50 % Lernmotivations-Rabatt —
Nur für kurze Zeit!

30 Tage kostenlos testen und anschließend clever sparen.

Flächeninhalt und Umfang von Fünfecken

Du weißt bereits wie du den Flächeninhalt sowie den Umfang von Drei- und Vierecken berechnen kannst. Hier lernst du dies bei Fünfecken.

Fünfecke

Fünfecke haben fünf Ecken. Hier siehst du ein allgemeines Fünfeck. Die Ecken sind entgegen dem Uhrzeigersinn mit $A$ bis $E$ beschriftet und die Seiten mit den entsprechenden Kleinbuchstabe $a$ bis $e$.

3022_5-Eck.jpg

Übrigens: In jedem Fünfeck gilt, dass die Summe der fünf Innenwinkel $540^\circ$ beträgt.

Der Umfang eines Fünfecks

Der Umfang eines Fünfecks ist, wie bei jedem Vieleck, die Summe der Seitenlängen:

$u=a+b+c+d+e$

Ganz so einfach ist der Flächeninhalt nicht zu berechnen.

Der Flächeninhalt eines Fünfecks

Zunächst einmal lernst du, wie du ganz allgemein den Flächeninhalt eines Fünfecks berechnen kannst. Schließlich lernst du noch den Spezialfall eines regelmäßigen Fünfecks kennen.

Die Heronsformel

Mit Hilfe der Heronsformel kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks ausschließlich mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnen.

Zunächst wird die Länge $s$ wie folgt definiert: $s=\frac{a+b+c}2$.

Damit lässt sich der Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt berechnen:

$A_\triangle=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

Allgemeine Fünfecke

Wenn du die Punkte $A$ und $D$ sowie $B$ und $D$ miteinander verbindest, kannst du das Fünfeck in drei Dreiecke aufteilen. Der Flächeninhalt des Fünfecks ist gerade die Summe der Flächeninhalte der drei Dreiecke.

3022_5-Eck-Dreiecke.jpg

Jeden dieser Flächeninhalte kannst du mit Hilfe der Heronsformel berechnen.

Beispiel

Nun kannst du an dem folgenden Beispiel diese Formel üben.

5022_5-Eck-Beispiel.jpg

Für den Abstand zweier Punkte $P(p_1|p_2)$ sowie $Q(q_1|q_2)$ kannst du die folgende Formel verwenden:

$d(P;Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$

Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks $\triangle{ADE}$ mit den Punkten $A(-3|2)$, $D(4|4)$ und $E(0|5)$:

  • $\overline{AE}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$
  • $\overline{AD}=\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$
  • $\overline{DE}=\sqrt{(-4)^2+1^2}=\sqrt{17}$

Nun kann es losgehen:

  • $s=\frac{\sqrt{18}+\sqrt{53}+\sqrt{17}}2$
  • $A_1=7,5$

Ebenso kannst du die Flächeninhalte der Dreiecke $\triangle{ABD}$ sowie $\triangle{BCD}$ berechnen:

  • $\triangle{ABD}$: $A_2=12,5$
  • $\triangle{BCD}$: $A_3=7,5$

Zuletzt addierst du diese Flächeninhalte zu $A=A_1+A_2+A_3=27,5$.

Regelmäßige Fünfecke

Bei einem regelmäßigen Fünfeck sind alle Seiten gleich lang.

3022_regelmäßiges_5-Eck.jpg

Der Umfang ist gegeben durch $u=5a$.

Wenn du jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt des Fünfecks verbindest, erhältst du fünf gleichschenklige und kongruente Dreiecke. Der Flächeninhalt des Fünfecks ist somit das Fünffache eines solchen Dreiecks. Du erhältst somit folgende Formel für den Flächeninhalt:

$A=\sqrt{25+10\cdot\sqrt5}\cdot\frac{a^2}4\approx1,7205\cdot a^2$

Alle Videos zum Thema

Videos zum Thema

Flächeninhalt und Umfang von Fünfecken (1 Video)