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Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz 06:34 min

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Transkript Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz

Hallo zu Physik mit Lars! Heute geht es um Eigenfrequenz, Resonanz und erzwungene Schwingungen. Warum stürzen Gebäude beim Erdbeben ein, aber Wolkenkratzer nicht? Was passiert, wenn ich beim Radio den Sender wechsle? Warum piept es manchmal laut, wenn man Mikrofone benutzt. Die Antworten auf diese und viele weitere Fragen lassen sich mit den Phänomenen der Eigenfrequenz, Resonanz und erzwungenen Schwingung erklären. Wenn du dieses Video schaust, solltest du schon wissen, was ein Oszillator, eine Schwingung und die Periodendauer einer Schwingung sind. Du hast vielleicht schon gesehen, wie man die Periodendauer T eines Fadenpendels bestimmt. Diese ist nur abhängig von der Fadenlänge l und der Fallbeschleunigung g. Im Grunde ist die Periodendauer also nur abhängig von der Bauweise des Pendels und dem Ort des Experiments. Bei anderen Oszillatoren ist es auch so, dass man eine zum Oszillator gehörige Periodendauer berechnen kann. Es gibt also eine vom Aufbau bestimmte Periodendauer T für jeden Oszillator, die man deshalb auch natürliche Periodendauer nennt. Den Kehrwert der Periodendauer nennt man Frequenz f. Geht man vom Kehrwert der natürlichen Periodendauer aus, dann erhält man eine natürliche Frequenz. Diese nennt man Eigenfrequenz, da sie dem Oszillator eigen ist. Du solltest dir also merken, dass jeder Oszillator eine ihm innewohnende Frequenz hat, also eine Eigenfrequenz. Okay, jetzt kennst du den Begriff der Eigenfrequenz. Stelle dir nun ein Pendel als Beispiel eines Oszillators vor. Steht das Pendel in Ruhe vor dir, schwingt es nicht. Um es zum Schwingen zu bringen, muss man ihm Energie hinzufügen. Wir können das Pendel durch hin- und herbewegen der Hand zum Schwingen zwingen. Je nachdem, wie schnell man die Hand hin und her bewegt, ändert sich die Schwingung des Pendels. Das Pendel schwingt also nicht unbedingt mit seiner Eigenfrequenz. Die Frequenz, mit der das Pendel schwingt, hängt vielmehr von der Frequenz ab, mit der man die Hand bewegt. Man nennt die Frequenz der Hand Erregerfrequenz, weil sie das Pendel zum Schwingen anregt. Natürlich gilt das auch für alle anderen Oszillatoren, die man durch das periodische hinzu führen von Energie zum Schwingen anregen kann. Eine so erzeugte Schwingung nennt man passenderweise eine erzwungene Schwingung. Eine erzwungene Schwingung ist eine Schwingung, die erzeugt wird, wenn man einem Oszillator Energie mit einer Erregerfrequenz hinzufügt. Im Gegensatz dazu nennt man eine nicht erzwungene Schwingung eines Oszillators mit seiner Eigenfrequenz Eigenschwingung. Super, zwei von drei Punkten haben wir schon abgehakt. Jetzt verbinden wir beide neuen Phänomene und erhalten ein drittes. Wenn die Erregerfrequenz einer erzwungenen Schwingung ungefähr gleich der Eigenfrequenz des Oszillators ist, dann tritt Resonanz auf. Resonanz heißt, dass die Amplitude der erzwungenen Schwingung bei bestimmten Erregerfrequenzen größer ist als bei anderen. Dieser Effekt tritt manchmal auch bei anderen Frequenzen auf. Meist sind das Vielfache der Eigenfrequenz. Alle Frequenzen, bei denen Resonanz auftritt, nennt man Resonanzfrequenz. Resonanz kann gut und schlecht sein. Vielleicht hast du schon mal von einer Resonanzkatastrophe gehört. Damit meint man die Zerstörung eines Oszillators im Resonanzfall. Ein Beispiel ist ein Gebäude, das bei einem Erdbeben einstürzt. Gibt es eine Erregerfrequenz mit der Resonanzfrequenz eines Bauwerkes, so schaukelt das Bauwerk sich auf. Dann kann es nach kurzer Zeit zur Resonanzkatastrophe kommen und das Gebäude stürzt ein. Ein weiteres Beispiel für eine Erregerfrequenz ist die Frequenz von Windböen. So kann zum Beispiel eine Brücke zum Einsturz gebracht werden. Bei einer Akustikgitarre braucht man Resonanz jedoch. Wir können die Schwingungen der Saiten nur laut genug hören, weil der Resonanzkörper der Gitarre die Schwingung verstärkt. Auch zum Radiohören brauchen wir Resonanz, denn auch das Radiosignal wird durch das Ausnutzen von Resonanz empfangen und verstärkt. Auf einer Bühne hört man manchmal ein lautes Piepen, das durch sogenannte Rückkopplung zwischen Mikrofon und Lautsprecher erzeugt wird. Die Verstärkung des Tons findet hier auch durch Resonanz statt. Resonanz ist also sehr vielseitig und begegnet uns häufig im Alltagsleben. Sie kann sowohl nützlich als auch schädlich für uns sein. Fassen wir nochmal zusammen: Jeder Oszillator hat eine natürliche Eigenfrequenz und kann eine Eigenschwingung mit dieser Frequenz ausführen. Wird ein Oszillator durch eine Erregerfrequenz zum Schwingen gebracht, nennt man dies erzwungene Schwingung. Ist die Erregerfrequenz einer erzwungenen Schwingung nahe einer Resonanzfrequenz des Oszillators, kommt es zur Resonanz. Resonanz ist das erzwungene Schwingen mit verstärkter Amplitude bei bestimmten Erregerfrequenzen. Klasse, jetzt weißt du etwas über Eigenfrequenz, erzwungene Schwingung und Resonanz. Bis zum nächsten Mal, dein Tutor Lars!

6 Kommentare
  1. Tolles Video. Die Übungen helfen mir auch, aber hier hat sich mal wieder (wie leider so häufig bei sofatutor) ein Fehler bei dem vierten Punkt der Übung eingeschlichen: Die Dauer einer natürlichen Schwingung eines Pendels mit der Fadenlänge von 30 cm ist 1,1 s und nicht 1,01 s. Ansonsten danke für eure Videos und Übungen, ihr bin mir sicher ihr seid für viele eine große Hilfe.

    Von Sam233, vor mehr als 2 Jahren
  2. @E Hruby
    dieser Satz setzt sich aus mehreren Einzelinformationen zusammen:

    *Es liegt ein Oszillator, also ein schwingungsfähiges System, vor und dieser besitzt eine Eigenfrequenz.

    *Für Resonanz muss nun durch äußere Kräfte eine Schwingung angeregt werden. Man spricht von einer erzwungenen Schwingung.

    *Dafür muss die Erregerfrequenz, der äußeren Schwingung, ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches der Eigenfrequenz des Oszillators sein.

    Sind alle diese Bedingungen erfüllt kommt es zum Resonanzfall und im extremsten Fall zur Resonanzkatastrophe.

    Von Karsten Schedemann, vor mehr als 3 Jahren
  3. gutes Video! Aber ich verstehe den Staz " Resonanz ist das erzwungene Schwingen bei einer bestimmten Erregerfrequenz" überhaupt nicht! Ich kann mir darunter echt nichts vorstellen!:(

    Von E Hruby, vor mehr als 3 Jahren
  4. @Ulla:
    Das ist eine gute Frage/ Beobachtung!

    Dazu vorab eine Bemerkung: in der Physik benutzen wir ja meistens Modelle. Wenn wir etwas einen Oszillator nennen, dann reduizieren wir dieses reale etwas auf ein physikalisch idealisiertes Objekt. Dabei lassen wir dann je nachdem wie stark wir etwas idealisieren viele seiner realen Eigenschaften außer acht.
    Wir versuchen uns immer auf die wesentlichen Eigenschaften zu konzentrieren.
    Du kannst das mit einer Skizze vergleichen: wenn du jemandem eine Wegbeschreibung aufzeichnest, idealisierst du die reale Welt auf eine Karte mit Straßennamen und Häuserblocks, dabei ist aber zum Beispiel egal, welche Farbe die Häuser haben und wie viele Autos am Straßenrand stehen.

    Wenn das erstmal klar ist, dann kommt die Antwort zu deiner Frage ganz natürlich:
    Ja, ein Gebäude können wir auch als Oszillator betrachten, denn es kann schwingen. Dabei lassen wir wahrscheinlich aber viele reale Eigenschaften des Gebäudes außer acht, wie zum Beispiel seine genaue Form, die Tatsache, dass es aus verschiedenen Materialien besteht und so weiter. Man erhält trotzdem schon Ergebnisse mit denen man grobe Abschätzungen machen kann.
    Zum Beispiel wie die Höhe des Gebäudes die Eigenfrequenz beeinflusst und in welchen Größenordnungen sich diese Frequenz bewegt.

    Je genauer unser Modell die Realität widerspiegelt, desto besser werden die Voraussagen, die wir berechnen können, aber desto komplizierter werden auch die Rechnungen ;)

    Von Lars Karlsson, vor mehr als 4 Jahren
  5. Eine Sache verstehe ich nicht: Jeder Oszillator hat eine Eigenfrequenz und eine Eigenschwingung, aber heißt das dann nicht, dass jeder Körper ein Oszillator sein muss? Wenn ein Gebäude bei einem Erdbeben einstürtzt durch Resonanz, ist dieses Gebäude doch ein Oszillator oder?

    Von Ulla T, vor mehr als 4 Jahren
  1. Sehr gut hab ne 1-2 bekommen:-)

    Von Vbauzhadze, vor fast 5 Jahren
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Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eigenschwingung, erzwungene Schwingung und Resonanz kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was die Eigenfrequenz eines Oszillators ist.

    Tipps

    Je größer die Frequenz ist, desto geringer ist die Periodendauer.

    Die Eigenfrequenz ist eine Eigenschaft, anhand der man Oszillatoren kategorisiert.

    Lösung

    Jeder Oszillator hat eine Eigenfrequenz, die ihm innewohnt.

    Betrachtet man eine einzelne Schwingung, so kann man beobachten, dass es eine bestimmte Zeit braucht, um diese Schwingung zu durchlaufen. Je länger dabei das Pendel ist, desto länger dauert eine volle Schwingung.

    Das kannst du selbst einmal ausprobieren: Klebe einen Faden mit etwas Klebefilm auf eine $1€$ Münze. Nun halte den Faden in unterschiedlicher Entfernung von der Münze und beobachte die Dauer einer Schwingung.

    Die Dauer einer Schwingung richtet sich nach der Formel : $ T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} $.

    Das heißt die Dauer einer Schwingung hängt nur vom Ort des Experimentes also dem Ortsfaktor $g$ und der Fadenlänge $L$ ab.

    Die Masse spielt keine Rolle. Auch das kannst du selbst ausprobieren. Tausche dazu einfach die Münze durch ein 1-Cent Stück aus und wiederhole den Versuch.

    Viel Spaß beim Experimentieren.

  • Gib die Größen an, welche die Eigenfrequenz eines Fadenpendels beeinflussen.

    Tipps

    Die natürliche Schwingungsdauer $T$ bestimmt die Eigenfrequenz.

    Lösung

    Generell gilt : Die Frequenz $f$ ist der Kehrwert der Schwingungsdauer $T$ also $ f = \frac{1}{T} $.

    Kennt man also die Dauer der natürlichen Schwingung eines Oszillators, kann man dessen Eigenfrequenz einfach berechnen.

    Die Schwingungsdauer errechnet man mit der Formel :

    $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}$.

    Mit der Fadenlänge $L$ und dem Ortsfaktor $g$ lässt sich so die Dauer einer Schwingung berechnen. Die Masse des Pendels sowie die Dicke des Fadens nehmen also keinen Einfluss auf die Eigenfrequenz.

  • Nenne die Eigenschaften einer erzwungenen Schwingung.

    Tipps

    Ein Fadenpendel in der Hand wird nur zum Schwingen angeregt, wenn du deine Hand in der passenden Frequenz bewegst.

    Die Schwingung eines Oszillators kann durch Energie, welche von Außen zugeführt wird, zum Schwingen angeregt werden.

    Lösung

    Eine erzwungene Schwingung ist eine Schwingung, die erzeugt wird, wenn man einem Oszillator Energie mit einer Erregerfrequenz zuführt.

    Entspricht die Erregerfrequenz genau der Eigenfrequenz des Oszillator, tritt Resonanz auf.

    Ein Beispiel für eine erzwungene Schwingung ist etwa ein Fadenpendel in der Hand, welches dadurch in Bewegung gerät, dass wir die Hand, nicht aber das Pendel schwingen.

    Dabei stellt die Hand die erregende Frequenz dar. Solange diese nicht im Einklang mit der Eigenfrequenz des Oszillators ist, wird die Schwingung nur schwach übertragen.

    Du kannst diese These selbst überprüfen:
    Nimm den Faden eines Fadenpendels in die Hand (etwa so eines wie in Aufgabenteil $1$ beschrieben).
    Nun versuche, es zum schwingen zu bringen, ohne den Pendelkörper direkt zu berühren.
    Du wirst merken, dass das Pendel nur richtig schwingt, wenn du zum richtigen Moment auch deine Hand bewegst.

    Auch dieser Effekt ist mit der Erregerfrequenz zu erklären.

    Viel Spaß beim Ausprobieren!

  • Ermittle die Eigenfrequenz der Oszillatoren.

    Tipps

    Die Frequenz $f$ ist definiert als der Kehrwert einer Periodendauer $T$.

    Am besten rechnest du die Fadenlängen zu Beginn der Rechnung in $\text{m}$ um.

    Lösung

    Die Frequenz $f$ ist definiert als der Kehrwert einer Periodendauer $T$:

    $f = \frac{1}{T}$.

    Um die Frequenz zu errechnen, muss also zunächst einmal die Umlaufdauer bekannt sein.

    Für die Umlauf- oder Periodendauer gilt (für das Fadenpendel) :

    $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.

    Damit ergibt sich

    $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}$.

    Da die Berechnung der Frequenz unmittelbar mit der Berechnung der Periodendauer zusammenhängt, ist auch hier klar, dass die gleichen Einheiten verwendet werden müssen.

    Am besten rechnest du die Fadenlängen zu Beginn der Rechnung in $m$ um.

    Betrachten wir ein Beispiel:

    Die Fadenlänge betrage $L = 30\text{cm}$.

    Umrechnen
    $30\text{cm} = 0,3\text{m}$

    Einsetzen in die hergeleitete Formel
    $\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{0,3\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}} = 0,91 \frac{1}{\text{s}}$

    Antwort
    Für ein Fadenpendel der Länge $L = 30\text{cm}$ beträgt die Eigenfrequenz $f = 0,91 \frac{1}{\text{s}}$.

  • Berechne die Umlaufdauer einer Schwingung.

    Tipps

    Auf der Erde gilt $g = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} $.

    Die Masse des Pendels ist für die Berechnung irrelevant.

    Lösung

    Die Umlaufdauer eines Oszillators errechnet sich nach der gezeigten Formel.

    Wie du siehst, hängt die Umlaufdauer $T$ von der Länge des Pendels $L$ und dem Ortsfaktor $g$ ab.

    Die Masse des Pendels spielt keine Rolle bei der Berechnung.

    Mit der gegebenen Länge $L = 33 \text{cm} = 0,33 \text{m} $ und dem Ortsfaktor auf der Erde von $9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ergibt sich :

    $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0,33\text{m}}{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = 1,15 \text{s}$.

    Die Umlaufdauer beträgt $T = 1,15\text{s}$.

    Bei der Berechnung ist es wichtig auf die Einheit der Pendellänge zu achten:
    Da der Ortsfaktor in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ angegeben wird, muss auch die Pendellänge $L$ ebenfalls in $\text{m}$ und nicht etwa in $\text{cm}$ angegeben werden.

  • Ermittle die natürliche Periodendauer.

    Tipps

    Es gilt die Formel für die Berechnung der Umlaufdauer des Fadenpendels.

    Verwende für alle Längeneinheiten $\text{m}$.

    Lösung

    Zunächst einmal wollen wir den Begriff der natürlichen Schwingung klären.

    Eine natürliche Schwingung ist die Schwingung, die ein Oszillator ausführt, wenn dieser ohne störende Fremdeinwirkung frei schwingen kann.

    Für die Berechnung der Dauer einer natürlichen Schwingung wollen wir nun die gültige Formel bemühen:

    $T_{nat} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

    mit Fadenlänge $L$ und Ortsfaktor $g$.

    Für eine Fadenlänge $L = 0,1\text{m}$ ergibt sich bei Ortsfaktor $g = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$:

    $T_{nat} = 2\pi \sqrt{\frac{0,1\text{m}}{9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}= 0,63\text{s}$.

    Die natürliche Schwingung eines Pendels der Länge $10\text{cm}$ beträgt (auf der Erde) also $T_{nat} = 0,63\text{s}$.