30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Abituraufgabe Leistungskurs – Funktionen (1) 06:49 min

Textversion des Videos

Transkript Abituraufgabe Leistungskurs – Funktionen (1)

Hallo, wir machen eine Analysis-Aufgabe, eine Abitur-Aufgabe für den Leistungskurs in Nordrhein-Westfalen, zu bearbeiten mit einem solchen Computer-Algebra-System. Worum geht es? Wir haben eine Linie, auf der sind Punkte, wir haben da drüber noch eine Linie. Sachzusammenhang ist hier eher vernachlässigbar, vielleicht ist es eine Straße, vielleicht ist es ein Fluss oder ein See oder ein Naturschutzgebiet oder auch eine Kaninchenrennbahn, das ist völlig egal. Da sind viele Punkte angegeben, die du hier so halbwegs im Koordinatensystem ablesen kannst. Und kommen wir gleich zur ersten Aufgabe: Gesucht ist eine Funktion f, eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die durch die Punkte A, B, C, D geht. Und das ist eine Parameteraufgabe, die man folgendermaßen löst. Du schreibst den allgemeinen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hin, das ist ax3 + bx2 + cx + d = y oder =f(x), kann man auch sagen, ist auch egal. Darin da hinein setzt du jetzt die Koordinaten von A, B, C und D. Also zum Beispiel ist die x-Koordinate von A Null. Dann kannst du hier für x da und da und da Null einsetzen. Und das ist dann gleich 6,52, das steht hier. Dann kannst du die Koordinaten von B einsetzen. Also x-Koordinate 6,5. Dann setzt du hier für x da und da und da 6,5 ein und erhältst dann gleich y 5,78. Naja und die beiden anderen Punkte setzt du dann genauso ein. Das ergibt dann ein Gleichungssystem, das kannst du in den Taschenrechner eintippen und lösen lassen. Und hier habe ich mal etwas klein, aber in voller Schönheit dann die Funktion aufgeschrieben, die da ungefähr rauskommt. Man soll auf fünf Stellen nach dem Komma runden, also auf die fünfte Stelle nach dem Komma, kann man auch sagen. Und das habe ich hier gemacht. Das liefert natürlich dann der Taschenrechner. Anschließend soll noch der Graph skizziert werden oder gezeichnet werden. Das möchte ich mal eben hier andeuten. Der verläuft dann hier in diesem Bereich fast genau wie diese gezeichnete Linie, nur da weicht er etwas ab. Er sieht dann ungefähr so aus, hat viel weniger Krümmung hier als diese Linie. So. Ja, das ist unser Graph. Und dann ist die erste Aufgabe schon durch. Ich zeige gleich auch noch die zweite Aufgabe dazu. Da geht es um folgendes, also diesen Funktionsgraphen kannst du natürlich auch mit deinem Taschenrechner zeichnen, habe ich jetzt vergessen zu erwähnen, das musst du nicht alles selber machen. Möchten wir hier schrittweise vorgehen, einmal soll jetzt eine Funktion gefunden werden, eine ganzrationale Funktion vierten Grades, die durch die Punkte A, B und Q geht. A, B und Q. Und im Punkt B sollen die ersten Ableitungen von G und F übereinstimmen und die zweiten Ableitungen von G und F sollen auch übereinstimmen im Punkt B. So, wie macht man das? Da wir hier erst mit den Ableitungen zu tun haben und mit den zweiten Ableitungen, können wir erstmal aufschreiben, wie diese Ableitungen, erste Ableitung, zweite Ableitung allgemein aussehen. Ja, das ist die allgemeine Funktion vierten Grades und dann kann man die halt hier allgemein ableiten. Da die Funktion, die gesucht ist, durch die Punkte A, B und Q gehen soll, muss man halt in diese Ausgangsfunktion hier für x die x-Koordinaten von A, B und Q einsetzen und dann jeweils für das y die y-Koordinaten von A, B und Q. Das kannst du alles in deinen Taschenrechner eintippen. Dann sollen im Punkt B ja die ersten und zweiten Ableitungen übereinstimmen. Und da kann man sich also Folgendes vorstellen: Die x-Koordinate von Punkt B ist 6,5. Und hier steht jetzt, dass die Ableitung bei 6,5, also da, wo B die x-Koordinate hat, gleich der Ableitung von f sein soll. Und was hier nicht ganz deutlich wird, worauf ich eben hinweisen wollte, das hatte ich mir hier notiert: g’(6,5) ist das, was hier rauskommt. Das was hier rauskommt, wenn du für x 6,5 einsetzt. Das, was hier steht, das ist einfach nur eine Zahl, die du für y Strich einsetzt. Denn f haben wir schon, damit hast du auch f Strich, kannst du mit dem Taschenrechner machen. Und du kannst für x dann 6,5 einsetzen. f ’(6,5) ist einfach nur eine Zahl, eine ganz normale Zahl wie du und ich. Und die steht dann hier. Das gleiche gilt für g’’. g’’ und f ’’ sollen im Punkt B übereinstimmen. Das bedeutet, dass wir die x-Koordinate von B hier in die zweite Ableitung von g einsetzen können beziehungsweise in die allgemeine zweite Ableitung. Denn wir kennen ja a, b und c noch gar nicht. Also für x setzen wir hier 6,5 ein. Und das ist dann gleich dem Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle 6,5. Das ist eben auch wieder nur eine ganz normale Zahl. So. Und wenn man das alles eingetippt hat, dann hat man halt ein Gleichungssystem, was der Taschenrechner lösen kann. Und hier ist die freundliche Funktion, die dann herauskommt. Das sind die Zahlen auf die fünfte Stelle gerundet. Ich hoffe, die sehen bei dir genauso aus. Und dann ist hier der erste Film zu Ende für diese Aufgabe. Geht weiter mit dem zweiten, viel Spaß damit, Tschüss.