Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

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Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung
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Gib allgemein die Ableitung $\frac{dz}{dt}$ einer Funktion mit mehreren Veränderlichen an.
TippsBeachte, dass die partiellen Ableitung nach $x$ mit $\frac{\delta f}{\delta x}$ bezeichnet wird.
Zuerst muss nach jeder der beiden Veränderlichen partiell abgeleitet werden.
Jede der Veränderlichen muss noch nach $t$ abgeleitet werden.
Kennst du noch die Kettenregel für Funktionen mit einer Veränderlichen? Vielleicht erkennst du etwas wieder:
$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.
LösungUm die Funktion $z(t)$ nach $t$ abzuleiten, benötigt man zunächst die partiellen Ableitungen der Funktion nach den beiden Veränderlichen $x$ sowie $y$. Dann werden diese Veränderlichen jeweils auch noch nach $t$ abgeleitet.
Letztlich ergibt sich die folgende Ableitung:
$\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.
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Berechne die Ableitung der Funktion $z(t)=f(x(t);y(t))=2x(t)+y(t)^2+y(t)^3$ mit $x(t)=t$ und $y(t)=t^2$.
TippsVerwende die Kettenregel
$\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.
Du berechnest die partielle Ableitung einer Funktion nach einer Veränderlichen, indem du die andere Veränderliche als konstant annimmst. Nun wendest du die bekannten Ableitungsregeln an.
LösungWir wollen die Funktion $z(t)=f(x(t);y(t))=2x(t)+y(t)^2+y(t)^3$ mit $x(t)=t$ und $y(t)=t^2$ näher untersuchen. Zunächst werden die partiellen Ableitungen von $f$ bestimmt:
- $\frac{\delta f}{\delta x}=2$
- $\frac{\delta f}{\delta y}=2y+3y^2$
- $\frac{dx}{dt}=1$ sowie
- $\frac{dy}{dt}=2t$.
$\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.
Also ist $\frac{dz}{dt}=2+4y(t)\cdot t+6y(t)^2\cdot t$.
Nun kann noch $y(t)=t^2$ eingesetzt werden und man erhält:
$\frac{dz}{dt}=2+4t^2\cdot t+6(t^2)^2\cdot t=2+4t^3+6t^5$.
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Leite die Funktion $f(x;y)=2x^2y-3xy^3$ partiell nach $x$ und $y$ ab.
TippsWenn du nach $x$ partiell ableiten möchtest, betrachtest du $y$ als konstant.
Schaue dir das folgende Beispiel an $f(x;y)=3xy-2x^2y$.
Es ist $\frac{\delta f}{\delta x}=3y-4xy$.
Verwende jeweils die bekannten Ableitungsregeln:
- die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
- die Faktorregel $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ sowie
- die Summenregel $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
LösungDie Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen lautet:
$\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.
Es werden also zunächst die partiellen Ableitungen benötigt. Hierfür wird jeweils eine Variable konstant gehalten und nach der anderen mit den bekannten Ableitungsregeln abgeleitet:
- $\frac{\delta f}{\delta x}=4xy-3y^3$
- $\frac{\delta f}{\delta y}=2x^2-9xy^2$
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Verwende die Kettenregel zur Ableitung der Funktion.
TippsVerwende die Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen
$\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.
Du könntest die Ableitung noch weiter umformen zu
$\frac{dz}{dt}=2\sin(t)\cos(t)(\sin(t)+3\cos(t)^2)$.
Hier siehst du einen (möglichen!) Zwischenschritt der Rechnung.
LösungDie partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion $f(x;y)=2x^2y-3xy^3$ sind gegeben durch:
- $\frac{\delta f}{\delta x}=4xy-3y^3$
- $\frac{\delta f}{\delta y}=2x^2-9xy^2$
- für $x(t)=\sin(t)$ gegeben durch $x'(t)=\cos(t)$ und
- für $y(t)=\cos(t)$ durch $y'(t)=-\sin(t)$.
$\frac{dz}{dt}=(4x(t)y(t)-3y(t)^3)\cdot\sin(t)-(2x(t)^2-9x(t)y(t)^2)\cdot\cos(t)$.
Nun werden die Definitionen von $x(t)=\sin(t)$ sowie $y(t)=\cos(t)$ eingesetzt:
$\frac{dz}{dt}=(4\sin(t)\cos(t)-3\cos(t)^3)\cdot\sin(t)-(2\sin(t)^2-9\sin(t)\cos(t)^2)\cdot\cos(t)$.
Dies kann noch weiter umgeformt und zusammengefasst werden:
$\begin{array}{rcl} &&(4\sin(t)\cos(t)-3\cos(t)^3)\cdot\sin(t)-(2\sin(t)^2-9\sin(t)\cos(t)^2)\cdot\cos(t)\\ &=&4\sin(t)^2\cos(t)-3\cos(t)^3\sin(t)-2\sin(t)^2\cos(t)+9\sin(t)\cos(t)^3\\ &=&2\sin(t)^2\cos(t)+6\sin(t)\cos(t)^3 \end{array}$
Am schwierigsten ist es, die Übersicht zu behalten. Der Rest ist gar nicht so schwierig.
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Berechne die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=x^2+y$.
TippsWenn du nach $x$ partiell ableiten möchtest, betrachtest du die andere Variable $y$ als konstant.
Verwende die Ableitungsregeln, welche du von Funktionen mit einer Veränderlichen kennst.
Beachte: $f(x)=x^2+5$, dann ist $f'(x)=2x$.
LösungDie zu untersuchende Funktion lautet $f(x;y)=x^2+y$. Um die Kettenregel anzuwenden, muss man zunächst die partiellen Ableitungen bestimmen.
Hierfür betrachtet man die jeweilige Veränderliche, nach welcher nicht abgeleitet wird, als konstant und leitet nach der anderen Veränderlichen ab:
- $\frac{\delta f}{\delta x}=2x$
- $\frac{\delta f}{\delta y}=1$
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Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x;y)=2xy^2-2x^2y$ mit $x(t)=t^3$ und $y(t)=2-t$.
TippsDie partiellen Ableitungen sind
- $\frac{\delta f}{\delta x}=2y^2-4xy$ sowie
- $\frac{\delta f}{\delta y}=4xy-2x^2$.
Die Ableitungen der inneren Funktionen sind
- $x'(t)=3t^2$ und
- $y(t)=-1$.
Verwende die Kettenregel für Funktionen mehrerer Veränderlicher:
$\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.
LösungDie partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=2xy^2-2x^2y$ sind
- $\frac{\delta f}{\delta x}=2y^2-4xy$ sowie
- $\frac{\delta f}{\delta y}=4xy-2x^2$.
- $x'(t)=3t^2$ und
- $y(t)=-1$
$\frac{dz}{dt}=(2y(t)^2-4x(t)y(t))\cdot3t^2+(4x(t)y(t)-2x(t)^2)\cdot(-1)$.
Jetzt werden die inneren Funktionen eingesetzt:
$\frac{dz}{dt}=(2(2-t)^2-4t^3(2-t))\cdot3t^2+(4t^3(2-t)-2(t^3)^2)\cdot(-1)$.
Zuletzt wird noch weiter umgeformt:
$\begin{array}{rcl} &&(2(2-t)^2-4t^3(2-t))\cdot3t^2+(4t^3(2-t)-2(t^3)^2)\cdot(-1)\\ &=&(2(4-4t+t^2)-8t^3+4t^4)\cdot3t^2-(8t^3-4t^4-2t^6)\\ &=&(8-8t+2t^2-8t^3+4t^4)\cdot 3t^2-8t^3+4t^4+2t^6\\ &=&24t^2-24t^3+6t^4-24t^5+12t^6-8t^3+4t^4+2t^6\\ &=&14t^6-24t^5+10t^4-32t^3+24t^2 \end{array}$
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