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Was ist ein Vieleck?

Ein Vieleck oder auch Polygon ist eine ebene Figur. Es hat drei oder mehr Ecken, welche nicht auf einer Geraden liegen. Von jeder Ecke gehen zwei Kanten, oder auch Seiten, zu den beiden benachbarten Ecken ab. An jeder Ecke treffen also zwei Kanten aufeinander.

Du kennst sicher schon einige Vielecke:

  • das Dreieck,
  • das Viereck, oder auch Tetragon,
  • das Fünfeck, dieses wird auch Pentagon genannt, oder
  • das Sechseck, welches auch Hexagon genannt wird.

Alle Vielecke haben die Eigenschaft, dass die Winkelsumme, also die Summe der Innenwinkel, gegeben ist durch $(n-2)\cdot 180^\circ$, wobei $n$ die Anzahl der Ecken ist. So beträgt die Winkelsumme

  • bei Dreiecken $(3-2)\cdot 180^\circ=180^\circ$, (weil ein Dreieck $3$ Ecken hat)
  • bei Vierecken $(4-2)\cdot 180^\circ=360^\circ$, (weil ein Viereck $4$ Ecken hat)
  • bei Fünfecken $(5-2)\cdot 180^\circ=540^\circ$, (weil ein Fünfeck $5$ Ecken hat)
  • ...

Regelmäßige und unregelmäßige Vielecke

Es gibt regelmäßige und unregelmäßige Vielecke: Bei einem regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß.

Regelmäßige Dreiecke und Sechsecke

In dem Bild siehst du ein rotes regelmäßiges Sechseck und ein grünes regelmäßiges Dreieck. Ein regelmäßiges Dreieck wird auch als gleichseitiges Dreieck bezeichnet.

1083_regelmäßig_3_6-Eck.jpg

Hier siehst du, wie du ein regelmäßiges Sechseck konstruieren kannst:

  • Du zeichnest einen Kreis mit dem Radius $r$.
  • Dann markierst du irgend einen Punkt auf dem Kreisrand.
  • Nun trägst du in diesem Punkt einen Kreis, ebenfalls mit dem Radius $r$, ab. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Ausgangskreis ist der nächste Punkt.
  • Du stichst mit dem Zirkel in diesen neuen Punkt ein und trägst wieder einen Kreis mit dem Radius $r$ ab.
  • So fährst du fort, bis du sechs Punkte auf dem Kreisrand gefunden hast.
  • Zuletzt verbindest du diese Punkte miteinander.
  • Fertig ist das regelmäßige Sechseck.

Wenn du immer nur jeden zweiten Punkt nimmst und diese drei Punkte miteinander verbindest, erhältst du ein gleichseitiges Dreieck.

Regelmäßige Fünfecke

Auch bei der Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks beginnst du mit einem Kreis. Du markierst zu Beginn wieder einen Punkt irgendwo auf dem Kreisrand. Nun verbindest du diesen Punkt mit dem Mittelpunkt deines Kreises. Mit anderen Worten: Du zeichnest den Radius ein. Nun trägst du einen Winkel von $72^\circ$ an der Radiuslinie ab. Dort, wo die entstandene Linie wiederum die Kreislinie schneidet, hast du einen weiteren Eckpunkt deines Fünfecks gefunden. Im nächsten Schritt trägst du wieder einen Winkel von $72^\circ$ ab. So fährst du fort, bis du alle fünf Randpunkte gefunden hast. Diese verbindest du miteinander und fertig ist das regelmäßige Fünfeck.

1083_regelmäßiges_Fünfeck.jpg

Wo kommt eigentlich der Winkel $72^\circ$ her? Der Vollwinkel beträgt $360^\circ$. Wenn du diesen durch $5$, die Anzahl der Ecken, dividierst, erhältst du $360^\circ:5=72^\circ$.

Übrigens: Auf diese Weise hättest du auch das regelmäßige Dreieck und Sechseck konstruieren können. So kannst du jedes beliebige regelmäßige Vieleck konstruieren: Dividiere den Vollwinkel durch die Anzahl der Ecken.

Vielleicht fragst du dich schon, wie das mit dem gleichseitigen Viereck ist. Dieses schauen wir uns im Folgenden gemeinsam mit den übrigen Vierecken an. Um diese besser zu verstehen, kannst du dir das Haus der Vierecke ansehen.

Das Haus der Vierecke

Ein Viereck ist eine ebene Figur. Ein Viereck hat vier Ecken, wie du an dem Namen erkennen kannst. Es gibt verschiedene Vierecke: Diese kannst du im Haus der Vierecke sehen.

1110_Haus_der_Vierecke.jpg

Lass' uns einmal schauen, wer in diesem Haus wohnt:

Regelmäßige Vierecke

Ganz oben in dem Haus der Vierecke wohnt das Quadrat.

  • In einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang.
  • Die jeweils gegenüber liegenden Seiten sind parallel zueinander.
  • Alle vier Winkel sind gleich groß, also $90^\circ$.

Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck. Und stell dir vor, von all den Vierecken im Haus der Vierecke ist es auch das einzige regelmäßige Viereck.

In einem Quadrat schneiden sich die Diagonalen genau in der Mitte in einem rechten Winkel.

Die Pfeile im Haus der Vierecke bedeuten, dass die beiden verbundenen Vierecke immer etwas gemeinsam haben. Das Quadrat und das Rechteck haben zum Beispiel Beide vier rechte Winkel. Das Quadrat und die Raute haben zum Beispiel Beide vier gleich lange Seiten. Je weiter du nach oben gehst, desto mehr Besonderheiten bringen die Vierecke mit sich.

Unregelmäßige Vierecke

Alle übrigen Vierecke sind unregelmäßig.

  • Die Raute oder auch Rhombus: In einer Raute sind auch alle Seiten gleich lang, jedoch nicht alle Winkel gleich groß. Die einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel zueinander. Die Diagonalen in einer Raute schneiden sich genau in der Mitte der Raute in einem rechten Winkel.
  • Das Rechteck: Ein Rechteck unterscheidet sich von dem Quadrat dadurch, dass nicht alle Seiten gleich lang sind. Nur die einander gegenüber liegenden Seiten sind gleich lang. Alle vier Winkel sind rechte Winkel. Die Diagonalen schneiden sich genau in der Mitte des Rechtecks.
  • Das Drachenviereck oder auch Deltoid: Bei einem Drachenviereck sind paarweise zwei einander anliegende Seiten gleich lang. Die Diagonale $f$, welche den Winkel zwischen den gleich langen Seiten jeweils halbiert, schneidet die Diagonale $e$ im rechten Winkel ($90^\circ$).

1083_Drachenviereck.jpg

  • Das Parallelogramm: Bei einem Parallelogramm sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel zueinander und gleich lang. Die Diagonalen schneiden sich genau in der Mitte. Was unterscheidet ein Parallelogramm von einem Rechteck? Die Winkel des Parallelogramms sind keine rechten Winkel. Beim Rechteck findet man immer vier rechte Winkel.
  • Das gleichschenklige Trapez ist ein spezielles Trapez. Bei einem Trapez sind zwei Seiten parallel zueinander. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die beiden Schenkel, also die Seiten, welche nicht parallel zueinander sind, gleich lang.
  • Zu guter Letzt gibt es noch das allgemeine Viereck, welches keine besonderen Eigenschaften hat - außer der vier Ecken natürlich.