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Anwendung Flächeninhalt und Umfang eines Drachenvierecks

Es ist Herbst und du möchtest dir einen Drachen bauen. Im Wald findest du zwei Stöcke. Du möchtest wissen, wie viel Material du zum Basteln benötigst. Du willst also den Umfang und den Flächeninhalt des Vierecks berechnen. Um dies berechen zu können, musst du wissen, ob du den Flächeninhalt eins Drachenviereck oder einer Raute bestimmen musst.

1107_Raute_Drachenviereck.jpg

Die Raute und das Drachenviereck sind ebene Figuren mit vier Ecken, also Vierecke. Sie haben vier Seiten und vier Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel beträgt, wie bei allen Vierecken $360^\circ$.

Arten von Vierecken

Im Haus der Vierecke findest du verschiedenen Vierecksarten nach ihren Eigenschaften sortiert.

1110_Haus_der_Vierecke.jpg

Die Raute: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt

Die Raute (auch Rhombus genannt), kannst du direkt links unter dem Quadrat erkennen.

1107_Raute.jpg

Eigenschaften Raute

  • In einer Raute und einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.
  • In einer Raute sind nicht, wie in einem Quadrat, alle Winkel gleich groß.
  • Die gegenüberliegenden Winkel bei einer Raute sind gleich groß. Die benachbarte Winkel ergänzen einander auf $180^\circ$.
  • Die Diagonalen $e$ und $f$ in einer Raute schneiden sich genau in der Mitte der Raute in einem rechten Winkel ($90^\circ$). Die Diagonalen halbieren damit einander.
  • Jeder Innenwinkel wird durch eine Diagonale halbiert.
  • Eine Raute hat zwei Symmetrieachsen auf denen die beiden Diagonalen liegen.
  • Die einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel zueinander. Die Raute ist also auch ein Parallelogramm.

Der Umfang einer Raute

Zur Berechnung des Umfang und des Flächeninhalts einer Raute werden die Eigenschaften von Vierecken genutzt.

Für den Umfang einer Raute addierst du, wie bei jedem Viereck, die Längen aller vier Seiten. Bei einer Raute sind alle Seiten gleich lang mit Seitenlänge $a$. Es gilt für den Umfang einer Raute folgende Formel :

$u=a+a+a+a=4a$

Dieselbe Formel gilt auch für den Umfang eines Quadrats.

Der Flächeninhalt einer Raute

Der Flächeninhalt einer Raute kann über zwei Formeln bestimmt werden. Die erste Gleichung entspricht der Flächeninhaltsformel des Parallelograms mit der Seitenlänge $a$ und der zugehörigen Höhe $h_ {a}$.

$A=a \cdot h_ {a}=\frac{e\cdot f}2$

Die zweite Gleichung ergibt sich aus der Überlegung, dass eine Raute sich in zwei gleiche kongruente gleichschenklige Dreiecke aufteilen lässt.Der Flächeninhalt einer Raute entspricht der Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke.

1107_Raute_Konzerthaus.jpg

Das Drachenviereck: Eigenschaften, Umfang und Flächeninhalt

Bei einem Drachenviereck (auch Deltoid genannt) sind paarweise zwei einander anliegende Seiten gleich lang und die Diagonalen schneiden sich im rechten winkel zueinander.

Das Drachenviereck findest du in dem Haus der Vierecke in der Reihe mit den grünen Figuren, unterhalb der Raute und des Rechtecks, ganz links.

1107_Drachenviereck.jpg

Eigenschaften Drachenviereck

  • Die Diagonalen schneiden sich in einem rechten Winkel.
  • Die paarweise aneinander liegende Seiten sind gleich lang.
  • Ein Drachenviereck hat nur eine Symmetrieachse. Auf dieser liegt in dem dargestellten Drachenviereck die Diagonale $f$. Bei der Raute sind beide Diagonalen Symmetrieachsen.

  • Eine Raute ist auch ein Drachenviereck.

  • Ein Drachenviereck muss keine Raute sein.

Umfang eines Drachenvierecks

In einem Drachenviereck sind jeweils zwei Seiten gleich lang. Der Umfang eines Drachenvierecks mit Seitenlängen $a$ und $b$ ist gegeben mit:

$u=a+a+b+b=2(a+b)$

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks

Das Drachenviereck besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken. Damit ist der Flächeninhalt des Drachenvierecks die Summe der Flächeninhalte der beiden gleichschenkligen Dreiecke.

Der Flächeninhalt jedes der beiden Dreiecke berechnet sich als Produkt von Grundseite und Höhe dividiert durch $2$.

1107_Drachenviereck_Flächeninhalt.jpg

Die Höhe des oberen Dreiecks $A_{\Delta_o}$ sei $h$, dann beträgt zugehörige Flächeninhalt:

$A_{\Delta_o}=\frac{e\cdot h}2$

Die Höhe des unteren Dreiecks $A_{\Delta_u}$ beträgt $f-h$ und der zugehörige Flächeninhalt ist:

$A_{\Delta_u}=\frac{e\cdot (f-h)}2$

Addierst du nun die beiden Flächeninhalte, so erhältst du den Flächeninhalt des Drachenvierecks:

$A=A_{\Delta_o}+ A_{\Delta_u}=\frac{e\cdot h}2+\frac{e\cdot (f-h)}2=\frac{e\cdot h+e\cdot (f-h)}{2}=\frac{e\cdot f}2$

Der Flächeninhalt $A$ eines Drachenvierecks ist also gegeben durch

$A=\frac{e\cdot f}2$.

Anwendungsbeispiel Flächeninhalt Drachenviereck

Du möchtest mit deinen gefunden Stöcken und Stoff einen Drachen basteln.

1107_Drachen.jpg

Der längere Stock $f$ ist doppelt so lang, wie der kürzere Stock $e$ mit $40~ \text{cm}$. Damit gilt $f=2\cdot e$. Wie viel Stoff benötigst du für deinen Drachen?

Wir verwenden die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks. Die Stöcke $e$ und $f$ entsprechen den Diagonalen des Drachenvierecks.

$A=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{e\cdot 2\cdot e}{2}=e^2=40 ~\text{cm}^{2}=1600~\text{cm}^2$

Um deinen Drachen zu basteln benötigst du $1600~\text{cm}^2$ Stoff.