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Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele

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Wolfgang Tews
Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele

In diesem Video werden Anwendungen der Umkehrregeln zur Bestimmung der Ableitung der Umkehrfunktion gezeigt. Bei einem Beispiel kannst du sehen, wie nützlich die Umkehrregeln dann sind, wenn die Ableitung einer Funktion schwer zu bestimmen ist, die der Umkehrfunktion jedoch leicht herzustellen ist. Das andere Beispiel zeigt, dass auch ohne Kenntnis der Umkehrfunktion ihre Ableitung an einer bestimmten Stelle angegeben werden kann.

Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Leite die Ableitung der Funktion mit der Umkehrformel her.

    Tipps

    Eine Umkehrfunktion erhält man durch Auflösen der Gleichung $y=f(x)$ nach $x$.

    Die Potenzregel der Differentiation lautet:

    $\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}$.

    Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

    Lösung

    Um die Regel

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$

    anwenden zu können, muss man zunächst die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=\frac1{\sqrt x}$ bestimmen:

    $\begin{align*} y&=\frac1{\sqrt x}&|\cdot \sqrt x&|:y\\ \sqrt x&=\frac1y&|&(~)^2\\ x&=\frac1{y^2}. \end{align*}$

    Nun werden die Variablen vertauscht. Somit ist

    $f^{-1}(x)=\frac1{x^2}$

    die gesuchte Umkehrfunktion.

    Deren Ableitung

    $\left(f^{-1}\right)'(x)=-\frac2{x^3}$

    kann mit der Potenzregel der Differentiation berechnet werden.

    Damit ist

    $\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=\frac1{-\frac2{\left(\frac1{\sqrt x} \right)^3}}=-\frac12 \frac1{\sqrt x^3}$.

  • Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle $x=\frac19$.

    Tipps

    Man kann die Ableitung der Umkehrfunktion an einer gegebenen Stelle berechnen, ohne die Umkehrfunktion zu kennen.

    Das bedeutet, dass du die Umkehrfunktion nicht herleiten musst.

    Verwende die Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.

    Bekannt ist $x=f(2)=\frac19$.

    Was ist dann $f^{-1}\left(\frac19\right)$?

    Lösung

    Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac1{1+x^3}$.

    Im Folgenden wird die Formel

    $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $

    verwendet. Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle $x=f(2)=\frac19$. Dabei ist die Umkehrfunktion unbekannt.

    Die Ableitung von $f$ ist gegeben durch

    $f'(x)=-(1+x^3)^{-2} \cdot 3x^2=-\frac{3x^2}{(1+x^3)^2}$.

    Es gilt $f'(2)=-\frac{3\cdot 2^2}{(1+2^3)^2}=-\frac{12}{81}=-\frac4{27}$.

    Nach der Umkehrformel ist

    $\left(f^{-1} \right)'\left(\frac19\right)=\frac1{-\frac4{27}}=-\frac{27}4$.

  • Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt[4]x+5$.

    Tipps

    Verwende die Umkehrformel

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

    Die Umkehrung vom Ziehen einer Wurzel ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.

    Es gilt die Potenzregel der Differentiation

    $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.

    Lösung

    Es soll die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt[4]x+5$ mit der Umkehrformel berechnet werden:

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

    Hierfür wird zunächst die Umkehrfunktion von $f$ benötigt sowie deren Ableitung.

    $\begin{align*} y&=\sqrt[4]x+5&|&-5\\ y-5&=\sqrt[4]x&|&(~)^4\\ x&=(y-5)^4. \end{align*}$

    Durch Vertauschen der Variablen erhält man die Umkehrfunktion

    $f^{-1}(x)=(x-5)^4$.

    Deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=4(x-5)^3$.

    Nun kann die Ableitung $f'$ berechnet werden:

    $f'(x)=\frac1{4(\sqrt[4]x+5-5)^3}=\frac1{4\sqrt[4]x^3}$.

  • Leite die Funktion $f(x)=\sqrt[n]x$ mit $x>0$ und $n\in\mathbb{N}$ ab.

    Tipps

    Verwende die Umkehrformel

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

    Die Umkehrung vom Ziehen einer Wurzel ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.

    Es gilt die Potenzregel der Differentiation

    $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.

    Lösung

    Man betrachte die Funktion $f(x)=\sqrt[n]x$, $x>0$ und $n\in\mathbb{N}$. Um diese mit der Umkehrformel abzuleiten, benötigt man die Umkehrfunktion und deren Ableitung:

    • $f^{-1}(x)=x^n$ und
    • $\left(f^{-1}\right)'(x)=nx^{n-1}$.
    Nun kann die Umkehrformel verwendet werden

    $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

    Die Ableitung von $f$ ist also

    $f'(x)=\frac1{n\left(\sqrt[n]x\right)^{n-1}}$.

  • Gib die Umkehrformeln zur Berechnung einer Ableitung an.

    Tipps

    Die Ableitung der Funktion $f(x)=2x$ ist $f'(x)=2$.

    Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x)=\frac12 x$ und deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac12$.

    Es gibt $2$ Fassungen der Umkehrregel für Ableitungen.

    Lösung

    Die Regel zur Ableitung einer Umkehrfunktion kann in $2$ Fassungen angegeben werden. Dabei müssen sowohl die Funktion als auch die Umkehrfunktion differenzierter sein.

    • $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'(f(x))}$ oder
    • $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.
    Die Wahl hängt davon ab, ob die Funktion oder die Umkehrfunktion gegeben ist.

  • Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion.

    Tipps

    Berechne $f'(x)$ mit Hilfe der Potenz- und Kettenregel.

    Verwende die Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.

    Berechne $f^{-1} \left( 0,75 \right)$ durch $f(x)=0,75=\frac34$.

    Es gilt $f \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right)=0,75$. Setze das $x$ in $f'(x)$ ein.

    Berechne $\left( f^{-1} \right) '\left( 0,75 \right) = \frac{1}{f' \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right) }$.

    Lösung

    Der Rand des Kreises mit dem Radius $1$ ist gegeben durch die Gleichung $x^2+y^2=1$. Wenn man diese Gleichung nach $y$ für $0≤x≤1$ auflöst, erhält man $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

    Man könnte die dazugehörige Umkehrfunktion bestimmen, jedoch benötigt man diese nicht zur Berechnung der Ableitung an einer vorgegebenen Stelle.

    Da $x=f \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right)=0,75$ ist, gilt umgekehrt $f^{-1}(0,75)=\sqrt{\frac{7}{16}}$. Dies wird bei der Anwendung der Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $ benötigt.

    Die Ableitung von $f$ ist

    $f'(x)=\frac12 \cdot (1-x^2)^{-\frac12} \cdot (-2x) =-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

    Nun kann die Formel angewendet werden. Es gilt

    $\left(f^{-1}\right)'(0,75)= \frac{1}{f' \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right) }$. Wir setzen also $\sqrt{\frac{7}{16}}$ in die Ableitung von $f$ ein und erhalten schließlich

    $\left(f^{-1}\right)'(0,75) \approx \frac{1}{-0,8819} \approx -1,1338$.

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