Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele
In diesem Video werden Anwendungen der Umkehrregeln zur Bestimmung der Ableitung der Umkehrfunktion gezeigt. Bei einem Beispiel kannst du sehen, wie nützlich die Umkehrregeln dann sind, wenn die Ableitung einer Funktion schwer zu bestimmen ist, die der Umkehrfunktion jedoch leicht herzustellen ist. Das andere Beispiel zeigt, dass auch ohne Kenntnis der Umkehrfunktion ihre Ableitung an einer bestimmten Stelle angegeben werden kann.
Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele Übung
-
Leite die Ableitung der Funktion mit der Umkehrformel her.
TippsEine Umkehrfunktion erhält man durch Auflösen der Gleichung $y=f(x)$ nach $x$.
Die Potenzregel der Differentiation lautet:
$\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}$.
Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
LösungUm die Regel
$f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$
anwenden zu können, muss man zunächst die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=\frac1{\sqrt x}$ bestimmen:
$\begin{align*} y&=\frac1{\sqrt x}&|\cdot \sqrt x&|:y\\ \sqrt x&=\frac1y&|&(~)^2\\ x&=\frac1{y^2}. \end{align*}$
Nun werden die Variablen vertauscht. Somit ist
$f^{-1}(x)=\frac1{x^2}$
die gesuchte Umkehrfunktion.
Deren Ableitung
$\left(f^{-1}\right)'(x)=-\frac2{x^3}$
kann mit der Potenzregel der Differentiation berechnet werden.
Damit ist
$\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=\frac1{-\frac2{\left(\frac1{\sqrt x} \right)^3}}=-\frac12 \frac1{\sqrt x^3}$.
-
Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle $x=\frac19$.
TippsMan kann die Ableitung der Umkehrfunktion an einer gegebenen Stelle berechnen, ohne die Umkehrfunktion zu kennen.
Das bedeutet, dass du die Umkehrfunktion nicht herleiten musst.
Verwende die Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.
Bekannt ist $x=f(2)=\frac19$.
Was ist dann $f^{-1}\left(\frac19\right)$?
LösungGegeben ist die Funktion $f(x)=\frac1{1+x^3}$.
Im Folgenden wird die Formel
$\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $
verwendet. Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle $x=f(2)=\frac19$. Dabei ist die Umkehrfunktion unbekannt.
Die Ableitung von $f$ ist gegeben durch
$f'(x)=-(1+x^3)^{-2} \cdot 3x^2=-\frac{3x^2}{(1+x^3)^2}$.
Es gilt $f'(2)=-\frac{3\cdot 2^2}{(1+2^3)^2}=-\frac{12}{81}=-\frac4{27}$.
Nach der Umkehrformel ist
$\left(f^{-1} \right)'\left(\frac19\right)=\frac1{-\frac4{27}}=-\frac{27}4$.
-
Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt[4]x+5$.
TippsVerwende die Umkehrformel
$f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.
Die Umkehrung vom Ziehen einer Wurzel ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.
Es gilt die Potenzregel der Differentiation
$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.
LösungEs soll die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt[4]x+5$ mit der Umkehrformel berechnet werden:
$f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.
Hierfür wird zunächst die Umkehrfunktion von $f$ benötigt sowie deren Ableitung.
$\begin{align*} y&=\sqrt[4]x+5&|&-5\\ y-5&=\sqrt[4]x&|&(~)^4\\ x&=(y-5)^4. \end{align*}$
Durch Vertauschen der Variablen erhält man die Umkehrfunktion
$f^{-1}(x)=(x-5)^4$.
Deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=4(x-5)^3$.
Nun kann die Ableitung $f'$ berechnet werden:
$f'(x)=\frac1{4(\sqrt[4]x+5-5)^3}=\frac1{4\sqrt[4]x^3}$.
-
Leite die Funktion $f(x)=\sqrt[n]x$ mit $x>0$ und $n\in\mathbb{N}$ ab.
TippsVerwende die Umkehrformel
$f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.
Die Umkehrung vom Ziehen einer Wurzel ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.
Es gilt die Potenzregel der Differentiation
$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.
LösungMan betrachte die Funktion $f(x)=\sqrt[n]x$, $x>0$ und $n\in\mathbb{N}$. Um diese mit der Umkehrformel abzuleiten, benötigt man die Umkehrfunktion und deren Ableitung:
- $f^{-1}(x)=x^n$ und
- $\left(f^{-1}\right)'(x)=nx^{n-1}$.
$f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.
Die Ableitung von $f$ ist also
$f'(x)=\frac1{n\left(\sqrt[n]x\right)^{n-1}}$.
-
Gib die Umkehrformeln zur Berechnung einer Ableitung an.
TippsDie Ableitung der Funktion $f(x)=2x$ ist $f'(x)=2$.
Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x)=\frac12 x$ und deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac12$.
Es gibt $2$ Fassungen der Umkehrregel für Ableitungen.
LösungDie Regel zur Ableitung einer Umkehrfunktion kann in $2$ Fassungen angegeben werden. Dabei müssen sowohl die Funktion als auch die Umkehrfunktion differenzierter sein.
- $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'(f(x))}$ oder
- $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.
-
Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion.
TippsBerechne $f'(x)$ mit Hilfe der Potenz- und Kettenregel.
Verwende die Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.
Berechne $f^{-1} \left( 0,75 \right)$ durch $f(x)=0,75=\frac34$.
Es gilt $f \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right)=0,75$. Setze das $x$ in $f'(x)$ ein.
Berechne $\left( f^{-1} \right) '\left( 0,75 \right) = \frac{1}{f' \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right) }$.
LösungDer Rand des Kreises mit dem Radius $1$ ist gegeben durch die Gleichung $x^2+y^2=1$. Wenn man diese Gleichung nach $y$ für $0≤x≤1$ auflöst, erhält man $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
Man könnte die dazugehörige Umkehrfunktion bestimmen, jedoch benötigt man diese nicht zur Berechnung der Ableitung an einer vorgegebenen Stelle.
Da $x=f \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right)=0,75$ ist, gilt umgekehrt $f^{-1}(0,75)=\sqrt{\frac{7}{16}}$. Dies wird bei der Anwendung der Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $ benötigt.
Die Ableitung von $f$ ist
$f'(x)=\frac12 \cdot (1-x^2)^{-\frac12} \cdot (-2x) =-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
Nun kann die Formel angewendet werden. Es gilt
$\left(f^{-1}\right)'(0,75)= \frac{1}{f' \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right) }$. Wir setzen also $\sqrt{\frac{7}{16}}$ in die Ableitung von $f$ ein und erhalten schließlich
$\left(f^{-1}\right)'(0,75) \approx \frac{1}{-0,8819} \approx -1,1338$.
5.584
sofaheld-Level
6.572
vorgefertigte
Vokabeln
9.085
Lernvideos
38.992
Übungen
35.074
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrer*
innen

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste binomische Formel
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Sinusfunktion