Jetzt 30 Tage gratis testen & in der Schule richtig durchstarten!

Mit unseren lustigen Videos & Übungen motiviert Wissenslücken schließen.

Quadratische Gleichungen – Anwendungsaufgaben

Durch das Lösen quadratischer Gleichungen kann man Fragen aus dem Alltag beantworten. Im folgenden Abschnitt wirst du einige solche Beispiele kennenlernen.

Quadratische Gleichungen

Zur Lösung der nachfolgenden Anwendungsaufgaben zu quadratischen Funktionen werden Kenntnisse zu Parabeln vorausgesetzt.

Anwendungsbeispiel: Müngstener Brücke

Die Müngstener Brücke der Bahnstrecke zwischen Solingen und Remscheid hat einen parabelförmigen Bogen mit folgender Funktionsgleichung:

$y = -\frac{1}{90}x^{2}$

Es soll die Spannweite des Brückenbogens ermittelt werden, wenn die Bogenhöhe $69\ \text{m}$ beträgt. Der Funktionsgraph ist im Folgenden abgebildet.

MüngsterBrücke.jpg

Die gesuchte Spannweite erhält man, indem man $y=-69$ in die Funktionsgleichung einsetzt und die zugehörigen $x$-Werte wie folgt berechnet.

$\begin{array}{llll} y&=&-\frac{1}{90}x^{2} & \\ -69&=&-\frac{1}{90}x^{2} & \vert \cdot(-90) \\ 6210&=&x^{2} & \\ \\ 78,80&=& x_{1} & \\ -78,80&=& x_{2} & \\ \end{array}$

Die Spannweite ist dann zu ermitteln durch $s = 78,80\ \text{m} \cdot 2 = 157,60\ \text{m}$.

Anwendungsbeispiel: Parabelbogen einer Brücke

Der Parabelbogen einer Brücke lässt sich beschreiben durch folgende Funktionsgleichung:

$f(x) = -\frac{1}{9}x^{2} + 10$

Der Funktionsgraph sieht wie folgt aus:

Parabelförmige_Brücke.jpg

Wie hoch und wie lang ist die Brücke? Du gehst nun wie folgt vor:

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei $S(0|10)$, also beträgt die Höhe $10\ \text{m}$. Die Länge berechnet man wie folgt:

$\begin{array}{llll} 0&=&-\frac{1}{9}x^{2} + 10 & \vert - 10\\ -10&=&-\frac{1}{9}x^{2} & \vert\cdot(-9)\\ 90&=&x^{2} & \\ \\ 9,49&=& x_{1} & \\ -9,49&=& x_{2} & \end{array}$

Die Länge entspricht der Spannweite und ist wie im ersten Anwendungsbeispiel zu errechnen aus $s = 9,49\ \text{m} \cdot 2 = 18,97\ \text{m}$.

Die Fahrbahnbreite beträgt ca. $\frac{2}{3}$ ihrer Länge. Wie groß ist die Fahrbahnfläche?

$\begin{array}{llll} A &=& \text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge}\cdot \text{Breite}\\ &=&s\cdot\frac{2}{3}s\\ &=&240\ \text{m}^{2}\\ \end{array}$

Anwendungsbeispiel: Wurf

Ein Stein wird nach oben katapultiert.

Wurf.jpg

Seine Flugbahn kann mit der Gleichung $f(x) = -5x^{2} + 25x +1,75$ beschrieben werden. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden und $f(x)$ für die Höhe in $\text{m}$.

In welcher Höhe befindet sich der Stein nach $1$ Sekunde und nach $4$ Sekunden?

$f(1) = -5\cdot1^{2} + 25\cdot 1+1,75 = 21,75$

$f(4) = -5\cdot4^{2} + 25\cdot 4+1,75 = 21,75$

Nach einer und nach vier Sekunden befindet sich der Stein jeweils auf $21,75\ \text{m}$ Höhe.

Zu welchem Zeitpunkt erreicht der Stein seine maximale Höhe? In welcher Höhe befindet er sich dann? Man weiß nun, dass die Höhen in der ersten und vierten Sekunde gleich sind. Da es sich um eine Parabel handelt, liegt folglich der Scheitelpunkt genau mittig dazwischen, nämlich bei $x=2,5$ Sekunden.

$f(2,5) = -5\cdot2,5^{2} + 25\cdot 2,5+1,75 = 33$

Seinen höchsten Punkt erreicht der Stein nach $2,5$ Sekunden mit $33\ \text{m}$ Höhe.

Nach wie vielen Sekunden trifft der Stein wieder auf dem Boden auf? Die folgende Gleichung wird mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gelöst.

$\begin{array}{llll} 0 &=&-5x^{2} + 25x +1,75 & \vert : (-5)\\ 0&=&x^{2} - 5x - 0,35 & \\ 0&=&(x^{2} - 5x + 6,25) - 6,25 -0,35 & \\ 0&=&(x - 2,5)^{2} - 6,6 & \vert +6,6 \\ 6,6&=&(x - 2,5)^{2} & \\ \\ 2,57&=&x_{1} - 2,5 & \\ 5,07&=&x_{1} & \\ \\ -2,57&=&x_{2} - 2,5 & \\ -0,07&=&x_{2} & \end{array}$

Der Stein kommt also nach $-0,07 + 5,07 = 5$ Sekunden wieder auf dem Boden auf.

Betrachtet man, dass der Stein nach $2,5$ Sekunden seine maximale Höhe erreicht hat, so kann man sich eigentlich die komplizierte Rechnung sparen. Denn wenn der Stein nach $2,5$ Sekunden seinen höchsten Punkt (den Scheitelpunkt der Parabel) erreicht, wird er nach weiteren $2,5$ Sekunden wieder auf dem Boden auftreffen.