Kreisbewegung – Grundlagentheorie (Anfänger)

Hallo und herzlich willkommen zum Theorie-Video über die Kreisbewegung. Du solltest das Grundlagen-Video bereits verstanden haben. Eine kurze Wiederholung: T ist die Periodendauer, also die Zeit, die für eine Umrundung des Kreises benötigt wird. f ist die Frequenz, also die Zahl der Umrundungen, die in einer Sekunde vollzogen werden, sie berechnet sich durch 1/T. V ist die Bahngeschwindigkeit, sie berechnet sich durch v=U/T, wobei U der Umfang des Kreises ist. Und zu guter Letzt: r ist der Bahnradius. Wir werden jetzt noch eine Handvoll weiterer Größen einführen, die man sehr analog zur beschleunigten Bewegung betrachten kann. Diese Größen sind Winkel, Winkelgeschwindigkeit beziehungsweise Kreisfrequenz und Winkelbeschleunigung. Um auf einem Kreis mit festem Bahnradius r den Ort eines Massepunktes zu beschreiben, eignet sich am besten ein Winkel. Mathematisch spricht man hier von Polarkoordinaten. Ein Punkt in einer zweidimensionalen Ebene ist eindeutig durch zwei kartesische Koordinaten festgelegt, zum Beispiel x und y. Aber er ist auch eindeutig durch einen Winkel und eine Länge festgelegt, φ und r. Haben wir jetzt einen festen Bahnradius r, der immer gleich ist, lässt sich ein Punkt auf dem Kreis allein durch die Angabe eines Winkels beschreiben. Wir haben also aus dem zweidimensionalen Problem jetzt ein eindimensionales Problem gemacht. Dieser Winkel φ spielt in der Beschreibung von Kreisproblemen eine fast identische Rolle, wie der Ort X in der Beschreibung von Orten auf einer geraden Strecke. Dabei beträgt die Einheit des Ortes X Meter und die Einheit des Winkels ist rad, wobei 2π einer vollen Umdrehung entspricht. Genau, wie es eine Geschwindigkeit mit der Einheit m/s gibt, gibt es auch eine Winkelgeschwindigkeit ω mit der Einheit rad/s. Und genauso, wie es eine Beschleunigung a mit der Einheit m/s² gibt, gibt es auch eine Winkelbeschleunigung α mit der Einheit rad/s². Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell etwas rotiert, aber auch die Frequenz ist ein Maß dafür, wie schnell etwas rotiert. Die Frequenz war die Zahl der Umrundungen, die pro Sekunde vollzogen werden. Die Winkelgeschwindigkeit ist der Betrag des Winkels, der pro Sekunde überstrichen wird. Eine volle Umrundung entspricht einem Winkel von 2π. Deshalb kann man die Frequenz ganz einfach in die Winkelgeschwindigkeit umrechnen, und zwar mittels ω=2π×f. Da es so einen einfachen linearen Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Frequenz gibt, nennt man die Winkelgeschwindigkeit auch gerne Kreisfrequenz. Bei einer einfachen Kreisbewegung gilt folgender Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit: v=ω×r. Diese lässt sich sehr einfach herleiten aus v=2πr/T und T war ja 1/f und damit ist v=2πr×f und f ist nach der Gleichung oben ω/2π. Damit kürze ich das 2π raus und es steht dran: v=ω×r. Schauen wir uns mal die Bewegungsgleichungen auf einer Kreisbahn an. Zur Erinnerung: Die Bewegungsgleichungen auf einer geraden Strecke waren: x=1/2at²+x0t+x0 und v=at+v0. Mithilfe unserer definierten Größen: Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung gilt das Ganze auch für eine Bewegung auf einer Kreisbahn: φ(t)=1/2αt²+ω×t+φ0 und ω(t)=α×t+ω0, wobei φ0 der Anfangswinkel und ω0 die Anfangswinkelgeschwindigkeit ist. Cool, oder? Damit können wir schon jede Bewegung mit konstanter Beschleunigung auf einer Kreisbahn beschreiben. Natürlich können wir damit auch Bewegungen ohne Winkelbeschleunigung, also mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bescheiben, indem man einfach die Terme, die ein α enthalten, weglässt. Dazu gibt es selbstverständlich ein Beispiel-Video. Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal.