.

    Der Verbindungsvektor der beiden ist

    $\vec{PQ}=\begin{pmatrix} 1-(-3) \\-3-5\\4-2 \end{pmatrix}$.

    Somit ist der Abstand der beiden Punkte gegeben durch

    $|\vec{PQ}|=\sqrt{(1+3)^2+(-3-5)^2+(4-2)^2}=\sqrt{16+64+4}=\sqrt{84}$.

  • Berechne die Entfernung der Kirchturmspitze von dem Dach des Rathauses.

    Tipps

    Verwende die Abstandsformel zur Berechnung des Abstandes.

    Es gilt

    $|\vec{PQ}|=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}$.

    Lösung

    Sowohl die Spitze der Dorfkirche als auch das Dach des Rathauses werden durch Punkte dargestellt. Die Koordinaten dieser Punkte können in der Abstandsformel eingesetzt werden.

    Diese lautet:

    $|\vec{PQ}|=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}$.

    Also ist die Entfernung der beiden Punkte zueinander gegeben durch

    $\sqrt{(150-120)^2+(80-40)^2+(25-25)^2}=\sqrt{2500}=50$.

    Der Abstand der Spitze der Dorfkirche zum Dach des Rathauses beträgt somit $50~m$.

  • Prüfe, ob das Dreieck $\Delta{ABC}$ gleichschenklig oder sogar gleichseitig ist.

    Tipps

    Berechne jeweils den Abstand zweier Eckpunkte zueinander.

    Verwende hierfür die Abstandsformel.

    Ein Dreieck ist

    • gleichschenklig, wenn zwei Seiten gleich lang sind, und
    • gleichseitig, wenn alle Seiten gleich lang sind.

    Lösung

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Schenkel gleich lang.

    Es müssen die Beträge der Verbindungsvektoren von jeweils zwei Eckpunkten des Dreiecks berechnet werden. Dann wird von jedem dieser Vektoren die Länge berechnet. Hierfür wird die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate berechnet.

    1. $|\vec {AB}|=\sqrt{(3-2)^2+(3-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt9=3$.
    2. $|\vec {AC}|=\sqrt{(4-2)^2+(2-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt9=3$.
    3. $|\vec {BC}|=\sqrt{(4-3)^2+(2-3)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{18}=3\cdot \sqrt2\approx4,2$.
    Die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ gleich lang sind, der Vektor $\vec{BC}$ jedoch eine andere Länge hat, ist das Dreieck gleichschenklig, allerdings nicht gleichseitig.

  • Erkläre, wie die Abstandsformel hergeleitet werden kann.

    Tipps

    Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ gilt nach dem Satz des Pythagoras.

    $a^2+b^2=c^2$.

    Wende den Satz des Pythagoras zweimal an.

    Lösung

    Die Länge der Kanten des Koordinatenquaders sind die Beträge der Differenzen der entsprechenden Koordinaten der Punkte. Durch das Quadrieren beim Anwenden des Satzes von Pythagoras ist die Reihenfolge der Differenz nicht von Bedeutung.

    Das Quadrat der blauen Diagonale ist mit dem Satz des Pythagoras

    $d_1^2=(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2$.

    Mit Hilfe dieser Diagonalen kann das Quadrat der grünen Raumdiagonalen berechnet werden

    $d^2=d_1^2+(q_3-p_3)^2=(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2$.

    Wenn man auf beiden Seiten die Wurzel zieht, erhält man die Abstandsformel:

    $d=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}$.

  • Arbeite heraus, wie der Parameter $a>0$ gewählt werden soll, damit der Abstand der Punkte $P$ und $Q$ zueinander $70$ beträgt.

    Tipps

    Berechne den Abstand der beiden Punkte zueinander in Abhängigkeit von $a$.

    Verwende die Abstandsformel

    $|\vec{PQ}|=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2}$.

    Du erhältst eine Wurzelgleichung, welche du nach dem Parameter $a$ auflösen musst.

    Die Wurzelgleichung liefert zwei Lösungen für $a$, von denen $a=-35$ wegen der Aufgabenstellung, $a>0$, nicht als Lösung in Frage kommt.

    Lösung

    Zunächst wird der Abstand der beiden Punkte zueinander berechnet. Dieser hängt von dem Parameter $a$ ab:

    $\begin{align*} |\vec{PQ}|&=\sqrt{(30-(-30))^2+(10-40)^2+(-15-a)^2}\\ &=\sqrt{60^2+(-30)^2+(-15-a)^2}\\ &=\sqrt{4500+(-15-a)^2} \end{align*}$.

    Dies führt zu der Wurzelgleichung

    $\sqrt{4500+(-15-a)^2}=70$.

    Die Wurzel wird durch Quadrieren eliminiert:

    $4500+(-15-a)^2=4900$.

    Nun kann auf beiden Seiten $4500$ subtrahiert werden:

    $(-15-a)^2=400$.

    Auf beiden Seiten wird die Quadratwurzel gezogen und man erhält

    • $-15-a=-20$, dies ist äquivalent zu $-a=-5$, also $a=5$, oder
    • $-15-a=20$, dies ist äquivalent zu $a=-35$.
    Da in der Aufgabenstellung $a>0$ vorausgesetzt wurde ist $a=5$ der gesuchte Parameter.

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