Terme und Rechenbäume

Terme sind Rechenausdrücke. In diesen kommen Zahlen, Variablen und Rechenzeichen vor. Oftmals genügt es nicht, einen Term aufzustellen, sondern du musst diesen Term auch noch vereinfachen, also umformen.

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Was ist ein Term?

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck, in welchem

Zahlen,
Variablen,
Rechenzeichen und
Klammern vorkommen.

In einem Term kommen KEINE

Gleichheitszeichen ($=$) oder
Relationszeichen ($>$, $\ge$, $<$, $\le$) vor.

Was bedeutet „sinnvoll“? Wenn du für die Variablen Zahlen einsetzt, kannst du den Wert des Terms berechnen.

Beispiele

Eine Zahl oder eine Variable können durchaus alleine stehen. In beiden Fälle würde es sich um einen Term handeln, wie zum Beispiel bei $4$ oder $x$. Ein Rechenzeichen allein ist kein Term.
Ein Rechenzeichen kann auch als Vorzeichen verwendet werden, zum Beispiel $-4$ für eine negative Zahl. Auch dies ist ein Term.
Allerdings ist $4-$ kein Term.
$4-x$ ist ein Term. Er besteht aus der Zahl $4$, dem Rechenzeichen $-$ und der Variablen $x$. Wenn du zum Beispiel für $x$ den Wert $3$ einsetzt, erhältst du $4-3=1$.
Terme können auch durchaus etwas umfangreicher sein. Damit beschäftigen wir uns im Folgenden.

Was sind Termumformungen?

Wir schauen uns zunächst an, was unter ergebnisgleichen Termen verstanden wird. Zwei Terme heißen ergebnisgleich, wenn die Terme, egal welche Werte für die Variablen eingesetzt werden, immer das gleiche Ergebnis haben.

Alle Umformungen eines Terms in einen ergebnisgleichen Term heißen Termumformungen. Du kannst auch sagen, dass der Term vereinfacht oder verändert wird.

Bei Termumformungen musst du verschiedene Regeln befolgen:

Der Wert des Terms muss gleich bleiben.
Klammern werden zuerst durchgeführt.
Es gilt „Punkt geht vor Strich“.

Die Addition oder Subtraktion von Termen

Merke dir: Du kannst nur Terme addieren oder subtrahieren, die gleichartig sind. Zwei Terme heißen gleichartig, wenn sie in den Variablen und dem Exponenten überein stimmen. Die Koeffizienten, also die Faktoren vor dem Term, können verschieden sein.

$2x$ und $3x$ sind gleichartige Terme. Es gilt $2x+3x=(2+3)x=5x$. Du addierst hier die Koeffizienten. Wenn du zum Beispiel zwei Handys hast und noch drei Handys hinzukommen, dann hast du insgesamt fünf Handys.
$2x$ und $3y$ sind nicht gleichartige Terme. Du kannst also $2x+3y$ nicht weiter vereinfachen.Wenn du zum Beispiel zwei Handys hast und drei Taschenrechner hinzukommen, dann hast du insgesamt zwei Handys und drei Taschenrechner.
$4x^2+3x^2=(4+3)x^2=7x^2$, da die beiden Summanden gleichartige Terme sind.
$4x^2+3x^3$ lässt sich nicht weiter vereinfachen, da die beiden Summanden nicht gleichartige Terme sind. Hier sind die Exponenten verschieden.

Die Multiplikation oder Division von Termen

Du kannst beliebige Terme multiplizieren oder dividieren. Beim Dividieren kannst du gegebenenfalls kürzen:

$(3x)\cdot (6y)=18xy~~$ Üblicherweise schreibst du die Faktoren in der Reihenfolge, $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ wie sie im Alphabet vorkommen.
$\frac{3x}{6y}=\frac{3x}{6 y}=\frac{x}{2y}$ für alle $y>0$

Das Kommutativgesetz der Addition

Das Kommutativitätsgesetz besagt, dass du die Reihenfolge bei der Addition vertauschen darfst, also $a+b=b+a$. Es wird auch Vertauschungsgesetz genannt.

Hier siehst du ein Beispiel, wie du mit Hilfe des Kommutativitätsgesetzes einen Term vereinfachen kannst: $7x+3y+2x+y+8x-4y-5x$.

Vertausche zunächst die Reihenfolge so, dass gleichartige Terme beieinander stehen. Achte darauf, das Vorzeichen mitzunehmen: $7x+3y+2x+y+8x-4y-5x=7x+2x+8x-5x+3y+y-4y$.
Nun kannst du die Koeffizienten addieren oder subtrahieren:

$\begin{array}{rcl} ~~7x+2x+8x-5x+3y+y-4y&=&(7+2+8-5)x+(3+1-4)y\\ &=&12x \end{array}$

Das Kommutativgesetz der Multiplikation

Dieses Kommutativitätsgesetz besagt, dass du die Reihenfolge bei der Multiplikation vertauschen darfst, also $a\cdot b=b\cdot a$.

Vorzeichenregeln

Die Addition eines Terms mit einem negativen Vorzeichen: $a+(-b)=a-b$.
Die Subtraktion eines Terms mit einem negativen Vorzeichen: $a-(-b)=a+b$.
Die Multiplikation eines Terms mit einem negativen Vorzeichen: $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$.
Die Multiplikation zweier Terme mit negativem Vorzeichen: $(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$.
Die Division eines Terms mit einem negativen Vorzeichen: $\frac{(-a)} b=-\frac ab$.
Die Division zweier Terme mit negativem Vorzeichen: $\frac{-a}{-b}=\frac ab$.

Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz besagt, wie die Multiplikation von Klammertermen durchgeführt wird: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Du siehst, du multiplizierst jeden Term in der Klammer mit dem Term vor der Klammer.

Dies wird auch als Ausmultiplizieren bezeichnet. Umgekehrt kannst du auch ausklammern $a \cdot b+a \cdot c=(a+b) \cdot c$, da in beiden Summanden der gemeinsame Faktor $x$ vorkommt.

Spezialfälle dieser Regeln sind Vorzeichen vor Klammern:

$+(a+b)=a+b~~~~$ Hier kannst du die Klammern weglassen.
$-(a+b)=-a-b ~$ Du musst in der Klammer jeweils das Vorzeichen umdrehen.

Du kannst auch kompliziertere Multiplikationen mit dem Distributivgesetz durchführen: $(x+2)\cdot (x+3)$.

Multipliziere $(x+2)$ mit jedem Term in der rechten Klammer: $(x+2)\cdot (x+3)=(x+2)\cdot x+(x+2)\cdot 3$.
Nun kannst du wieder das Distributivgesetz anwenden: $(x+2)\cdot x+(x+2)\cdot 3=x\cdot x+2\cdot x+x\cdot 3+2\cdot 3$.
Nun kannst du das Kommutativgesetz der Multiplikation verwenden und zusammenfassen: $x\cdot x+2\cdot x+x\cdot 3+2\cdot 3=x^2+2x+3x+6$.
Übrigens kannst du statt $2\cdot x$ auch $2x$ schreiben.
Addieren oder subtrahieren kannst du nur gleichartige Terme: $x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$.
Diesen Term kannst du nicht weiter vereinfachen.

Das Assoziativgesetz der Addition

Das Assoziationsgesetz der Addition, besagt dass du die Klammerung der Addition auch tauschen kannst: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

Üblicherweise rechnest du von links nach rechts, ebenso wie du liest.

Beispiel: $122x+(8x+12x)=122x+20x=242x=130x+12x=(122x+8x)+12x$

Das Assoziativgesetz der Multiplikation

Du kannst die Klammerung bei der Multiplikation tauschen: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Beispiel: $122x\cdot(2\cdot 5)=122x\cdot 10=1220x=244x\cdot 5=(122x\cdot 2)\cdot 5$

Die binomischen Formeln

Die binomischen Formeln sind Spezialfälle des Distributivgesetzes und eine komplexere Termumformung. Es werden jeweils zwei Binome miteinander multipliziert. Daher kommt der Name:

Die 1. binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Die 2. binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Die 3. binomische Formel $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

Beispiele

Beispiel 1

Addiere zu dem Dreifachen einer unbekannten Zahl das Doppelte der um zwei verringerten Zahl.

Die unbekannte Zahl sei $x$.

Das Dreifache der Zahl: $3x$.
Die um zwei verringerte Zahl: $x-2$.
Das Doppelte der um zwei verringerten Zahl: $2(x-2)$.
Die Addition führt zu: $3x+2(x-2)$.

Diesen Term kannst du noch vereinfachen:

Wende das Distributivgesetz an: $3x+2(x-2)=3x+2x-4$.
Addiere die gleichartigen Terme: $3x+2x-4=5x-4$.
Diesen Term kannst du nicht weiter vereinfachen.

Im Folgenden siehst du noch zwei Beispiele für das Aufstellen und anschließende Umformen von Termen:

Beispiel 2

Gesucht ist ein Term, welcher den Inhalt der abgebildeten Fläche in Abhängigkeit von $x$ angibt.

Du siehst ein Rechteck mit den Seitenlängen $x$ und $3$, also dem Flächeninhalt $3x$.
Zwei Rechtecke haben die Seitenlängen $x$ und $2$, also insgesamt den Flächeninhalt $2\cdot 2x=4x$.
Das untere Rechteck hat die Seitenlängen $x$ und $1$, also den Flächeninhalt $1 \cdot x=x$.
Die jeweiligen Flächeninhalte musst du nun addieren: $3x+4x+x=(3+4+1)x=8x$.
Nun kannst du verschiedene Werte für $x$ einsetzen und erhältst den entsprechenden Flächeninhalt.
Die Aufgabe könnte auch weitergehen. Wie groß muss $x$ sein, damit der gesamte Flächeninhalt $16$ beträgt? Dies führt zu der Gleichung $8x=16$, welche du dadurch löst, dass du auf beiden Seiten durch $2$ dividierst. Du erhältst $x=2$.

Beispiel 3

Hier kannst Termumformungen an einem komplexeren Beispiel üben: $3(x+2)^2-x(2x+3)-(x+4)\cdot (x-1)$

Mit Hilfe der 1. binomischen Formel erhältst du $(x+2)^2=x^2+4x+4$.

Wende das Distributivgesetz dreimal an:

$3(x^2+4x+4)=3x^2+12x+12$
$-x(2x+3)=-2x^2-3x$: Achte unbedingt auf das Vorzeichen.
$-(x+4)\cdot (x-1)=-x^2-4x+x+4=-x^2-3x+4$

Nun kannst du die Terme einsetzen:

$\begin{array}{rcl} &&3(x+2)^2-x(2x+3)-(x+4)\cdot (x-1)\\ &=&3x^2+12x+12-2x^2-3x-x^2-3x+4 \end{array}$

Vertausche die Reihenfolge so, dass gleichartige Terme beieinander stehen:

$\begin{array}{rcl} &&3x^2+12x+12-2x^2-3x-x^2-3x+4\\ &=&3x^2-2x^2-x^2+12x-3x-3x+12+4\end{array}$

Zuletzt kannst du noch ausrechnen, also gleichartige Terme addieren oder subtrahieren:

$3x^2-2x^2-x^2+12x-3x-3x+12+4=6x+16$.

Rechenbäume

Rechenbäume sind eine hilfreiche Methode, um verschachtelte Terme übersichtlich darzustellen und auch zu lösen. In dem unten abgebildeten Schema siehst du, wie eine typischer Rechenbaum aussehen kann:

Rechenbaum

Um einen Term mit Hilfe eines Rechenbaums zu lösen, musst du dir über die Regeln zur Berechnung von Termen (Punkt-vor-Strich, Klammer-Reihenfolge, etc,) bewusst sein und kannst die Reihenfolge der anzuwendenden Rechnungen dann sehr übersichtlich darstellen.