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Fadenpendel – Periodendauer

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Lars Karlsson
Fadenpendel – Periodendauer
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Fadenpendel – Periodendauer

Inhalt

Die Periodendauer eines Fadenpendels

Das Fadenpendel ist eines der grundlegenden Beispiele für einen Oszillator, also für ein System, das schwingen kann. Ein Oszillator ist ein Konzept, das in vielen Bereichen der Physik von Bedeutung ist. Deswegen wollen wir uns im Folgenden mit einer bestimmten Größe des Fadenpendels, der Periodendauer $T$, beschäftigen. Dazu wiederholen wir zunächst einige Grundbegriffe.

Wiederholung: Was ist ein Fadenpendel?

Ein Fadenpendel besteht aus einer Masse $m$, die an einem Faden frei beweglich aufgehängt ist und so Schwingungen durchführen kann. Als Schwingung bezeichnen wir die zeitlich periodische Bewegung eines Oszillators um seine Gleichgewichtslage. Die Gleichgewichtslage ist der Ort, an dem der Oszillator sich ohne äußere Einwirkung in Ruhe befindet, seinen Zustand also nicht ändert. Beim Fadenpendel ist dieser Zustand gegeben, wenn die Masse vertikal nach unten hängt. Sobald das Pendel aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt wird, wirkt eine rücktreibende Kraft. Diese sorgt für die Schwingung des Pendels. Die Punkte maximaler Auslenkung, an denen das Pendel seine Richtung ändert, nennt man Umkehrpunkte. Die Zeit, die es für eine komplette Schwingung benötigt, ist die Periodendauer $T$, manchmal auch Schwingungsdauer genannt.

Fadenpendel Definition

Fadenpendel: Periodendauer

Wir wollen nun herausfinden, von welchen Größen die Periodendauer eines Pendels abhängt. Dazu überlegen wir zunächst, wie die Periodendauer bestimmt werden kann. Wir gehen dabei vereinfacht davon aus, dass es keine Reibung gibt. Die Periodendauer ist dann zeitlich konstant.


Periodendauer bestimmen

Wir wissen, dass eine Periodendauer genau die Zeit ist, die das Pendel für eine Schwingung benötigt. Diese Zeit können wir bestimmen, indem wir beispielsweise den Zeitabstand zwischen dem ersten und dem dritten Nulldurchgang (so nennt man den Durchgang durch die Gleichgewichtslage) messen. Wir wählen dabei den Abstand zwischen dem ersten und dem dritten Nulldurchgang, weil das Pendel innerhalb einer Schwingung zweimal die Gleichgewichtslage durchläuft – einmal auf dem Hin- und einmal auf dem Rückweg. Da eine Periodendauer recht kurz sein kann, kann es zu großen relativen Fehlern führen, wenn wir lediglich eine Periode messen. Um dieses Problem zu umgehen, misst man die Zeit $t(N)$ für eine Vielzahl von Perioden und teilt dann durch die Anzahl $N$ der Perioden:

$T = \frac{t(N)}{N}$

In modernen Laboren kann man die Messung natürlich noch genauer gestalten, indem man Lichtschranken und ähnliche Hilfsmittel verwendet.


Periodendauer – Abhängigkeiten

Wir wollen herausfinden, von welchen Größen die Periodendauer des Fadenpendels abhängt. Dazu stellen wir zunächst Vermutungen auf, die experimentell überprüft werden können.

Wir vermuten, dass die Periodendauer $T$ von den folgenden Größen abhängt:

  • der Länge $l$ des Fadens
  • der Masse $m$, die an dem Faden hängt
  • der Stärke der Beschleunigung $a$, die für die rücktreibende Kraft sorgt

Wir betrachten nacheinander Experimente zu jeder dieser Größen.

Die Länge $l$ des Fadens

Um den Einfluss der Länge des Fadens zu überprüfen, führt man Messungen bei gleicher Masse, gleicher Anfangsauslenkung und unterschiedlichen Fadenlängen durch. Dann trägt man die Periodendauer $T$ gegen die Länge des Fadens $l$ in einem Koordinatensystem auf und sucht eine Funktion, die den beobachteten Verlauf beschreiben kann:

Fadenpendel Periodendauer Physik, Fadenlänge

Die Kurve, die den Messpunkten folgt, hat die Form einer Wurzelfunktion. Daraus können wir die erste Schlussfolgerung ziehen: Die Periodendauer ist proportional zur Wurzel der Fadenlänge.

$T \propto \sqrt{l}$

Die Masse $m$

Zur Untersuchung des Einflusses der Masse $m$ hält man die Fadenlänge $l$ konstant, führt aber Experimente mit unterschiedlich großen Massen $m$ durch. Die Periodendauer wird dann gegen die Masse aufgetragen. Die Punkte beschreiben eine Konstante – die Periodendauer ändert sich nicht, wenn die Masse verändert wird. Das heißt, die Masse, die an dem Faden hängt, hat keinen Einfluss auf die Periodendauer $T$. Unsere Vermutung diesbezüglich war also falsch.

Die Beschleunigung $a$

Die Beschleunigung $a$, die für die rücktreibende Kraft sorgt, ist im Falle des Fadenpendels normalerweise die Erdbeschleunigung. Diese wird zwar näherungsweise als konstant angenommen, hat aber eigentlich an unterschiedlichen Orten der Erde verschiedene Werte. Auf hohen Bergen ist sie beispielsweise geringer als auf Höhe des Meeresspiegels. Auch zwischen den Polen und dem Äquator gibt es kleine Unterschiede. Man kann den Einfluss der Beschleunigung auf die Periodendauer also bestimmen, indem man bei gleicher Fadenlänge und gleicher Masse Messungen an unterschiedlichen Orten der Erde durchführt. Die Abweichungen sind allerdings alle sehr klein.

Noch mehr Messpunkte mit größeren Abweichungen erhält man, wenn man ein Fadenpendel auf dem Mond, in einem Flugzeug oder auf anderen Himmelskörpern schwingen lässt (denn auch hier unterscheiden sich die Beschleunigungen stark – auf anderen Himmelskörpern spricht man auch nicht mehr von der Erdbeschleunigung, sondern von der Schwerebeschleunigung). Trägt man dann die Periodendauer gegen die Beschleunigung $a$ auf und sucht nach einer Funktion, die die Punkte durchläuft, erhält man das folgende Bild:

Fadenpendel Periodendauer Physik, Beschleunigung

Die Kurve, die den Punkten folgt, hat die Form einer inversen Wurzelfunktion. Aus diesem Experiment können wir also den folgenden Schluss ziehen: Die Periodendauer ist proportional zur inversen Wurzel der Beschleunigung, die die rücktreibende Kraft verursacht.

$T \propto \sqrt{ \frac{1}{a} }$


Formel für die Periodendauer des Fadenpendels

Wir können unsere Erkenntnisse zusammenfassen und eine Relation für die Periodendauer aufstellen. Wir erhalten zunächst die Abhängigkeit:

$T \propto \sqrt{ \frac{ l }{ a } }$

Es fehlt noch ein Proportionalitätsfaktor von $2 \pi$, den wir ohne Beweis oder Herleitung aufschreiben:

$T = 2\pi \sqrt{ \frac{ l }{ a } }$

Da wir in der Regel Fadenpendel auf der Erde betrachten, können wir noch die Beschleunigung $a$ durch die Erdbeschleunigung $g$ ersetzen. So erhalten wir als endgültige Formel für die Periodendauer:

$T = 2\pi \sqrt{ \frac{ l }{ g } }$

Diese Formel gilt für kleine Auslenkungen von maximal etwa $5^{\circ}$ und unter Vernachlässigung von Reibung. Bei guter Aufhängung, also schwacher Reibung, kannst du sie auch näherungsweise für ein reales Fadenpendel anwenden.

Anwendung der Formel

Du kannst das Fadenpendel mithilfe dieser Formel für ein spannendes Experiment nutzen. Wenn du ein Fadenpendel baust, kannst du die Länge $l$ des Fadens selbst festlegen. Die Periodendauer kannst du mit einer Stoppuhr, einer Kamera oder deinem Handy messen. Nun kannst du die Formel für die Periodendauer folgendermaßen umstellen:

$T = 2\pi \sqrt{ \frac{ l }{ g } } ~ ~ ~ | (...)^{2} ~ |:T ~ |\cdot g$

$\Rightarrow g = 4 \pi^{2} l \frac{1}{T^{2}}$

So kannst du durch Einsetzen der gemessenen Größen die Erdbeschleunigung $g$ mithilfe der Periodendauer eines Fadenpendels berechnen – mit einem Faden, einer Masse und einer Uhr.

Kurze Zusammenfassung zum Video Fadenpendel – Periodendauer

In diesem Video lernst du, von welchen Größen die Periodendauer eines Fadenpendels abhängt. Du erfährst auch, wozu du die Abhängigkeiten der Periodendauer nutzen kannst. Neben Text und Video findest du interaktive Übungen, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.

Transkript Fadenpendel – Periodendauer

Hallo zu Physik mit Lars. Und heute geht es um die Periodendauer eines Fadenpendels. Ein Fadenpendel ist ein grundlegendes Beispiel für einen Oszillator und hilft viele komplexere, aber ähnliche, Oszillatoren zu verstehen und zu beschreiben. Deshalb wollen wir das Fadenpendel physikalisch beschreiben. Wer will nicht mal die Physik, die hinter dem Schaukeln steckt, verstehen? Zuerst wiederholen wir wichtiges Wissen über Schwingungen allgemein. Dann lernst du ein Experiment zur Bestimmung der Periodendauer eines Fadenpendels kennen. Schließlich erfährst du, wie dieses Experiment genutzt wird, um die Abhängigkeiten der Periodendauer von anderen physikalischen Größen zu testen. Zuerst rufen wir uns das Wissen über Schwingungen in Erinnerung. Hier nochmal die Definition: Eine Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Oszillators um seine Gleichgewichtslage. Und dies sind die Bedingungen für eine Schwingung. Erstmal muss ein Oszillator vorhanden sein. Dann muss der Oszillator mehr Energie als in seinem Ruhezustand haben. Und schließlich muss es eine rücktreibende Kraft geben. Damit du gleich nicht den Überblick verlierst, hier noch einmal die wichtigsten Größen zur Beschreibungen von harmonischen Schwingungen. Einen Körper, der eine Schwingung ausführen kann, nennt man Oszillator. Die Position, an der sich der Oszillator im Ruhezustand befindet, nennt man Gleichgewichtslage. Die Position, an der sich die Bewegungsrichtung des Oszillators ändert nennt man Umkehrpunkt. Die Kraft, die den Oszillator zurück zur Gleichgewichtslage treibt, nennt man rücktreibende Kraft. Die Entfernung des Oszillators von seiner Gleichgewichtslage nennt man Elongation. Die Zeit, die ein Oszillator für eine vollständige Schwingbewegung benötigt nennt man Periodendauer. Alles klar, das war die Wiederholung. Jetzt geht es ans Experiment. An einen Stativstab kommt ein Haken und daran unser Fadenpendel. Als Oszillator nehmen wir am besten ein Massestück mit Haken, das wir ganz einfach in eine Schlaufe einhängen können. Die Periodendauer könnten wir einfach mit der Stoppuhr messen, oder? An sich stimmt das. Aber dabei entstehen oft Messfehler, weil die Periodendauer so kurz ist. Mit einem Trick kann man das allerdings umgehen. Man misst die Zeit für mehrere Schwingungen und teilt diese Zeit durch die Anzahl der Schwingungen. So erhält man die Durchschnittszeit pro Schwingung, also die Periodendauer. Wunderbar, das war schon der zweite Punkt. Unsere nächste Aufgabe ist es, herauszufinden wovon die Periodendauer abhängt. Weil wir bei einem grundlegenden Beispiel bleiben wollen, lassen wir die Reibung außer Acht. Außerdem wollen wir nur Schwingungen mit kleiner Auslenkung betrachten. Wir fangen mit folgenden Vermutungen an: Die Periodendauer könnte von der Fadenlänge des Pendel abhängen. Sie könnte auch von der Masse des Pendels abhängen. Und die Fallbeschleunigung am Ort des Experimentes könnte die Periodendauer auch beeinflussen. Um den Einfluss dieser Größen zu bestimmen, nutzen wir das Experiment von eben. Man misst die Periodendauer als Funktion der Größen, die wir gerade vermutet haben. Dazu ändert man eine der Größen und lässt alle anderen gleich. Für die Auswertung stellt man dann die Periodendauer graphisch als Funktion der sich ändernden Größe dar. Als erste Größe ändern wir die Fadenlänge. In der Tabelle siehst du die Periodendauer T bei verschiedenen Fadenlängen L. Sehen wir uns die Funktion an, die entsteht, wenn wir dies graphisch darstellen. Die Kurve, die wir erhalten, hat die Form einer Wurzelfunktion. Die Periodendauer T ist also proportional zur Wurzel der Fadenlänge L. Das heißt, dass die Periodendauer mit der Wurzel der Fadenlänge zunimmt. Das Gleiche tun wir nun für die Masse des Pendelkörpers. Dafür hängen wir einfach unterschiedliche Massestücke in die Schlaufe. Hier haben wir wieder eine Messreihe und den dazugehörigen Graphen. Die Periodendauer bleibt gleich, hängt also nicht von der Masse ab. Überrascht? Nun, auch wenn eine Vermutung widerlegt wird, von der wir dachten sie sei richtig, müssen wir unsere Erwartungen verwerfen. Wir akzeptieren, was das Experiment beweist. Dafür können wir die verblüffende Natur bestaunen und uns freuen, etwas Unerwartetes entdeckt zu haben. Schauen wir uns nun den Graphen an, den wir für diese Messreihe erhalten. Diesmal haben wir die Periodendauer für verschiedene Fallbeschleunigungen gegeben. Das geht, denn die Fallbeschleunigung ist auf der Erde nicht überall gleich. Je nach Breitengrad und Höhe schwankt der Wert zwischen 9,78 und 9,83 Meter pro Quadratsekunde. Der Graph sieht so aus, wie eine fallende Gerade. Doch wir können die Funktion für größere Wert weiter zeichnen. Man sagt interpolieren. Dann sieht man, dass es sich um eine invertierte Wurzelfunktion handelt. Die Periodendauer T ist also proportional zur Wurzel aus eins durch die Fallbeschleunigung g. Fassen wir beides zusammen, erhalten wir die Periodendauer T, proportional zur Wurzel aus der Fadenlänge L geteilt durch die Fallbeschleunigung g. Jetzt kommt noch ein Proportionalitätsfaktor von 2π dazu und wir haben eine Formel für die Periodendauer. Diese Formel ist gültig, solange wir von einer kleinen Auslenkung ausgehen können und die Reibung vernachlässigbar ist. Klasse, wir sind fast fertig. Wir fassen nochmal zusammen: Du hast gelernt, wie man die Periodendauer experimentell bestimmt. Man zählt mehrere Schwingungen und teilt diese Zeit durch die Anzahl der Schwingungen. Mit dem Experiment konnten wir außerdem die Abhängigkeiten der Periodendauer von anderen Größen bestimmen. Dabei hat sich überraschend gezeigt, dass die Periodendauer nicht von der Masse des Pendelkörpers abhängt. Die Periodendauer hängt nur von der Fadenlänge und der Fallbeschleunigung ab. Zur Berechnung der Periodendauer gilt folgende Gleichung: T = 2π √(L/g). Bau dir doch mal selbst ein Pendel und führe die Experimente eigenhändig durch. Viel Spaß! Bis zum nächsten Mal, dein Tutor Lars.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Tolles Video!!! :D

    Von Michaela 56, vor etwa 2 Jahren
  2. Tolles Video :)

    Von Tina P., vor fast 4 Jahren
  3. Wieso ist (y) nicht gleich (l), wenn es doch derselbe Faden ist??

    Von Felix G., vor mehr als 4 Jahren
  4. Bisschen motiviertere Stimme wäre gut da zumindest ich persönlich fast einschlafe aber an sich gutes Video!

    Von Johannes H., vor fast 5 Jahren
  5. -.-

    Von Till 3, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare

Fadenpendel – Periodendauer Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Fadenpendel – Periodendauer kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Definition der Schwingung.

    Tipps

    Die Amplitude ist die maximale Auslenkung eines Oszillators.

    Lösung

    Wir reden hier ja viel über Schwingungen, aber was ist denn eine Schwingung?

    Eine Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Oszillators um seine Gleichgewichtslage.

    Das bedeutet, dass ein Schwinger sich periodisch also wiederholt bewegt. Diese Bewegung geht um seine Gleichgewichtslage, also die Position die der Schwinger hätte, wenn er sich nicht mehr bewegen würde und in „Ruhe" verharrt.

    Für eine periodische Schwingung ist es wichtig, dass jeder Schwingungsvorgang immer gleich viel Zeit benötigt. Der Physiker sagt dazu, dass die Periodendauer der Schwingung immer gleich groß sein muss.

  • Nenne die Bedingungen für eine Schwingung.

    Tipps

    Überlege, wovon die Periodendauer abhängig ist.

    Lösung

    Was braucht es alles für eine Schwingung?

    Zwei Dinge sind dafür nötig: ein Oszillator, der mehr Energie als sein Ruhezustand hat, und eine rücktreibende Kraft, die diesen wieder in seine Ruhelage zurückdrängt.

    Eine Masse ist dafür allerdings nicht notwendig. Das ist gut daran zu sehen, dass die Periodendauer einer Schwingung auch nicht von der Masse abhängt.

  • Berechne die Periodendauer.

    Tipps

    Überlege, ob du überhaupt alle Größen brauchst.

    Lösung

    Du kannst dir sicher vorstellen, wieso die Periodendauer so wichtig ist. Interessant ist aber, dass wir die Masse gar nicht benötigen.

    Wir brauchen nur die Länge $l$ und die Erdbeschleunigung $g$.

    $T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{l}{g}}=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{5~\text{m}}{9,8~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}}=4,48~\text{s}\approx 4,5~\text{s}$

  • Berechne die Länge eines Pendels anhand der Periodendauer.

    Tipps

    Du musst die Formel für die Periodendauer umstellen.

    Lösung

    Hier wurde vergessen eine Größe festzuhalten. Beim Experimentieren sollte das zwar nicht vorkommen, aber ab und an passiert das mal. In so einem Fall ist es gut sich helfen zu können, z.B. indem man die Länge einfach anhand der Messungen berechnet. Das ist nicht ideal aber es geht meist.

    Dazu nehmen wir $T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ und stellen um:

    $l=\dfrac{g\cdot T^2}{2^2\pi^2}=6,2~\text{m}$.

    Wir haben also quadriert, um die Wurzel loszuwerden, und dann multipliziert mit $g$ und geteilt durch $2\pi$. Wir mussten dabei aber bedenken, dass $2\pi$ und $T$ ein Quadrat bekommen.

  • Nenne Größen mit denen man Schwingungen beschreiben kann.

    Tipps

    Stelle dir ein Pendel vor und überlege, welche der Größen darauf zutreffen.

    Lösung

    Bei Schwingungen gibt es eigentlich eine ganze Menge an physikalischen Größen zu finden, gerade wenn man sich nicht nur auf mechanische Schwingungen wie Pendel konzentriert.

    Die klassisch zu findenden Größen einer Schwingung sind Frequenz, Amplitude, Periodendauer.

    Ein Pendel kann aber auch eine Kraft, einen Impuls etc. haben.

    Größen wie Temperatur oder Ladung sind bei Schwingungen nicht zu finden.

    Die Größe „Größe", wie z.B. "Ich bin 1,80 Meter groß." ist nur ein umgangssprachlicher Begriff und keine physikalische Größe.

  • Berechne den Höhenunterschied eines ausgelenkten Pendels.

    Tipps

    So ein Pendel sieht doch aus wie ein rechtwinkliges Dreieck.

    Versuche $y$ mit dem Kosinus zu berechnen.

    Lösung

    Wenn man ein Pendel auslenkt, ist es höher als vorher. Will man also z.B. die Kraft der Pendelbewegung oder Ähnliches berechnen, muss man den Höhenunterschied kennen.

    Das ausgelenkte Pendel lässt sich als rechtwinkliges Dreieck betrachten. Wir können also trigonometrische Identitäten anwenden.

    Nach Unten haben wir die gesuchte Länge $y$, der Faden hat die Länge $l$ und ausgelenkt wurde um den Winkel $\varphi$.

    Nun wissen wir, dass $\cos(\varphi)=\dfrac{y}{l}$. Das stellen wir dann nach $y$ um, da wir $l$ ja kennen:

    $\cos(\varphi)\cdot l=y$.

    Ist der Winkel Null, ist der Kosinus 1 und $y_{max}=l$, so wie erwartet. Lenken wir das Pendel also aus, ist:

    $y=\cos(\varphi)\cdot l=\cos(25)\cdot 2~\text{m}=1,81~\text{m}$.

    Das ziehen wir von der maximalen Höhe $l$ ab: $l-y=2~\text{m}-1,81~\text{m}=0,19~\text{m}\approx 0,2~\text{m}$.

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