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Dreiecksscharen

Du kennst bereits Dreiecke: Wenn in einem (oder mehreren) der drei Eckpunkte ein Scharparameter vorkommt, spricht man von Dreiecksscharen.

Dreiecke

Ein Dreieck hat drei Ecken. Du kannst ein solches Dreieck in einem Koordinatensystem einzeichnen.

Du siehst hier ein Beispiel eines Dreiecks mit den Eckpunkten $A(1|1)$, $B(7|1)$ sowie $C(4|4)$.

3019_Dreiecksschar_1.jpg

Nun kannst du zum Beispiel bei dem Punkt $C$ eine oder beide Koordinaten variieren. Dann kannst du untersuchen, welchen Flächeninhalt das resultierende Dreieck hat oder ob vielleicht für eine Koordinate ein gleichschenkliges oder rechtwinkliges Dreieck vorliegt.

Diese Fragestellungen schauen wir uns nun im Folgenden an:

Flächenberechnung

Die oben gegebenen Punkte $A$ und $B$ werden beibehalten. Bei dem Punkt $C$ wird die $x$-Koordinate variiert. So erhältst du die Punkteschar $C_k(k|4)$.

Einige Dreiecke der Schar siehst du hier.

3019_Dreiecksschar_3.jpg

Für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks der Schar verwendest du die Formel $A=\frac{c\cdot h_c}2$. Dabei ist $c$ die Seite, die die Punkte $A$ und $B$ verbindet und $h_{c}$ die zugehörige Höhe des Dreiecks. Diese ist exemplarisch in dem obigen Bild in dem grünen Dreieck eingezeichnet. Du siehst, alle Punkte der Punkteschar $C_k$ liegen auf einer Parallelen zu der Seite $c$. Das bedeutet, dass die Höhe immer gleich ist. So erhältst du $A=\frac{6\cdot 3}2=9$ Flächeneinheiten.

Wenn bei der Punkteschar die $x$-Koordinate festgehalten wird und die $y$-Koordinate variiert zu $C_k(4|k)$, erhältst du den folgenden Flächeninhalt der Dreiecksschar, welcher von dem Parameter $k$ abhängt: $A(k)=\frac{6\cdot (k-1)}{2}=3(k-1)=3k-3$ Flächeneinheiten.

Gleichschenklige Dreiecke

Kommen wir wieder zurück zu den Punkten $A$ und $B$ sowie der Punkteschar $C_k(k|4)$. Hier siehst du wieder das zugehörige Bild.

3019_Dreiecksschar_3.jpg

Welche Dreiecke der Schar sind gleichschenklig?

Beginnen wir mit dem Punkt $C_4(4|4)$, welcher auf der Mittelsenkrechten der Seite $c$ durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.

Gibt es noch weitere Punkte der Schar $C_k(k|4)$, die gemeinsam mit $A$ und $B$ ein gleichschenkliges Dreieck bilden? Wir schauen uns die Seite $b=\overline{AC_k}$ an. Wenn die Länge dieser Seite gleich der der Seite $c=6$ ist, erhältst du wieder ein gleichschenkliges Dreieck. Die Länge der Seite $b$ kannst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen: $\sqrt{(k-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{k^2-2k+10}$.

Du erhältst somit die Gleichung $\sqrt{k^2-2k+10}=6$.

  • Zunächst quadrierst du beide Seiten der Gleichung zu $k^2-2k+10=36$.
  • Subtrahiere nun $36$ zu $k^2-2k-26=0$.
  • Diese Gleichung kannst du mit Hilfe der $pq$-Formel lösen:

$\begin{array}{rcl} k_{1,2} &=& -\frac{-2}2\pm\sqrt{\left(\frac{-2}2\right)^2+26}\\\ k_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{27}\\\ k_1&=&1+\sqrt{27}\approx 6,2\\\ k_2&=&1-\sqrt{27}\approx-4,2 \end{array}$

Die Punkte $C_{-4,2}(-4,2|4)$ sowie $C_{6,2}(6,2|4)$ bilden also mit $A$ und $B$ ein gleichschenkliges Dreieck.

Ebenso kannst du die Punkte $C_{1,8}(1,8|4)$ und $C_{ 12,2}(12,2|4)$ ermitteln, die mit $A$ und $B$ ein gleichschenkliges Dreieck bilden.

Rechtwinklige Dreiecke

Zu guter Letzt untersuchen wir die Dreiecksschar darauf, ob es rechtwinklige Dreiecke in dieser Schar gibt.

Die Seite $c$ verläuft parallel zur $x$-Achse. Das bedeutet, dass Punkte, welche gemeinsam mit $A$ oder $B$ auf einer Parallelen zur $y$-Achse liegen, gemeinsam mit $A$ und $B$ rechtwinklige Dreiecke bilden. Solche Punkte sind $C_1(1|4)$ sowie $C_7(7|4)$.

3019_Dreiecksschar_2.jpg

Könnte der rechte Winkel auch im Punkt $C_k$ selbst liegen?

Ja! Der Satz des Thales besagt, dass jeder Punkt auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ mit den beiden Punkten $A$ und $B$ ein rechtwinkliges Dreieck bildet, wobei der rechte Winkel in dem Punkt auf dem Rand des Halbkreises liegt.

In diesem Beispiel ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ gegeben durch $M(1|4)$ und der Radius ist $r=3$. Da der Punkt $C_{4}(4|4)$ ebenfalls den Abstand $3$ zu $M$ hat, liegt er auf diesem Halbkreis. Damit bilden auch die Punkte $A$, $B$ und $C_4$ ein rechtwinkliges Dreieck. Dies kannst du auch in dem obigen Bild sehen.

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